1、考研数学一（高等数学）-试卷 6及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设 f(x)在 x=0的邻域内连续可导，g(x)在 x=0的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0是 f(x)的极大值点B.x=0是 f(x)
2、的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0是 f(x)的驻点但不是极值点5.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点6.下列说法
3、正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点7.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0个B.1个C.2个D.3个8.设 k0，则函数 f(x)=lnx一 （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个D.3个9.设函数 f
4、(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f“(t)dt，其中 f“(x)在 x=0处连续，且当 x0 时，F“(x)x 2 ，则f“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)在(一，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:
5、_13.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 f(x)=x+x 2 +x n (n2) (1)证明方程 f(x)=1有唯一的正根 x； (2)求 （分数：2.00）_17.设 a0，讨论方程 ax x =x 2 根的个数（分数：2.00）_18.就 k的不同取值情况，确定方程 x 3 一
6、3x+k=0根的个数（分数：2.00）_19.设 k为常数，方程 kx一 （分数：2.00）_20.设 f(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x=0处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4求 （分数：2.00）_21.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_22.设函数 f(x)= （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0证明：存在 (a，b)，使得f“()=0（分数：2.00）
7、_24.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f“(1)=0，f(2)= （分数：2.00）_25.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_26.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_27.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_28.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()
8、= （分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f“()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f“()一 3f“()+2f()=0（分数：2.00）_30.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：
9、存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_31.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f“(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_32.设平面曲线 L上一点 M处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L在点 M处的法线，法线上的两点P，Q 分别位于 L的两侧，其中 P在 AM上，Q 在 AM的延长线 AN上，若 P，Q 满足APAQ= 2 ，称 P，Q 关于 L对称设 L：y= （分数：2.00）_33.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_考研数
10、学一（高等数学）-试卷 6答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由3.设 f(x)在 x=0的邻域内连续可导，g(x)在 x=0的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0是 f(x)的极大值点B.x=
11、0是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =0得 g(0)=g“(0)=0，f“(0)=0， f“(x)=一 2x 2 + 0 x g(xt)dt=一 2x 2 一 0 x g(xt)d(xt) =一 2x 2 + 0 x g(u)du， f“(x)=一 4x+g(x)，f“(0)=0，f“(x)=一 4+g“(x)，f“(0)=一 40， 因为 f“(0)= =一 40，所以存在 0，当 0x 时， 4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(
12、x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：因为 f(x)二阶连续可导，且5.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f“(0)=0得 f“(0)=0，f“(x)=12f“(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0x 时，f“(x)0，再由 f“(0
13、)=0，得6.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令 f“(x)=7.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0个B.1个 C.2个D.3个解析：解析：因为 f“(a)=0，且 f“(x)k(
14、k0)，所以 f(x)=f(a)+f“(a)(x一 a)+8.设 k0，则函数 f(x)=lnx一 （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个 D.3个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 f“(x)= =0得 x=e，当 0xe 时，f“(x)0；当xe 时，f“(x)0，由驻点的唯一性知 x=e为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又9.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点 D.两个极大点，三个
15、极小点，两个拐点解析：解析：设当 x0 时，f“(x)与 x轴的两个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时，f“(x)与 x轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f“(x)0，当x(x 1 ，x 2 )时，f“(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大点；当 x(x 2 ，0)时，f“(x)0，则 x=x 2 为f(x)的极小点；当 x(0，x 3 )时，f“(x)0，则 x=0为 f(x)的极大点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f“(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f
16、“(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）填空项 1:_ （正确答案：b=一 1）解析：解析：因为 f(x)在 x=1处可微，所以 f(x)在 x=1处连续， 于是 f(1一 0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=111.设 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f“(t)dt，其中 f“(x)在 x=0
17、处连续，且当 x0 时，F“(x)x 2 ，则f“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F(x)=x 2 0 x f“(t)dt 0 x t 2 f“(t)dt，F“(x)=2x 0 x f“(t)dt， 12.设 f(x)在(一，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： =e 2a ，由 f(x)一 f(x一 1)=f“()，其中 介于 x一 1与 x之间，令 x，由 13.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “
18、(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 “(x)=f“ x x，f(x，2x)+f“ y x，f(x，2x)f“ x (x，2x)+2f“ y (x，2x)， 所以 “(1)=f“ x 1，f(1，2)+f“ y 1，f(1，2)f“ x (1，2)+2f“ y (1，2) =3+4(3+8)=4714.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x4）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 f(x)=x+x
