1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 2 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧，则 (x 2 +z)dxdy 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数，L 为 D 内曲线，则曲线积分 L Pdx+Qdy 与路径无关的充要条件为 ( )（分数：2.00）A.Pdx+Qdy 是某一函数的全微分B. C Pdx+Qdy=0，其中 Cx 2
2、 +y 2 =1 在 D 内C.D.4.设 C 为从 A(0，0)到 B(4，3)的直线段，则 C (x-y)ds 为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设是部分锥面：x 2 +y 2 =z 2 ，0z1，则曲面积分 (x 2 +y 2 )dS 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.曲线积分 (2xcosy+ysinx)dx-(x 2 sinynacosx)dy，其中曲线 （分数：2.00）A.0B.-1C.-2D.27.设曲线 T 为 x 2 +y 2 +z 2 =1，z=z 0 (z 0 1)，由 z 轴正向看去为逆时针方向，则曲线积分 T (x 2 +yz)dx
3、+(y 2 +xz)dy+(z 2 +xy)dz 的值为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.-1D.12二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设是平面 3x+2y+ =6 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设光滑曲面所围闭域 上，P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且为 的外侧边界曲面，由高斯公式可知 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 u=x 2 +3y+yz，则 div(gradu)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设曲线 ：x=acost，y=asint，z=bt(0t2)，则 (x 2 +y 2
4、)ds= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.计算 （分数：2.00）_14.计算 （分数：2.00）_15.已知：z=z(x，y)，(x，y)D，求证： （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17.计算 I= L+ ydx+zdy+xdz，其中 L + 为曲线 （分数：2.00）_18.设 P(x，y)，Q(x，y)在全平面有连续偏导数，且对以任意点(x 0 ，y 0 )为中心，以任意正数 r 为半径的上半圆 L：x=x 0 +rcos，y=y 0 +rsin
5、(0)，恒有 L P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 求证：（分数：2.00）_19.设球体 x 2 +y 2 +z 2 2az(如图 16-2)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心 （分数：2.00）_20.设半径为 R 的球之球心位于以原点为中心、a 为半径的定球面上(2aR0，a 为常数)试确定 R 为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值（分数：2.00）_21.在密度为 1 的半球体 （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.如果向量场 A(x，y，z)= （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2
6、.00）_26.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1)，求 （分数：2.00）_27.计算三重积分 （分数：2.00）_28.设 f(x)在0，1上连续，试证： （分数：2.00）_29.计算 (x 2 +y 2 +z 2 )ds，其中 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 2 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧，则 (x 2 +z)dxdy 等于 ( ) （分数：2.00
7、）A.B. C.D.解析：解析：z=1-x-y，D xy ：0y1-x，0x1则 3.设函数 P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数，L 为 D 内曲线，则曲线积分 L Pdx+Qdy 与路径无关的充要条件为 ( )（分数：2.00）A.Pdx+Qdy 是某一函数的全微分 B. C Pdx+Qdy=0，其中 Cx 2 +y 2 =1 在 D 内C.D.解析：解析：在单连通域 D 中， Pdx+Qdy 在 D 内与路径无关 C Pdx+Qdy=0，其中 C 为 D 内任意闭曲线 4.设 C 为从 A(0，0)到 B(4，3)的直线段，则 C (x-y)ds 为 ( ) （
8、分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：5.设是部分锥面：x 2 +y 2 =z 2 ，0z1，则曲面积分 (x 2 +y 2 )dS 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因 0x1，故：6.曲线积分 (2xcosy+ysinx)dx-(x 2 sinynacosx)dy，其中曲线 （分数：2.00）A.0B.-1C.-2 D.2解析：解析：P=2xcosy+ysinx， =-2xsiny+sinx， Q=-(x 2 siny+cosx)， =-2xsiny+sinx 因 故该曲线积分与路径无关取 O(0，0)，则 ：x=0，0y1故 7.设曲线 T 为 x 2
9、 +y 2 +z 2 =1，z=z 0 (z 0 1)，由 z 轴正向看去为逆时针方向，则曲线积分 T (x 2 +yz)dx+(y 2 +xz)dy+(z 2 +xy)dz 的值为 ( )（分数：2.00）A.0 B.1C.-1D.12解析：解析：设 P=x 2 +yz，Q=y 2 +xz，R=z 2 +xy则由斯托克斯公式， 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设是平面 3x+2y+ =6 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：指定侧法向量 n=(-3，-2， )，n 的方向余弦 由两类曲面积分的联系，9.设光滑曲面所围闭
