1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 253 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在(a，b)定义，x 0 (a，b)，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x(a，b)B.若(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则 f“(x 0 )=0C.若 f(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则 x 0 一定不是 f(x)的极值点D.若 f(x)在 x=x
2、0 处取极值，则 f(x 0 )=03.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x4.在下列二元函数中，f“ xy (0，0)f“ yx (0，0)的二元函数是（分数：2.00）A.f(x，y)=x 4 +2x 2 y 2 +y 10 B.f(x，y)=ln(1+x 2 +y 2 )+cosxyC.D.5.对于任意 x 的值， （分数：2.00）A.0
3、B.1C.12D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 K，L， 为正的常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(0)=1，f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线(x1) 3 =y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 x=a(cost+tsint)，y=a(sinttcost)(0t2)的长度 L= 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4、_13. （分数：2.00）_设 n 为正整数，利用已知公式 I n = 0 2 sin n xdx= 0 2 cos n xdx= I * ，其中 （分数：4.00）(1).J n = 0 2 sin n xcos n xdx；（分数：2.00）_(2).J n = 1 1 (x 2 1) n dx（分数：2.00）_14.设 f(x)=arcsin(x1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_15.设 P(x)在0，+)连续且为负值，y=y(x)在0，+)连续，在(0，+)满足)y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）
5、_16.讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln 2 x+k 在(0，+)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_17.设 f(x)在(，+)可导，且 （分数：2.00）_18.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_19.若 ，=6，3，2，而|=14，求 （分数：2.00）_20.设函数 u(x，y)有连续二阶偏导数，满足 （分数：2.00）_21.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_改变二重积分的累次积分的顺序（分数：4.00）(1). 0 1 dx （分数：2.00）_(2). 1 0 d
6、x f(x，y)dy+ 0 1 dx （分数：2.00）_22. 0 1 dx 0 1 dy （分数：2.00）_23.设半径为 R 的球面的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?（分数：2.00）_24.设 f(x)在2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= x x f(x+t)dt，证明级数 （分数：2.00）_设有级数U： u n 与V： （分数：4.00）(1).若U，V均绝对收敛，则 （分数：2.00）_(2).若U绝对收敛，V条件收敛则 （分数：2.00）_25.设 a n = 0 1 x 2 (
7、1x) n dx，求 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 253 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在(a，b)定义，x 0 (a，b)，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x(a，b)B.若(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则 f“(x 0 )=0C.若 f(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则 x 0 一定不是
8、 f(x)的极值点 D.若 f(x)在 x=x 0 处取极值，则 f(x 0 )=0解析：解析：考察(C)f“(x 0 )0，不妨设 f“(x 0 )0，则 由极限保号性 f(x)在(x 0 ，x 0 单调下降，在x 0 ，x 0 +)单调上升 f(x)f(x 0 )=0(x(x 0 ，x 0 +)，xx 0 ) 3.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos
9、 2 x 解析：解析：仅有(D)含有两个独立的任意常数 C 1 与 C 2 ，选(D)4.在下列二元函数中，f“ xy (0，0)f“ yx (0，0)的二元函数是（分数：2.00）A.f(x，y)=x 4 +2x 2 y 2 +y 10 B.f(x，y)=ln(1+x 2 +y 2 )+cosxyC. D.解析：解析：对于(A)，(B)：f(x，y)均是二元初等函数， 因而(C)，(D)中必有一个是 f“ xy (0，0)=f“ yx (0，0)，而另一个是 f“ xy (0，0)f“ yx (0，0)现考察(C) (x，y)(0，0)时， (x，y)=(0，0)时， =ddf(x)| x=
10、0 =0 (x，y)=(0，0)时， 5.对于任意 x 的值， （分数：2.00）A.0 B.1C.12D.解析：解析：级数 3 n n!x n 的敛散性由 可知幂级数 3 n n!x n 的收敛半径R=+，因此级数对任意的 x 值均收敛由级数收敛的必要条件得知 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 K，L， 为正的常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：K L 1 ）解析：解析：属 1 型极限原式= ，而 因此，原式= 7.设 f(0)=1，f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：8.曲线(x1) 3
11、=y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=8+3(x5)*y=3x7）解析：解析：由隐函数求导法，将方程(x1) 3 =y 2 两边对 x 求导，得 3(x1) 2 =2yy 令x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x1) 3 =y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y=8+3(x5) 9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：13）解析：解析：这是求 00 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数 f(x)= sin
12、tttdt 还是变限积分注意到这一点就容易求得11.曲线 x=a(cost+tsint)，y=a(sinttcost)(0t2)的长度 L= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2 a）解析：解析：曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得 三、解答题(总题数：17，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意分解 1+x 6 =1+(x 2 ) 3 =(1+x 2 )(1x 2 +x 4 ) )解析：设 n 为正整数，利用已知公式 I n = 0 2 sin n xdx= 0 2
