1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 217 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 时，下列无穷小中，阶数最高的是( )（分数：2.00）A.ln(1+x 2 )一 x 2B.+cosx 一 2C. 0 x2 ln(1t 2 )dtD.e x2 一 1 一 x 23.设级数 都发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 a0，且 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)为奇函数，且 f (
2、1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)C(1，+)，广义积分， 1 f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 a n (2x 一 1) n 在 x=一 2 处收敛，在 x=3 处发散，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.求 （分数：
3、2.00）_13.确定常数 a，c，使得 （分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.设 e x 一 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f ()+f ()=0（分数：2.00）_17.计算下列积分： （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)
4、为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 f (x)一 （分数：2.00）_21.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 z=z(x，y)由方程 z+lnz y x e t2 dt=1 确定，求 （分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0，求极限 f(x 2 +y 2 +z 2 )d，其中 ： （分数：2.00）_25.设曲线积分 L f (x)+2f(x)e x ydx
5、+f (x)一 xdy 与路径无关，且 f(0)=0，f (0)= （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.(1)设 f(x)=e x 一 0 x (x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x) (2)设 f(x)在(一 1，+)内连续且 f(x)一 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 217 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，下列无穷小中，阶数最高的是( )（分数：2.00）A.l
6、n(1+x 2 )一 x 2B.+cosx 一 2C. 0 x2 ln(1t 2 )dt D.e x2 一 1 一 x 2解析：解析：当 x0 时，ln(1+x 2 )一 x 2 x 4 ， 3.设级数 都发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选(D) 因为 ( n + n )为正项级数，若 ( n + n )收敛，因为 0 n n + n ，0 n n + n ，根据正项级数的比较审敛法知， 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 a0，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=4，b=1；）解析：解析：5.设 f(x)为奇函数，且
7、f (1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f (x)为偶函数 由 f(x 3 )=3x 2 f (x 3 )得 6.设 f(x)C(1，+)，广义积分， 1 f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=*）解析：解析：7.设 f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x，y)=y 2 +xy+1）解析：解析：由 =2y+ 1 (x)， 因为 f y (x，0)=x，所以 1 (x)=x，即 =2y+x， 再由 8.设
8、f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2f(0，0)）解析：解析：F(t)= f(x，y)d=f(，)t 2 ，其中(，)D，D：x 2 +y 2 t 2 9.设 a n (2x 一 1) n 在 x=一 2 处收敛，在 x=3 处发散，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设级数 a n x n 的收敛半径为 R，则 解得 R=5，故级数 a n x 2n 的收敛半径为 10.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 一 2x=y 2 ，则
9、 x=(y 2 e 2dy dy+C)e 2dy =(y 2 e 2y dy+C)e 2y = 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.确定常数 a，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由洛必达法则， )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ， 由 A(2x+1)+B(x 一 2)=4x 一 3 得 ，解得 A=1，B=2， 即f(x)= )解析：15.设 e x 一 （分数：2.00）_正确答案：(
10、正确答案：e x =1+x+ (x 3 )， =1 一 bx+b 2 x 2 一 b 3 x 3 +o(x 3 )， =(1+ax)1bx+b 2 x 2 一 b 3 x 3 +(x 3 ) =1+(ab)x+b(ba)x 2 一 b 2 (b 一 a)x 3 +(x 3 )， e x =(1 一 a+b)x+( +abb 2 )x 2 +( +b 3 一 ab 2 )x 3 +(x 3 )， 由题意得 1 一 a+b=0， +abb 2 =0 且 +b 3 一 ab 2 0，解得 )解析：16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，
11、使得 f ()+f ()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.计算下列积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 ， 由 A(x+2)+B(x 一 1)=3x 一 2 得 ， 故 (2) )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的
12、曲边梯形的面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 (c)=cf(c)，S 2 (c)= c 1 f(t)dt=一 1 c f(t)dt，即证明 S 1 (c)=S 2 (c)或 cf(c)+ 1 c f(t)dt=0，令 (x)=x 1 x f(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在c(0，1)使得 (c)=0，即 cf(c)+ 1 c f(t)dt=0，所以 S 1 (c)=S 2 (c)，命题得证。)解析：(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 f (x)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=xf(x) x 1 f(t)dt，因为 h (
13、x)=2f(x)+xf (x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1)中的 c 是唯一的)解析：21.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2 一 a 因为a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， ，所以 S(a)= )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 2，一 1，一 3一 1，4，2=10，7，一 9，则ABC 的面积为 S= )解
14、析：23.设 z=z(x，y)由方程 z+lnz y x e t2 dt=1 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=0，y=0 时，z=1 z+lnz y x e t2 dt=1 两边分别对 x 和 y 求偏导得 )解析：24.设 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0，求极限 f(x 2 +y 2 +z 2 )d，其中 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ， )解析：25.设曲线积分 L f (x)+2f(x)e x ydx+f (x)一 xdy 与路径无关，且 f(0)=0，f (0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(x，y)=f (x
15、)+2f(x)+e x y， Q(x，y)=f (x)x， =f (x)一 1， =f (x)+2f(x)e x ， 因为曲线积分与路径无关，所以 ，整理得 f (x)一 f (x)一2f(x)=e x +1， 特征方程为 2 一 一 2=0，特征值为 1 =一 1， 2 =2， 方程 f (x)f (x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x ； 令方程 f (x)f (x)一 2f(x)=e x 的特解为 f 1 (x)=ae x ，代入得 a= ，即 f 1 (x)= e x ； 方程 f (x)f (x)2f(x)=1 的特解为 f 2 (x)= ，
16、 方程 f (x)一 f (x)一 2f(x)=e x +1 的特解为 f 0 (x)= (e x +1)， 方程 f (x)一 f (x)2f(x)=e x +1 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x (e x +1)， )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =4，得幂级数的收敛半径为 R= ， 当 x= 收敛，故级数的收敛域为 )解析：27.(1)设 f(x)=e x 一 0 x (x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x) (2)设 f(x)在(一 1，+)内连续且 f(x)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
17、1)由 f(x)=e x 一 0 x (xt)f(t)dt，得 f(x)=e x x 0 x f(t)dt+ 0 x tf(t)dt，两边对 x 求导，得 f (x)=e x 一 0 x f(t)dt，两边再对 x 求导得 f (x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx e x 在 f(x)=e x 0 x (x 一 t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f (x)=e x 0 x f(t)dt 中，令 x=0 得 f (0)=1，于是有 e x (2)由 f(x) 0 x tf(t)dt=1 得(x+1)f(x)一 0 x tf(t)dt=x+1，两边求导得 f(x)(x+1)f (x)xf(x)=1，整理得 f (x) )解析：
