1、考研数学一（高等数学）-试卷 55 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设场 A=x 3 +2y，y 3 +2z，z 3 +2x，曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( )（分数：2.00）A.32B.一 32C.D.一二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.设 L 为从点 A(0，一 1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 L (x+y+z)ds= 1（分数：2.00）填空项 1:_4.设曲线
2、L： （分数：2.00）填空项 1:_5. L yds= 1，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )(a0)（分数：2.00）填空项 1:_6.设向量场 A=2x 3 yzix 2 y 2 zj 一 x 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向 l=2，2，一1的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 L 是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段 y=x(2 一 x)，则 L (ye x e -y +y)dx+(x -y +e x )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(u)连续可导，且 0 4 f(u)du
3、=2，L 为半圆周 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.计算 I= （分数：2.00）_11.计算 （分数：2.00）_12.计算 （分数：2.00）_13.计算二重积分 （分数：2.00）_14.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx a b f(y)dy= （分数：2.00）_16.设
4、f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_18.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明 （分数：2.00）_19.设 f(x)连续，F(t)= x 2 +f(x 2 +y 2 )dv， 其中 V=(x，y，z)x 2 +y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：2.00）_20.设 ：x 2 +y 2 +z 2 1，证明
5、： （分数：2.00）_21.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_22.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_24.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_25.设 f(x，y，z)连续，为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设 L 为曲线x+y=1 的逆时针方向，计算 （分数：2.00）_28.位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且 r=AM)，质点 M 沿
6、曲线L：y= （分数：2.00）_29.在变力 F=yz，xz，xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 （分数：2.00）_30.设 f(x)二阶连续可导，且曲线积分3f“(x)一 2f(x)+xe 2x ydx+f“(x)dy 与路径无关，求f(x)（分数：2.00）_31.计算 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 55 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设场 A=x 3 +2y，y 3 +2z，z 3 +2x，曲面 S：x 2
7、 +y 2 +z 2 =2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( )（分数：2.00）A.32B.一 32C.D.一 解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.设 L 为从点 A(0，一 1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 L (x+y+z)ds= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：4.设曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2a 3）解析：解析：5. L yds= 1，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )(a0)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
8、正确答案：2a 2 (2 ）解析：解析：6.设向量场 A=2x 3 yzix 2 y 2 zj 一 x 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向 l=2，2，一1的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 L 是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段 y=x(2 一 x)，则 L (ye x e -y +y)dx+(x -y +e x )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(x，y)=ye x e -y +y， Q(x，y)=xe -y +e x ， 8.设 f(u)连续可
9、导，且 0 4 f(u)du=2，L 为半圆周 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：P(x，y)=xf(x 2 +y 2 )，Q(x，y)=yf(x 2 +y 2 )， 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：12.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
10、析：14.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设球面 S：x 2 +y 2 +(z 一 a) 2 =R 2 ， )解析：15.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx a b f(y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt， 则 a b f(x)dx x b f(y)dy= a b f(x)F(b)一F(x)dx =F(b) a b f(x)dx a b f(x)F(x)dx=F 2
11、(b)一 a b F(x)dF(x) =F 2 (b)一 )解析：16.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 )解析：17.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_正确答案：
12、(正确答案： )解析：18.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， )解析：19.设 f(x)连续，F(t)= x 2 +f(x 2 +y 2 )dv， 其中 V=(x，y，z)x 2 +y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 ：x 2 +y 2 +z 2 1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x，y，z)=x+2y 一 2z+5， 因为 f“ x =10，f“ y =20，f“ z =20，所以
13、f(x，y，z)在区域 的边界 x 2 +y 2 +z 2 =1 上取到最大值和最小值 令 F(x，y，z，)=x+2y 一2z+5+(x 2 +y 2 +z 2 一 1)， )解析：21.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 )解析：22.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 xf 2
14、(x)dx， 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 yf(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy，或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy， 根据对称性 I= 0 1 dx 0 1 xf(x)y(y)f(y)一 f(x)dy， 2I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)(yx)f(x)一 f(y)dy， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(yx)f(x)一 f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以 )解析：24.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_
15、正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， S=(x，y)0xR，0yR， D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 )解析：25.设 f(x，y，z)连续，为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 2z=x 2 +y 2 上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为 n=一 x，一 y，1，法向量的方向余弦为 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以有 cosy=f“ y (x，y)，则 f(x，y)
16、=siny+C(x)，而 )解析：27.设 L 为曲线x+y=1 的逆时针方向，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P= ，令 C：x 2 +4y 2 =r 2 (r0)逆时针且 C 在曲线 L 内，则有 )解析：28.位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且 r=AM)，质点 M 沿曲线L：y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.在变力 F=yz，xz，xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设原点 O 到点 M(，)的直线为 L，L 的参数方程为 )解析：30.设 f(x)二
17、阶连续可导，且曲线积分3f“(x)一 2f(x)+xe 2x ydx+f“(x)dy 与路径无关，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以有 f“(x)=3f“(x)一 2f(x)+xe 2x ，即 f“(x)一3f“(x)+2f(x)=xe 2x ， 由特征方程 一 3+2=0 得 1 =1， 2 =2， 则方程 f“(x)一 3f“(x)+2f(x)=0 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x ， 令特解 f 0 (x)=x(ax+b)e 2x ，代入原微分方程得 a= ，b=一 1， 故所求 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x +( )解析：31.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
