1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 43 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关C.X，Y 独立D.X，Y 不独立3.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关4.若 E
2、(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)5.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立6.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 +(1+k)X 2 2 +X 3 2C.X 1 2 +2X 2 2 +X 3 2D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7
3、.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X-Y|= 1，D|X-Y|= 2（分数：2.00
4、）填空项 1:_12.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2) 1（分数：2.00）填空项 1:_14.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， 则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 为
5、来自总体的简单随机样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.设 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_19.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_20.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_21.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_设随机变量
6、X，Y 同分布，X 的密度为 设 A=Xa与 B=Ya)相互独立，且 （分数：4.00）a；_(2). （分数：2.00）_22.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：2.00）_23.设试验成功的概率为 失败的概率为 （分数：2.00）_24.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、5 5 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_25.设 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 v 表示观察值大于 （分数：2.00）_26.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取
7、出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_27.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记（分数：4.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：2.00）_(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：2.00）_28.在长为 L 的线段上任取两点，求两点
8、之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_29.设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 （分数：2.00）_30.设 XU(一 1，1)，Y=X 2 ，判断 X，y 的独立性与相关性（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 43 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(
9、XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关 C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：D(aX+bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)+2abCov(X，Y)， D(aXbY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)一2abCoy(X，Y)， 因为 D(aX+6y)=D(aX 一 6y)，所以 Cov(X，y)=0，即 X，y 不相关，选(B)3.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关 解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(
10、X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是X，Y 不相关，选(D)4.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y) 解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Coy(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0， 而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(D)5.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相
11、关且相互独立D.相关但不相互独立 解析：解析：由 XU0，2得 因为 E(XY)E(X)E(Y)，所以 X，Y 一定相关，故 X，Y 不独立，选(D)6.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 +(1+k)X 2 2 +X 3 2 C.X 1 2 +2X 2 2 +X 3 2D.解析：解析：因为统计量为样本的无参函数，选(B)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1。（分数：2.00）填空
12、项 1:_ （正确答案：正确答案：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y) =9Cov(X，X)一 4Cov(Y，Y)=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y) 由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 所以 ）解析：8.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：D(Y)=4D(X)=36， Coy(X，Y)=Coy(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X
13、，3)=2D(X)+Cov(X，3) 因为 Cov(X，3)=E(3X)一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以Cov(X，Y)=2D(X)=18， 于是 ）解析：9.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：10.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E(X 一 2Y+3)=E(X)一 2E(y)+3=2， D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X)+4D(Y)一 4Coy(
14、X，Y)， 由 ）解析：11.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X-Y|= 1，D|X-Y|= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 Z=XY，则 ZN(0，2)， 因为E|Z| 2 =E(Z 2 )=D(Z)+E(Z) 2 =2， 所以 D|Z|=E|Z| 2 (E|Z|) 2 = ）解析：12.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：13.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2) 1（分数：2.00）填空项 1:
15、_ （正确答案：正确答案：*）解析：14.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于N(，2 2 )，所以 从而 ）解析：15.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：16.设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_
16、 （正确答案：正确答案：由 得 由 得 ）解析：三、解答题(总题数：16，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.设 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(Uu)=P(maxX，Y)u)一 PXu，Yu=P(Xu)P(Yu)， )解析：19.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：XU(0，1) 因为 X，Y 相互独立，所以 于是 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 0z1 时， 当 z1 时， 所以 )解析：20.一台
17、设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i 个部件需要调整(i=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X=3)=P(A 1 A 2 A 3 )=0006， P(X=2)=1050403980006=0092， 所以 X 的分布律为 )解析：21.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1 一 P(X3)， 因为 所以 )解析
18、：设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 设 A=Xa与 B=Ya)相互独立，且 （分数：4.00）a；_正确答案：(正确答案：因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p， )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p) k-1 p(k=1，2，) )解析：23.设试验成功的概率为 失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设试验的次数为 X，则 X 的分布律为 令 所以 )解析：24.游客乘电梯从
19、底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、5 5 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 游客等电梯时间设为 T，则 于是 )解析：25.设 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 v 表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：YB(4，p)，其中 )解析：26.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：
20、2.00）_正确答案：(正确答案：显然 XB(10，P)，其中 p=P(16L22)因为 LN(18，4)，所以 所以)解析：27.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 显然 X=X 1 +X 2 +X 10 因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20 ，从而第 i 个站有人下车的概率为 109 20 ，即 X i 的分布律为 于是 E(X i )=109
21、 20 。(i=1，2，10)，从而有 )解析：设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记（分数：4.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X 1 ，X 2 )的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(X 1 =0，X 2 =0)=P(X 3 =1)=01， P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)=01， P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)=08， P(X 1 =1，X 2 =1)=0 (X 1 ，X 2 )的联合分布律
22、为 )解析：(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： E(X 1 )=E(X 1 2 )=08，E(X 2 )=E(X 2 2 )=01，E(X 1 X 2 )=0， 则D(X 1 )=016，D(X 2 )=009，Cov(X 1 ，X 2 )=一 008， 于是 )解析：28.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=|XY|，X，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 )解析：29.设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )， 所以(X，Y)的联合密度函数为 )解析：30.设 XU(一 1，1)，Y=X 2 ，判断 X，y 的独立性与相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=0， 因此 Cov(X，Y)=0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法 )解析：