19、2 +x n (n2) (1)证明方程 f(x)=1有唯一的正根 x； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 n (x)=f n (x)一 1，因为 n (0)=一 10， n (1)=n10，所以 n (x)在(0，1) (0，+)内有一个零点，即方程 f n (x)=1在(0，+)内有一个根 因为 “ n (x)=1+2x+nx n1 0，所以 n (x)在(0，+)内单调增加，所以 n (x)在(0，+)内的零点唯一，所以方程 f n (x)=1在(0，+)内有唯一正根，记为 x n (2)由 f n (x n )一 f n+1 (x n+1 )=0，得 (x n
20、 一 x n+1 )+(x n 2 一 x n+1 2 )+(x n n 一 x n+1 n )=x n+1 n+1 0，从而 x n x n+1 ，所以x n x n+1 单 )解析：17.设 a0，讨论方程 ax x =x 2 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ae x =x 2 等价于 x 2 e -x 一 a=0 令 f(x)=x 2 e -x a，由 f“(x)一(2xx 2 )e -x =0得 x=0，x=2 当 x0 时，f“(x)0；当 0x2 时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0， 于是x=0为极小点，极小值为 f(0)=一 a0；x=2 为极大点，极
21、大值为 )解析：18.就 k的不同取值情况，确定方程 x 3 一 3x+k=0根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 3 一 3x+k， )解析：19.设 k为常数，方程 kx一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x=0处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）
22、_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y一 f(x)=f“(x)(Xx)， )解析：22.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0证明：存在 (a，b)，使得f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f“ + (a)0，f“ - (b)0，根据极限的保号性，由 f“ + (a)= 0，则存在 0(ba)，当 0x 一 a 时， )解析：24.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f“(1)=0，f(
23、2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作一个函数 P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P“(1)=f“(1)=0， 令 g(x)=f(x)一 P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使得 g“(c 1 )=g“(1)=g“(c 2 )=0，又存在 d 1 (c 1 ，1)，d 2 (1，c 2 )使得 g“(d 1 )=g“(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (d 1 ，d 2 ) )解析：25.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b
24、)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h= ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)， 所以f(a)=aa+ha+(n 一 1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性 存在 ac 1 c 2 c n1 b，使得 f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+2h，f(c n1 )=a+(n一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c 1 )一f(a)=f“( 1 )(c 1 一 a)， 1 (a，c 1 )， f(c 2 )一 f(c 1 )=f“( 2 )(c 2 一
25、 c 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )， f(b)一 f(c n1 )=f“( n )(b一 c n1 )， n (c n1 ，b)， 从而有 )解析：26.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数， )解析：27.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(x 0 )=f“()(xx 0 )，其中 介于 x 0 与 x之间，则 )解析：28.设 f
26、(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 一 1) 2 f“(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f“(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 “()=0，而 “(x)=2(x1)f“(x)+(x 一 1) 2 f“(x)，所以 2(1)f“()+(一 1) 2 f“()=0，整理得 f“()= )解析：29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(
27、b)=0， a b f(x)dx=0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f“()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f“()一 3f“()+2f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F“(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 (2)令 h(x)=ef(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1
28、 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0， 而 h“(x)=e x f“(x)+f(x)且 e x 0，所以 f“( i )+f( i )=0(i=1，2) (3)令 (x)=e -x f“(x)+f(x)，( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a， b)，使得 “()=0， 而 (x)=e -x f“(x)一 f(x)且 e -x 0，所以 f“()=f() (4)令 g(x)=e -x f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g“( 1 )=g“( 2 )=0， 而
29、 g“(x)=e -x f“(x)一 f(x)且 e -x 0，所以 f“( 1 )f( 1 )=0，f“( 2 )一 f( 2 )=0 令 (x)=e -2x f“(x)一 f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：30.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c=a i (i=1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 c为异
30、于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 令 ， 构造辅助函数 (x)=f(x)k(xa 1 )(xa 2 )(xa n )，显然 (x)在a 1 ，a n 上 n阶 可导，且 (a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n1 ，a 1 )，使得 “( 1 (1) )=“( 2 (1) ) =“( n (1) )=，“(x)在(a 1 ，a n )内至少有 n个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，
31、设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n1) (c 1 )= (n1) (c 2 )=0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a n )，使得 (n) ()=0 而 (n) (x)=f (n) (x)一 n!k，所以 f (n) ()=n!k，从而有 )解析：31.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f“(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：32.设平面曲线 L上一点 M处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L在点 M处的法线，法线上的两点P，Q 分别位于 L
32、的两侧，其中 P在 AM上，Q 在 AM的延长线 AN上，若 P，Q 满足APAQ= 2 ，称 P，Q 关于 L对称设 L：y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设点 M(x，y)L，则 )解析：33.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)在区间0，1上连续，所以 f“(x)在区间0，1上取到最大值 M和最小值 m，对 f(x)一 f(0)=f“(c)x(其中 c介于 0与 x之间)两边积分得 0 1 f(x)dx= 0 1 f“(c)xdx， 由mf“(c)M 得 m 0 1 xdx 0 1 f“(c)xdxM 0 1 xdx， 即 m2 0 1 f“(c)xdxM 或 m2 0 1 f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dc)解析：