13、 cos n xdx= I * ，其中 （分数：4.00）(1).J n = 0 2 sin n xcos n xdx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：J n =2 n 0 2 sin n 2xdx=2 n 12 0 sin n udu，而 0 sin n udu= 0 2 sin n udu+ 2 sin n udu=2 0 2 sin n udu， (其中 2 sin n udu 2 0 sin n (t)dt= 0 2 sin n tdt) )解析：(2).J n = 1 1 (x 2 1) n dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：J n =2 0 1 (1) n (
14、1x 2 ) n dx 2 0 2 (1) n (1sin 2 t) n costdt )解析：14.设 f(x)=arcsin(x1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f(x)dx= 0 1 f(x)d(x1)=x(x1)f(x)| 0 1 0 1 (x1)f(x)dx =f(0) 0 1 (x1)f(x)dx= 0 1 (x1)arcsin(x1) 2 dx =12 0 1 arcin(x1) 2 d(x1) 2 12 1 0 arcsintdt=12 0 1 arcsintdt )解析：15.设 P(x)在0，+)连续且为负
15、值，y=y(x)在0，+)连续，在(0，+)满足)y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y+P(x)y0(x0) y(x)0 (x0)，又 y(x)在0，+)连续，y(x)0(x0) y(x)P(x)y(x)0 (x0) y(x)在0，+)单调增加 )解析：16.讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln 2 x+k 在(0，+)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x+ln 2 x+k2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数由 令 g(
16、x)=x+lnx1 令 f(x)=0 可解得唯一驻点 x 0 =1(0，+) 当0x1 时 f(x)0，f(x)在(0，1单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)在1，+)单调增加于是f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为(0，+)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关 当 f(1)0 即 k2 时 f(x)在(0，+)内恒为正值函数，无零点 当 f(1)=0 即 k=2 时 f(x)在(0，+)内只有一个零点 x 0 =1 当 f(1)0 即 k2 时需进一步考察 f(x)在x0 + 与 x+的极限： )解析：17.设 f(
17、x)在(，+)可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43) )解析：18.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲率半径公式知，曲线 y=y(x)满足 解方程：y“=1a(1+y 2 ) 32 ，令p=y，则 )解析：19.若 ，=6，3，2，而|=14，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 =x，y，z，由 )解析：20.设函数 u(x，y)有连续二阶偏导数，满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 u x (x，
18、2x)=x 2 得 u x (x，2x)+2u y (x，2x)=1，u y (x，2x)=12(1x 2 ) 现将 u x (x，2x)=x 2 ，u y (x，2x)=12(1 2 )分别对 x 求导得 u“ xx (x，2x)+2u“ y (x，2x)=2x， u“ yx (x，2x)+2u“ yy (x，2x)=x 式2式，利用条件 u“ xx (x，2x)u“ yy (x，2x)=0 及 u“ xy (x，2x)=u“ yx (x，2x)得 3u“ xy (x，2x)=5x，u“ sy (x，2x)=53x 代入式得 u“ xx (x，2x)=u“ yy (x，2x)=43x)解析：
19、21.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设三角形的三边长为 a，b，c，并设以 AC 边为旋转轴(见图 81)，AC 上的高为h，则旋转所成立体的体积为 V=13h 2 b 又设三角形的面积为 S，于是有 所以V=4p3b(pa)(pb)(pc) 问题化成求 V(a，b，c)在条件 a+b+c2p=0 下的最大值点，等价于求V 0 (a，b，c)=ln1b(pa)(pb)(pc)=ln(pa)+ln(pb)+ln(pc)lnb 在条件 a+b+c2p=0 下的最大值点 用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c
20、，)=V 0 (a，b，c)+(a+b+c2p)，求解方程组 )解析：改变二重积分的累次积分的顺序（分数：4.00）(1). 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 911 所示 )解析：(2). 1 0 dx f(x，y)dy+ 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 912 所示 )解析：22. 0 1 dx 0 1 dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 D(x)：0y1，0zx 2 +y 2 现改为先 y 后 z 的顺序，将 D(x)分成两块：0zx 2 ，0y1；x 2 z1+x 2 ， y1，如图 920则 )解析：23.
21、设半径为 R 的球面的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设的球心为(0，0，a)，的方程是 x 2 +y 2 +(za) 2 =R 2 ，与定球的交线为 a 2 z 2 =R 2 (za) 2 ，x 2 +y 2 =R 2 (za) 2 ，即 在定球内部那部分在 Oxy 平面上的投影区域为 这部分球面的方程是 z=a ，(x，y)D它的面积是 )解析：24.设 f(x)在2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= x x f(x+t)dt，证明级数 （分数：2.0
22、0）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)在2，2上有连续的导数，则|f(x)|在2，2上连续，设 M 为|f(x)|在2，2上的最大值。则 x1，1时， F(x)= x x f(x+t)dt= 0 2x f(u)du= 0 2x f(u)d(u2x) =f(u)(u2x)| 0 2x 0 2x f(u)(u2x)du = 0 2x f(u)(u2x)du， 由此可得|F(x)|M 0 2x (2xu)du=2Mx 2 ，x1，1 因此|F(1n)|2Mn 2 (n=1，2，)，由于 1n 2 收敛，由比较判别法可得 |F(1n)|收敛，即 )解析：设有级数U： u n 与V： （分数：4.0
23、0）(1).若U，V均绝对收敛，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 |u n +v n |u n |+|v n |， (|u n |+|v n |)收敛，再由比较原理 )解析：(2).若U绝对收敛，V条件收敛则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由假设条件知， |u n +v n |发散 用反证法若 |u n +v n |收敛 |u n |=|u n +v n u n |u n +v n |+|u n |， 且 (|u n +v n |+|u n |)收敛 |v n |收敛，与已知条件矛盾 因此 |u n +v n |发散，即 )解析：25.设 a n = 0 1 x 2 (1x) n dx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 a n )解析：
