1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 20 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a、b 为非零常数，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab3.设函数 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但
2、不连续C.连续但不可导D.可导4.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.一 1C.D.一 26.若 f(一 x)=f(x)(一x+)，在(一，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内有（分数：2.00）A.f“(x)0，f(x)0B.f“(x)0，x(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)07.设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 28.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x
3、=a 处不可导的充分条件是（分数：2.00）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0 且 f“(a)0C.f(a)0 且 f“(a)0D.f(a)0 且 f“(a)0二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f“(0)=b，若函数 （分数：2.00）填空项 1:_10.设曲线 f(x)=x 2 +ax 与 g(x)=bx 2 +c 都通过点(一 1，0)，且在点(一 1，0)有公共切线，则 a= 1，b= 2，c= 3（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_11.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在
4、点 x= 1 处取极小值 2（分数：2.00）填空项 1:_12.设商品的需求函数 Q=100 一 5p，其中 Q、P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 f“(x 0 )=一 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设方程 e xy +y 2 =cosx 确定 y 为 x 的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.设方程 x=y y 确定 y 是 x 的函数，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_1
5、8.设(x 0 ，y 0 )是抛物线 y=ax 2 +hx+c 上的一点若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 y=f(1nx)e f(x) ，其中 f 可微，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(，0)，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理
6、证明不等式 f(a+b)f(a)+f(b)其中 a、b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_23.试证明函数 （分数：2.00）_24.设函数 （分数：2.00）_25.求证：当 x1 时, （分数：2.00）_26.设某产品的成本函数为 C=aq 2 +bq+c，需求函数为 （分数：2.00）_27.假设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内二阶可导，过点 A(0，f(0)与 B(1，f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c，f?其中 0c1证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使 f“()=0（分数：2.00）_28.假设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+
7、)内存在且大于零，记 F(x)= （分数：2.00）_29.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数为 R=PQ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量，(产品的产量)，Q(P)是单调减函数如果当价格为 P 0 ，对应产量为 Q 0 时，边际收益 收益对价格的边际效应 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.00）_(2).讨论 f“(x)在(一，+)上的连续性（分数：2.00）_设某种商品的单价为 P 时，售出的商品数量 Q 可以表示成 （分数：4.00）(1).求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；（分数：2.00）_(2).要使销售额最大，
8、商品单价 p 应取何值?最大销售额是多少?（分数：2.00）_30.在经济学中，称函数 为固定替代弹性生产函数，而称函数 为 CobbDouglas 生产函数，(简称 CD 生产函数)试证明：当 X0 时，固定替代弹性生产函数变为 CD 生产函数，即有（分数：2.00）_一商家销售某种商品的价格满足关系 P=702X(万元吨)，x 为销售量(单位：吨)，商品的成本函数是C=3x+1(万元)（分数：4.00）(1).若每销售一吨商品，政府要征税 t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；（分数：2.00）_(2).t 为何值时，政府税收总额最大（分数：2.00）_31.设某酒厂有一批新酿的好酒，
9、如果现在(假定 t=0)就售出，总收入为 R 0 (元)如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 （分数：2.00）_32.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0试证存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_33.设函数 f(x)在区间01上连续，在(0，1)内可导，且 ，试证(1)存在 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 20 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)对任
10、意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a、b 为非零常数，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab 解析：解析：在 f(1+x)=af(x)中，令 x=0 得 f(1)=af(0)3.设函数 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：由于当 x0 时， 为有界变量， 为无穷小量，则 ，且 f(0)=0，则 f(x)在x=0 处连续但4.曲线 （分数
11、：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：由于 则 为其一条水平渐近线，又5.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.一 1C.D.一 2 解析：解析：由6.若 f(一 x)=f(x)(一x+)，在(一，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内有（分数：2.00）A.f“(x)0，f(x)0B.f“(x)0，x(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：由 f(一 x)=f(x) (一x+)知，f(x)的图形关于 y 轴对称由在(一，0)内 f“(x)0 且 f“(x)0 知，f(x)的图形在
12、(一，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，+)内f(x)的图形单调下降，且是凸的，则 C 为正确选项7.设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 2 解析：解析：由题设 f(x)在(一，+)内可导，且 f(x)=f(x+4)，两边对 x 求导，则 f“(x)=f“(x+4)，故 f“(5)=f“(1)由干8.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是（分数：2.00）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0 且 f“(a)0 C.f(a)0 且 f“(a)0D.f(a)0
13、 且 f“(a)0解析：解析：排除法A 选项显然不正确，f(x)=(x 一 a) 2 就是一个反例 事实上 C 和 D 也是不正确的因为 f(x)在 a 点可导，则 f(x)在 a 点连续，若 f(a)0(或 f(a)0)则存在 a 点某邻域在此邻域内f(x)0(或 f(x)0)，因此在 a 点的此邻域内f(x)=f(x)(或f(x)=一 f(x)从而可知f(x)与 f(x)在 a 点可导性相同，而 f(x)在点可导，从而 C 和 D 都不正确，因此，应选 B二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f“(0)=b，若函数 （分数：2.00）填
