1、考研数学三（无穷级数）-试卷 2 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若正项级数 收敛，则 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定3.若级数 收敛(u n 0)，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 u n =(一 1) n ，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7
2、级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定8.设 =2，则级数 （分数：2.00）A.1B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 (一 1) n 一 1 a n =2， a 2n 一 1 =5，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.判别级数 （分数：2.00）_14.判断级数 （分数：2.00）_15.判断级数 （分数：2.00）_16.判断级
3、数 （分数：2.00）_17.判断级数 （分数：2.00）_18.设正项级数 收敛，证明 （分数：2.00）_19.若正项级数 与正项级数 都收敛，证明下列级数收敛： （分数：2.00）_20.求幂级数 （分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.求幂级数 （分数：2.00）_23.求幂级数 （分数：2.00）_24.求幂级数 （分数：2.00）_25.将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数（分数：2.00）_26.将 f(x)= （分数：2.00）_设有幂级数 2+ （分数：6.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：2.00）_(2).证明此幂级数满足微分方
4、程 y“一 y=一 1;（分数：2.00）_(3).求此幂级数的和函数（分数：2.00）_考研数学三（无穷级数）-试卷 2 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若正项级数 收敛，则 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不确定解析：解析：因为 0 收敛，所以 收敛，于是3.若级数 收敛(u n 0)，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 S n =u 1 +u 2 +u n ，因为 u
5、 n 收敛，所以 S n 存在且 u n =0， 令 S“ n =(u 1 +u 2 )+(u 2 +u 3 )+(u 2 +u 3 )=2S n 一 u 1 +u n+1 ， 于是 4.设 u n =(一 1) n ，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由交错级数审敛法, u n 收敛，而 u n 2 =1n 2 5.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令 u n = 都发散，但 (u n + n )收敛，(A)不对；令 u n = n = ，显然 n 都发散，但 u n n 收敛，(B)不对； 6.下列命题正确的是( ) （分数：2
6、00）A.B.C.D. 解析：解析：选(D) 取 u n = 收敛，(A)不对； 取 u n = 收敛，(B)不对； 取 u n = n = 发散，(C)不对； 因为 =0，从而存在 M0，使得|u n |M，于是|u n n |M n ，因为正项级数 n 收敛，根据比较审敛法， |u n n |收敛，即 7.级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性不确定解析：解析：因为 单调减少且以零为极限，由 Leibniz 审敛法，级数 收敛，而8.设 =2，则级数 （分数：2.00）A.1B.C.D. 解析：解析： =2|x| 2 ，当|x| 绝对收敛；当|x| 时，级数
7、 发散，故其收敛半径为 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 (一 1) n 一 1 a n =2， a 2n 一 1 =5，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析： 10.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，4)）解析：解析：令 x 一 2=t，对级数 所以收敛半径为 R=2，当 t=2 时，三、解答题(总题数：16，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.判别级数 （分数：
8、2.00）_正确答案：(正确答案： 所以级数 )解析：14.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为当 x0 时 slnxx，所以 0 收敛，根据比较审敛法，级数 )解析：15.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 收敛，由比较审敛法得级数 )解析：16.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：17.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 为单调减少的数列，又 收敛因为 发散，故级数 )解析：18.设正项级数 收敛，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 (u n +u n+1 )， 而 (u n
9、u n+1 )收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知 收敛，反之不一定成立，如级数 1+0+1+0+发散，因为 u n u n+1 =0(n=1，2，)，所以 )解析：19.若正项级数 与正项级数 都收敛，证明下列级数收敛： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 收敛 (2)因为 )解析：20.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得收敛半径为 R= 当 发散，故级数的收敛域为 )解析：21.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =4，得幂级数的收敛半径为 R= 当 收敛，故级数的收敛域为 所以 S(x)= 0 x S“(x)dx= )解析：
10、22.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：幂级数 n(n+1)x n 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1) )解析：23.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1 得该级数的收敛半径为 R=1，因为当 x=1 时， (2n+1)(1) n 发散，所以级数的收敛域为(一 1，1) 将 x 2 换成 x 得 S(x)= )解析：24.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 S“(x)= )解析：25.将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)= (一 1) n x 2n
11、一 1x1)，f(0)=0，得 f(x)=f(x)一 f(0)= 0 x f“(x)dx= 0 x 由逐项可积性得 显然 x=1 时级数收敛，所以 )解析：26.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设有幂级数 2+ （分数：6.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).证明此幂级数满足微分方程 y“一 y=一 1;（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2+ 则 f“(x)= )解析：(3).求此幂级数的和函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C 1 e 一 x +C 2 e x +1， 再由 f(0)=2，f“(0)=0得 C 1 = ，C 2 = )解析：
