1、考研数学一-高等数学重积分及答案解析(总分：101.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：19.50)1.累次积分 ，可以写成 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D.2.设区域 D=(x，y)丨 x 2 +y 2 4，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，b 为常数，则 等于 Ab B C(+b) D （分数：1.50）A.B.C.D.3.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0，y=x 2 ，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于 Axy B2xy C （分数：1.50）A.B.C.D.4.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)丨 x
2、2 +y 2 2y，则 等于 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D.5.设 ， ， （分数：3.00）A.I3I2I1B.I1I2I3C.I2I1I3D.I3I1I26.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D.7.设 ，则下列级数中肯定收敛的是 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D.8.下述各选项正确的是 A若 与 都收敛，则 收敛 B若 收敛，则 与 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若级数 收敛，且 u n v n (n=1，2，)，则级数 （分数：1.50）A.B.C.D.9.设幂级数 与 的收敛半径分别为 与
3、 ，则幂级数 的收敛半径为 A5 B C D （分数：1.50）A.B.C.D.10.设 ，则下列命题正确的是 A若 条件收敛，则 与 都收敛 B若 绝对收敛，则 与 都收敛 C若 条件收敛，则 与 的敛散性都不定 D若 绝对收敛，则 与 （分数：1.50）A.B.C.D.11.设有以下命题： 若 收敛，则 收敛； 若 收敛，则 收敛； 若 ，则 发散； 若 收敛，则 （分数：1.50）A.B.C.D.12.设 u n 0，n=1，2，若 发散， 收敛，则下列结论正确的是 A 收敛， 发散 B 发散， 收敛 C 收敛 D （分数：1.50）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：12.0
4、0)13.交换积分次序 （分数：2.00）14.交换积分次序 （分数：2.00）15.幂级数 （分数：2.00）16.级数 （分数：3.00）17.级数 （分数：3.00）三、计算证明题(总题数：29，分数：70.00)18.设 D 是由曲线 y=x 3 与直线 y=x 在第一象限内围成的封闭区域，求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求二重积分 （分数：2.00）_21.计算二重积分 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.求二重积分 （分数：2.00）_25.计算二重积分 其中 D 是由 x 轴，y 轴与曲线 （
5、分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.设 D 是以点 0(0，0)，A(1，2)和 B(2，1)为顶点的三角形区域，求 （分数：2.00）_28.设 D=(x，y)丨 x 2 +y 2 z，求 （分数：2.00）_29.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线 （分数：2.00）_30.计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 （分数：2.00）_31.计算二重积分 （分数：2.00）_32.设二元函数 计算二重积分 ，其中 （分数：2.00）_33.讨论级数 （分数：2.00）_34.设级数 与 均收敛，求证：级数 （分数：2.00）_35.
6、求级数 （分数：2.00）_36.已知 f n (x)满足 f n (x)=f n (x)+x n-1 e x (咒为正整数)，且 ，求函数项级数 （分数：2.00）_37.求幂级数 （分数：2.00）_设级数 （分数：4.00）(1).S(x)所满足的一阶微分方程；（分数：2.00）_(2).S(x)的表达式（分数：2.00）_38.求幂级数 （分数：2.00）_39.求幂级数 （分数：2.00）_已知函数 （分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_从点 P 1 (1，0)作 x 轴的垂线，交抛物
7、线 y=x 2 于点 Q 1 (1，1)；再从 Q 1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P 2 然后又从 P 2 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q 2 ，依次重复上述过程得到一系列的点 P 1 ，Q 1 ；P 2 ，Q 2 ；P n ，Q n （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).求级数 的和 其中 n(n1)为自然数，而 （分数：2.00）_设有两条抛物线 和 （分数：4.00）(1).求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ；（分数：2.00）_(2).求级数 （分数：2.00）_40.设 ，n=0，1，2，求 （分数：2.00）_41.将函数 （分数：2.0
8、0）_42.将函数 f(x)=1n(1-x-2x 2 )展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间 （分数：2.00）_考研数学一-高等数学重积分答案解析(总分：101.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：19.50)1.累次积分 ，可以写成 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D. 解析：2.设区域 D=(x，y)丨 x 2 +y 2 4，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，b 为常数，则 等于 Ab B C(+b) D （分数：1.50）A.B.C.D. 解析：3.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0，y=x 2 ，x=1 所围区域，则