14、空项 1:_ （正确答案：正确答案：a+b）解析：解析：由于 F(x)在 x=0 连续，则10.设曲线 f(x)=x 2 +ax 与 g(x)=bx 2 +c 都通过点(一 1，0)，且在点(一 1，0)有公共切线，则 a= 1，b= 2，c= 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）填空项 1:_ （正确答案：一 1）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：由于曲线 f(x)和 g(x)都通过点(一 1，0)，则 0=一 1 一 a，0=b+c 又曲线 f(x)和 g(x)在点(一 1，0)有公共切线则 f“(一 1)=3x 2 +a x=-1 =3+a=g“(
15、一 1)=2bx x=-1 =一 2b 即 3+a=一 2b，又0=一 1 一 a，0=b+c 则 a=一 1，b=一 1，c=111.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在点 x= 1 处取极小值 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由高阶导数的莱不尼兹公式 可知，f (n) (x)=(n+x)e x ;f (n+1) (x)=(n+1+x)e x ,f (n+2) (x)=(n+2+x)e x 令 f (n+1) (x)=0，解得 f (n) (x)的驻点 x=一(n+1)又 f (n+2) 一(n+1)=e -(n+1) 0，则 x=一(
16、n+1)为 f (n) (x)的极小值点，极小值为 12.设商品的需求函数 Q=100 一 5p，其中 Q、P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(10，20）解析：解析：由 Q=1005p，得 Q“(p)=一 5，需求弹性为 令13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则14.已知 f“(x 0 )=一 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：15.设方程 e xy +y 2 =cosx 确定 y 为 x 的
17、函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 e xy +y 2 =cosx 两边对 x 求导，得 e xy (y+xy“)+2yy“=一 sinx 解得 16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设方程 x=y y 确定 y 是 x 的函数，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 x=y 3 两边取对数得：lnx=ylny 上式两边求微分得 18.设(x 0 ，y 0 )是抛物线 y=ax 2 +hx+c 上的一点若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系
18、是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y“=2ax+b，y“(x 0 )=2ax 0 +b 过(x 0 ，y 0 )的切线方程为 yy 0 =(2ax 0 +b)(xx 0 )即 y 一(ax 0 2 +bx 0 +c)=(2ax 0 +b)(xx 0 )由于此切线过原点，把 x=y=0 代入上式，得 一 ax 0 一bx 0 一 c=一 2ax 0 2 一 bx 0 ，即 ax 0 2 =c 所以，系数应满足的关系为 19.设 y=f(1nx)e f(x) ，其中 f 可微，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析
19、：解析：由 y=f(1nx)e f(x) 可知 20.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(，0)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 f(x)在点(1，1)处的切线为 y=ax+b则三、解答题(总题数：16，分数：36.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式 f(a+b)f(a)+f(b)其中 a、b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_正确答案
20、：(正确答案：f(a+b)f(a)+f(b)，就是要证明 f(a+n)一 f(a)一 f(b)0又 f(0)=0， 所以，只要证明 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)0而 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)=f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)=f“( 2 )a 一 f“( 1 )a=af“( 2 )一 f“( 1 )0 1 a，b 2 a+b 又 f“(x)单调减少，则 f“( 2 )f“( 1 )，从而有 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)0 故 f(a+b)f(a)+f(b)解析：23.试证明函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因
21、为 令 只要证明 g(x)0，x(0，+)以下有两种方法证明 g(x)0，一种是利用单调性，由于 故函数 g(x)在(0，+)上单调减，又 由此可见 g(x)0 x(0，+)另一种是利用拉格朗日中值定理，因为 故函数 f(x)在(0，+)上单调增加 )解析：24.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 而 f(1)=1，故 所以 f(x)在 x=1 处不连续若令 )解析：25.求证：当 x1 时, （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(x)在1，+)上连续，所以 f(x)在1，+)上为常数，故 f(x)=f(1)=0 即 )解析：26.设某产品的成本函数为 C=
22、aq 2 +bq+c，需求函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利润函数为 )解析：27.假设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内二阶可导，过点 A(0，f(0)与 B(1，f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c，f?其中 0c1证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 A，B 两点的直线方程为 y=f(1)一 f(0)x+f(0)令 G(x)=f(x)一f(1)一 f(0)x一 f(0)则 G(0)=G 一 G(1)=0 由罗尔定理知了 ，使 G“()=0，而 G“(x)=f“(x)故 )解析：28.
23、假设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数为 R=PQ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量，(产品的产量)，Q(P)是单调减函数如果当价格为 P 0 ，对应产量为 Q 0 时，边际收益 收益对价格的边际效应 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由收益 R=PQ 对 Q 求导，有 )解析：设 （分数：4.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，有 当 x=0 时，由导数定义，有 )解析：(2).讨论
24、f“(x)在(一，+)上的连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为在 x=0,处 )解析：设某种商品的单价为 P 时，售出的商品数量 Q 可以表示成 （分数：4.00）(1).求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设售出商品的销售额为 R，则 )解析：(2).要使销售额最大，商品单价 p 应取何值?最大销售额是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)可知，当 时，销售额 R 取得最大值，最大销售额为 )解析：30.在经济学中，称函数 为固定替代弹性生产函数，而称函数 为 CobbDouglas 生产函数，(简称 C
25、D 生产函数)试证明：当 X0 时，固定替代弹性生产函数变为 CD 生产函数，即有（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：一商家销售某种商品的价格满足关系 P=702X(万元吨)，x 为销售量(单位：吨)，商品的成本函数是C=3x+1(万元)（分数：4.00）(1).若每销售一吨商品，政府要征税 t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T 为总税额，则 T=tx;商品销售总收入为 R=px=(702x)x=7x 一 02x 2 利润函数为 RCT=7x 一 02x 2 一 3x 2 一 1 一 tx=一 02x 2 +(4 一 t)x
26、 一 1 由于 )解析：(2).t 为何值时，政府税收总额最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 代入 T=tx，得 由 得唯一驻点 t=2；由于 )解析：31.设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)就售出，总收入为 R 0 (元)如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 A(t)=Re -(n) ，而 所以 )解析：32.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0试证存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)使 e b 一 e a =e (b 一 a) )解析：33.设函数 f(x)在区间01上连续，在(0，1)内可导，且 ，试证(1)存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=f(x)一 x，则 (x)在0，1上连续又 (1)=一 10, ，由介值定理可知，存在 )解析：