10、域 上，P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且为 的外侧边界曲面，由高斯公式可知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 因 P，Q，R 在 上有二阶连续偏导数，故 R“ yx =R“ xy ，Q“ zx =Q“ xz ，P“ zy =P“ yz ，从而 用高斯公式 原式= 10.设 u=x 2 +3y+yz，则 div(gradu)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：11.设曲线 ：x=acost，y=asint，z=bt(0t2)，则 (x 2 +y 2 )ds= 1（分数：2.0
11、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由第一型曲线积分公式知：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转曲面的方程为： 因此 )解析：14.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一(利用对称性并直接计算) 由球面的对称性，知 方法二(第二型化第一型) 球面：x 2 +y 2 +z 2 =1 的外侧单位法向量为 n 0 =(x，y，z)，将第二型曲面积分化为第一型曲面积分，得 由对称性知 )解析：15.已知：z=z(x，y)，
12、(x，y)D，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因曲面 z=z(x，y)在任一点(x，y，z)的法线向量为(-z“ x ，-z“ y ，1)，故 )解析：16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 利用高斯公式，设的外法线向量 n=(cos，cos，cos)，则对(x，y，z)，cos=x，cosy，cos=z，因此 利用高斯公式，有 )解析：17.计算 I= L+ ydx+zdy+xdz，其中 L + 为曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x+y+z=1 上圆的内部区域为 S，法向量取向上由斯托克斯公式： 易知 S指定侧的单位法向量为 n=
13、其中 ， 为 n 的方向角 由第一、二型曲面积分的联系，得其中S为圆 S 的面积 易知 S 的半径 R= )解析：18.设 P(x，y)，Q(x，y)在全平面有连续偏导数，且对以任意点(x 0 ，y 0 )为中心，以任意正数 r 为半径的上半圆 L：x=x 0 +rcos，y=y 0 +rsin(0)，恒有 L P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 求证：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设以任意点(x 0 ，y 0 )为中心，以任意正数 r 为半径的上半圆的直径为 AB，上半圆域为 D，则 其中 M 1 D 为某一点又 )解析：19.设球体 x 2 +y 2 +z 2 2az(如图
14、 16-2)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于所给球体的质量分布关于 z 轴对称，所以它的重心位于 z 轴上，而密度是 其中 k 是比例常数，因此可得 x G =y G =0， 米用球坐标计算这两个三重积分，将 x=rsincos，y=rsinsin，z=rcos 代入球体的不等式，得 0r2acos，且02,0 则 故所给球体的重心坐标为 )解析：20.设半径为 R 的球之球心位于以原点为中心、a 为半径的定球面上(2aR0，a 为常数)试确定 R 为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值（分数：2.00
15、）_正确答案：(正确答案：以定球球心为原点，两球心之连线为 z 轴建立坐标系，则两球面方程为定球：x 2 +y 2 +z 2 =a；动球：x 2 +y 2 +(z-a) 2 =R 2 两球交线为 该交线在 xOy 平面上的投影圆：x 2 +y 2 = (4a 2 -R 2 ) 设动球夹在定球内部的表面积为 S对于动球 故当 R= 时，动球夹在定球内部的表面积 S 最大，最大值为 )解析：21.在密度为 1 的半球体 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 之重心为 而 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.如果向量场 A(x，y，z)= （分数：2.0
16、0）_正确答案：(正确答案：有势场是旋度恒为零的向量场，由 rotA=0 即可求得有关量由 得a=1，b=0由于 )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一(加、减弧段斯托克斯公式法)添直线段 (如图 16-15)， 由斯托克斯公式，记 S 为平面 x+y+z=1 上由 L 所围成的曲面，法向量与 z 轴交角为锐角，于是 换成第一型曲面积分，n 0 =(cos，cos，cos)= (1，1，1)，于是 方法二(参数法)L 的参数式可写成 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查三重积分的精确定义，类比于定积分和二重积分，我们
17、首先给出三重积分的精确定义： 这里的 不是一般的空间有界闭区域，而是一个“长方体区域” 于是，给出“凑三重积分定义”的步骤如下：26.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由轮换对称性可知， )解析：27.计算三重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 分解成 1 ：x 2 +y 2 +z 2 1 和 2 ：1x 2 +y 2 +z 2 2，使被积函数在每个子区域内不变号，故 )解析：28.设 f(x)在0，1上连续，试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，所以在0，1上存在原函数 设 F“(t)=f(t)(t0，1)，则 )解析：29.计算 (x 2 +y 2 +z 2 )ds，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先写出参数式 ，0t2，于是， )解析：
