1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 233 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 f(一 x)=一 f(x)，且在(0，+)内 f (x)0，f (x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f (x)0，f (x)0B.f (x)0，f (x)0C.f (x)0，f (x)0D.f (x)0，f (x)03.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐
2、点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点4.矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ahdhB.g 0 a ahdhC.g 0 h D.2g 0 h ahdh5.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在6.微分方程 y 一 4y=x+2
3、的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 +C 2 x)e 2x 一 B.(C 1 +C 2 x)e 2x 一 C.C 1 e 2x +C 2 e 2x 一 D.C 1 e 2x +C 2 e 2x 一 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)=ln(1+x)，当 x0 时，f(x)=f (x)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11. 0 2 xsinxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.过原点及点(6，一 3，2
4、)且与平面 4xy+2z=8 垂直的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_13. 0 2 dy y 2 x 2 e x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_19.证明方程 lnx= （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得
5、 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_22.设 z=f(e x siny，xy)，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_23.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：2.00）_24.计算曲面积分 (x 2 +y 2 )dzdx+zdxdy，其中 S 为锥面 z= （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.将 f(x)= （分数：2.00）_27.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)
6、（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 233 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 f(一 x)=一 f(x)，且在(0，+)内 f (x)0，f (x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f (x)0，f (x)0B.f (x)0，f (x)0C.f (x)0，f (x)0 D.f (x)0，f (x)0解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f (x)为偶函数，故在(一，0)内有 f (x)0，因为 f (x)为奇
7、函数，所以在(一，0)内 f (x)0，选(C)3.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点 解析：解析：由 =1 得 f (0)=0，由 1= 4.矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ahdh B.g 0 a ahdhC.g 0 h D.2g 0 h ahdh解析：解析：取x，xdx 5.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下
8、列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零 B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在解析：解析：可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则有 f x (x 0 ，y 0 )=0，f y (x 0 ，y 0 )=0，于是 f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零，选(A)6.微分方程 y 一 4y=x+2 的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 +C 2 x)e 2x 一 B.(C 1 +C 2 x)e 2x 一
9、 C.C 1 e 2x +C 2 e 2x 一 D.C 1 e 2x +C 2 e 2x 一 解析：解析：微分方程 y 一 4y=0 的特征方程为 2 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y 一 4y=0的通解为 C 1 e 2x +C 2 e 2x ，显然方程 y 一 4x=x+2 有特解 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f(x)=ln(1+x)，当 x0 时，f(x)=f (x)x，则 （分数：2.
10、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f (x)= ，f(x)=f (x)x，得 ln(1x)= 故 10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x tan ）解析：解析：11. 0 2 xsinxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析： 0 2 xsinxdx= 0 sinxdx 2 xsinxdx， 而 0 xsinxdx= 0 sinxdx= 0 sinxdx=， 2 xsinxdx 12.过原点及点(6，一 3，2)且与平面 4xy+2z=8 垂直的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：正确答案：2x+2y 一 3z=0）解析：解析：设所求平面为 ：Ax+By+CzD=0，因为 经过原点，所以 D=0，即 ：AxBy 一 Cz=0，又因为 经过点(6，一 3，2)且与 4xy+2z=8 垂直，所以13. 0 2 dy y 2 x 2 e x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 2 dy y 2 x 2 e x2 dx= 0 2 dx 0 x x 2 e x2 dy= 0 2 x 3 e x2 dx = 0 2 x 2 e x2 d(x 2 )= 0 4 xe x dx= 14. （分数：2.00）填空项 1
12、:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 L 1 ：y=1x(起点 x=1，终点 x=0)， L 2 ：y=1+x(起点 x=0，终点 x=一 1) L 3 ：y=1x(起点 x=一 1，终点 x=0)， L 4 ：y=一 1+x(起点 x=0，终点 x=1) 则 15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：
13、(正确答案：由 =e 3 得 f(0)=0， )解析：19.证明方程 lnx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 =0，得 x=e，因为 f (e)= 0 为 f(x)的最大值，又因为 )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= a x f(t)dt b x g(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 (x
14、)=f(x) b x g(t)dtg(x) a x f(t)dt， 所以 f() b g(x)dx+g() a f(x)dx=0，即 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx)解析：解析：由 f(x) x b g(t)dt=g(x) a x f(t)dt 得 g(x) a x f(t)dt+f(x) b x g(t)dt=0 即 a x f(t)dt b x g(t)dt=0，则辅助函数为 (x)= a x f(t)dt b x g(t)dt22.设 z=f(e x siny，xy)，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =e x sinyf 1
15、+yf 2 ， )解析：23.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将区域向 x 轴投影， 令 D 1 =(x，y)0x1， y2x，D 2 =(x，y)1x2， y3 一 x， )解析：24.计算曲面积分 (x 2 +y 2 )dzdx+zdxdy，其中 S 为锥面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将曲面 S 向 xOz 面投影得 D xz =(x，y)0x1，xz1 )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：26.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)在，上满足狄里克莱充分条件，将 f(x)进行周期延拓， a 0 = 0 f(x)dx= ， a 0 = (n=1，2，)， b n =0(n=1，2，)， x= 时，傅里叶级数收敛于 ， 则 f(x)= )解析：27.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 ，则有 0 x f(t)dt= ，两边求导得 f(x)= ， )解析：
