1、考研数学一（线性代数）-试卷 18 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 23.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.如果A0，则B0B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B=0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B4
2、.设 （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3D.无法确定5.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B6.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 27.设 A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(一 2) n A nB.(4A) nC.(一 2) 2n A * nD.4A n8.设 （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知 1 , 2 , 3 , 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由
3、1 , 2 , 3 线性表出，则 1 , 2 , 3 线性相关； 如果 1 , 2 , 3 线性相关， 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.310.设 1 , 2 , 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 2 ， 1 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4B.3C.2D.111.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩
4、阵， 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 一 2 )二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 1 =1，0，一 12 T ， 2 =2，一 1，一 2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，一1，一 5，10 T ，已知卢不能由 1 , 2 , 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 3 维向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则向量组 1 一 2 ，
5、2 一 k 3 ， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k 1.（分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 维向量组 1 , 2 , 3 满足 2 1 一 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是 5 阶方阵且 A 2 =0，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A mn ，B nn ，C nm 其中 AB=A，BC=0，r(A)=n，则CAB= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知
6、向量组 与向量组 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A 是 n 阶矩阵，A=0，A110，则 A * X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.已知 n 阶方阵 A 满足
7、矩阵方程 A 2 一 3A 一 2E=O 证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.00）_24.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数忌，使得 A k =0试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设矩阵 （分数：2.00）_27.假设 （分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 一 b（分数：2.00）_28.设(2EC -1
8、 )A=C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_29.设 （分数：2.00）_30.已知 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 18 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基
9、本结论为： (1)A ms B sn =Or(A)+r(B)s； (2)A ms B sn =O组成 B 的每一列都是 A ms X=0 的解向量对于本题，PQ=Or(P)+r(Q)31r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=11r(P)2r(P)=1 或 2，则 A 和 B 都错； 当 t6 时，r(Q)1r(P)1r(P)=13.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.如果A0，则B0 B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B=0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B解析：解析：两矩阵等价
10、的充要条件是秩相同当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B 一 1 B=E，可见 B 中命题成立AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见 C 中命题也是成立的矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知 D 中命题也是成立的故唯一可能不成立的是 A 中的命题事实上，当A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B0故选 A4.设 （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3 D.无法确定解析：解析：由 r(A * )=1 得 r(A)=3，则A=0，即 5.设 （分数：2.
11、00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：由 A 第一行加到第三行(P 2 左乘 A)再将第一，二行对换(再 P 1 左乘 P 2 A)得到，故 C 成立6.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 2解析：解析：因 B=AP 2 P 1 ，B 一 1 =(AP 2 P 1 ) 一 1 =P 1 一 1 P 2 一 1 A 一 1 =P 1 P 2 A 一 1 7.设 A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(一 2
12、) n A nB.(4A) n C.(一 2) 2n A * nD.4A n解析：解析：8.设 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：易知 P 2 =E，故 P 一 1 =P，进一步有(P 一 1 ) 2016 =P 2016 =(P 2 ) 1008 =E利用归纳法易证 ，则 9.已知 1 , 2 , 3 , 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出，则 1 , 2 , 3 线性相关； 如果 1 , 2 , 3 线性相关， 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3
13、 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：如果 1 , 2 , 3 线性无关，由于 1 , 2 , 3 , 4 为 4 个 3 维向量，故 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 4 必能由 1 , 2 , 3 线性表出，可知是正确的令 10.设 1 , 2 , 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 2 ， 1 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.1解析：解析：由 A 1 =A 2 =A 3 =b
14、可知 A( 1 2 )=A 1 A 2 =b 一 b=0，A( 1 2 2 + 3 )=A 1 2A 2 +A 3 =b2b+b=0， 11.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 一 2 ) 解析：解析：因为通解中必有任意常数，显见 A 不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 ， 1 + 2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢?已知条件只是说 1 ， 2 是两个不同的解，那么 1
15、可以是零解，因而 k 1 可能不是通解如果 1 =一 2 0，则 1 ， 2 是两个不同的解，但 1 + 2 =0，即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除B、C由于 1 2 必有 1 一 2 0可见 D 正确二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 且 所以13.设 1 =1，0，一 12 T ， 2 =2，一 1，一 2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，一1，一 5，10 T ，已知卢不能由 1 , 2 , 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:
16、_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析： 不能 1 , 2 , 3 线性表出 14.已知 3 维向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则向量组 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 = 因 1 , 2 , 3 线性无关，故 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 线性无关的充要条件是 15.设 n 维向量组 1 , 2 , 3 满足 2 1 一 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l
17、 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2l 1 一 l 2 +3l 3 =0）解析：解析：因 l 1 +，l 2 + 2 ，l 2 + 3 线性相关 16.设 A 是 5 阶方阵且 A 2 =0，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 A 2 =AA=0，r(A)+r(A)5，r(A)2，从而 A * =0，r(A * )=017.设 A mn ，B nn ，C nm 其中 AB=A，BC=0，r(A)=n，则CAB= 1（
18、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n）解析：解析：因 AB=A，A(BE)=0，r(A)=n,故 BE=0，B=E，且由 BC=0，得 C=0，故CAB=E=(一 1) N 18.已知向量组 与向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 知 r( 1 , 2 , 3 )=2由题设：r( 1 ， 2 ， 3 )=2因 19.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数）解
19、析：解析：r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系有 n 一(n 一 1)=1 个非零向量组成A 的各行元素之和均为零，即 a i1 +a i2 +a in =0，i=1，2，n也就是 a i1 .1+a i2 .1+a in .1=0，i=1，2，n，即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数20.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，AX=0 只有一
20、个非零解组成基础解系，故，r(A)=n 一 1，21.设 A 是 n 阶矩阵，A=0，A110，则 A * X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=0，A 11 0，r(A)=n-1，r(A * )=1，A * X=0 有 n1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A * A=AE=0，故 A 的列向量是 A * X=0 的解向量，又 A 11 0，故 A 的第 2，3，n 列是 A * X=0 的 n 一 1 个线性无关解向量，设为： 1 , 2 n ，故通解为 k 1 1 +k 2 2 +k n n 或者由已知方程组 A * X=0，即
21、是 A 1 x 1 +A 21 x 2 +A n1 x n =0，故方程组的通解是： 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 一 3A 一 2E=O 证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数忌，使得 A k =0试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E=EA k =E k A k =(EA)(E+A+A k
22、-1 )，所以 E 一 A 可逆，且(EA) -1 =E+A+A k-1 )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：m 可逆M=A.D0A0，D0A，D 可逆设 M 的逆矩阵为 ，得所以 )解析：26.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+E=A 2 +X(AE)X=(AE)(A+E)又AE=一 10，则 )解析：27.假设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先计算出 由于A=1，所以 )解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答
23、案： )解析：(2).证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 一 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)得 )解析：28.设(2EC -1 )A=C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 分块为 则 B=3E+J，于是 B n =(3E+J) n =3 n E+C n 1 3 n-1 J+C n 2 3 n-2 J 2 +J n ，而 C 2 =6C，C 2 =6 n-1 C，所以 )解析：