9、 f(x，y)等于 Axy B2xy C （分数：1.50）A.B.C. D.解析：4.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)丨 x 2 +y 2 2y，则 等于 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D. 解析：5.设 ， ， （分数：3.00）A.I3I2I1 B.I1I2I3C.I2I1I3D.I3I1I2解析：6.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于 A B C D （分数：1.50）A.B. C.D.解析：7.设 ，则下列级数中肯定收敛的是 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D. 解析：8.下述各选项正确的是 A若 与 都收敛，则 收敛 B若 收敛，则
10、与 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若级数 收敛，且 u n v n (n=1，2，)，则级数 （分数：1.50）A. B.C.D.解析：9.设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ，则幂级数 的收敛半径为 A5 B C D （分数：1.50）A. B.C.D.解析：10.设 ，则下列命题正确的是 A若 条件收敛，则 与 都收敛 B若 绝对收敛，则 与 都收敛 C若 条件收敛，则 与 的敛散性都不定 D若 绝对收敛，则 与 （分数：1.50）A.B. C.D.解析：11.设有以下命题： 若 收敛，则 收敛； 若 收敛，则 收敛； 若 ，则 发散； 若 收敛，则 （分数：1.50）A.B. C.D
11、.解析：12.设 u n 0，n=1，2，若 发散， 收敛，则下列结论正确的是 A 收敛， 发散 B 发散， 收敛 C 收敛 D （分数：1.50）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：5，分数：12.00)13.交换积分次序 （分数：2.00）解析：14.交换积分次序 （分数：2.00）解析：15.幂级数 （分数：2.00）解析：-1,1)16.级数 （分数：3.00）解析：(0,4)17.级数 （分数：3.00）解析：三、计算证明题(总题数：29，分数：70.00)18.设 D 是由曲线 y=x 3 与直线 y=x 在第一象限内围成的封闭区域，求 （分数：2.00）_正确答案：()解
12、析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：20.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：21.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：24.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：25.计算二重积分 其中 D 是由 x 轴，y 轴与曲线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：27.设 D 是以点 0(0，0)，A(1，2)和 B(2，1)为顶点的三角形区域，求 （分数：2.0
13、0）_正确答案：()解析：28.设 D=(x，y)丨 x 2 +y 2 z，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：29.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：30.计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：31.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：32.设二元函数 计算二重积分 ，其中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：33.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：收敛34.设级数 与 均收敛，求证：级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：用
14、比较判别法证明35.求级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：2，436.已知 f n (x)满足 f n (x)=f n (x)+x n-1 e x (咒为正整数)，且 ，求函数项级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：37.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：，极大值 f(0)=1设级数 （分数：4.00）(1).S(x)所满足的一阶微分方程；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(2).S(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：()解析：38.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：39.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：S(x)
15、=2x 2 arctanx-x1n(1+x 2 )(-1x1)已知函数 （分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：S 0 =(1-e -1 ) 2 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：S 1 =e -2 S 0 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：S n =e -2n S 0 (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：从点 P 1 (1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x 2 于点 Q 1 (1，1)；再从 Q 1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P 2 然后又从 P 2 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q 2 ，依次重复上述
16、过程得到一系列的点 P 1 ，Q 1 ；P 2 ，Q 2 ；P n ，Q n （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：(2).求级数 的和 其中 n(n1)为自然数，而 （分数：2.00）_正确答案：()解析：设有两条抛物线 和 （分数：4.00）(1).求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(2).求级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：40.设 ，n=0，1，2，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：41.将函数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：，收敛区间为(-1,1)42.将函数 f(x)=1n(1-x-2x 2 )展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间 （分数：2.00）_正确答案：()解析：，收敛区间为
