1、考研数学二-110 (1)及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设*，则( )（分数：4.00）A.f(x)在 x=1 连续，在 x=-1 间断B.f(x)在 x=1 间断，在 x=-1 连续C.f(x)在 x=1，x=-1 都连续D.f(x)在 x=1，x=-1 都间断2.设 y1(x)，y 2(x)是微分方程 y“+py+qy=0 的解，则由 y1(x)，y 2(x)能构成方程通解的充分条件是( )（分数：4.00）A.y1Y2-y1y2=0B.y1Y2-y1y20C.y1Y2+y1y2=0D.y1Y2+y1y203.设 t0，
2、则0 时，*dxdy 是 t 的 n 阶无穷小量，则 n 为( )（分数：4.00）A.2B.4C.6D.84.设 f(x)连续，*，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点5.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)可导且单调增加，则 f(x)0B.若 f(x)，f(x)皆可导且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)C.若 f(x)，g(x)皆可导且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)
3、D.若 f(x)0，则 f(x)单调增加6.设线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中*则 k 为( )（分数：4.00）A.1B.-1C.2D.-27.设 f(x)在a,+)内二阶可导，f（分数：4.00）A.=A0，f(a)0，f“(x)0(xa)，则8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.A 与 B 相似B.r()=r()C.A，B 的正惯性指数相同D.A，B 与同一个对角阵合同二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.*（分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(u，v)二阶连续可偏导，且*（分数：4.00）填空项 1:_
4、11.*（分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程*的通解为 1。（分数：4.00）填空项 1:_13.*（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称矩阵，*为方程组 AX=0 的解，*为方程组(2E-A)x=0 的一个解，|E+A|=0，则A=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.计算极限*（分数：11.00）_16.()设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)，且 f(z)非常数函数。证明：存在，(a，b)，使得 f()0，f()0。 ()设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)非
5、线性函数证明：存在 (a，b)，使得*（分数：11.00）_17.设 f(x)在0，2上二阶可导，且 f“(x)0，f(0)=1，f(2)=-1，f(0)=f(2)=1。证明：*（分数：11.00）_18.设抛物线 y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0)。 () 求 S=S(a)的表达式； () 当 a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：11.00）_19.计算二重积分*，其中 D 是由*及 y=-x 所围成的区域。（分数：11.00）_20.讨论*在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性。（分数：11.00）
6、_21.设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y-y=(4-6x)e-x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴 () 求曲线 y=y(x)的表达式； () 求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距离； () 计算积分*（分数：11.00）_22.设 A 为三阶矩阵，其第一行元素 a，b，c 不全为零，*，且 AB=O，求方程组 AX=0 的通解。（分数：11.00）_23.* () 求常数 a，b 及 1所对应的特征值； () 矩阵 A 可否相似对角化?若 A 可对角化，对 A 进行相似对角化；若 A 不可对角化，说明理由。（分数：11.00）_考研数学二-110 (
7、1)答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设*，则( )（分数：4.00）A.f(x)在 x=1 连续，在 x=-1 间断B.f(x)在 x=1 间断，在 x=-1 连续 C.f(x)在 x=1，x=-1 都连续D.f(x)在 x=1，x=-1 都间断解析：详解 由*，f(-1)=0，得 f(x)在 x=-1 处连续。由 f(1-0)*，*，得 x=1 为 f(x)的跳跃间断点，选(B)。2.设 y1(x)，y 2(x)是微分方程 y“+py+qy=0 的解，则由 y1(x)，y 2(x)能构成方程通解的充分条件是( )（分数：4.0
8、0）A.y1Y2-y1y2=0B.y1Y2-y1y20 C.y1Y2+y1y2=0D.y1Y2+y1y20解析：详解 y 1(x)，y 2(x)能构成微分方程 y“+py+qy=0 通解的充分必要条件是*不是常数，即*3.设 t0，则0 时，*dxdy 是 t 的 n 阶无穷小量，则 n 为( )（分数：4.00）A.2B.4C.6 D.8解析：详解 * * 因为*，所以*即 n=6，选(C)。4.设 f(x)连续，*，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(1)不是 f(
9、x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点解析：详解 因为*，所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x-1| 时，有*，即当 x(1-,1)时，f(x)0；当 x(1,1+)时，f(x)0。根据极值的定义，f(1)为 f(x)的极小值，选(B)。5.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)可导且单调增加，则 f(x)0B.若 f(x)，f(x)皆可导且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)C.若 f(x)，g(x)皆可导且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)D.若 f(x)0，则 f(x)单调增加 解析：详解 f(x)=x 3为单调增加的函数，f(x)=3x
10、2，因为 f(0)=0，所以 f(x)0，(A)不对；令 f(x)=x，g(x)= 2(x1)，显然 f(x)g(x)，但 f(x)g(x)，(B)不对；令 f(x)=2，g(x)=x(x2)，显然f(x)g(x)，但 f(x)g(x)，(C)不对；由微分中值定理得 f(x2)=f(x1)=f()(x 2-x1)，因为 f(x)0，所以 x2-x1与 f(x1)-f(x1)同号，即 f(x)单调增加，选(D)。6.设线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中*则 k 为( )（分数：4.00）A.1B.-1C.2D.-2 解析：详解 * 因为 AX=k 1+ 2有解，所以*，解得 k=-2，选(
11、D)。7.设 f(x)在a,+)内二阶可导，f（分数：4.00）A.=A0，f(a)0，f“(x)0(xa)，则解析：详解 *，其中 介于 a 与 x 之间因为 f(a)=A0,*，所以 f(x)在a,+)上至少有一个根。由*单调不增，所以当 xa 时，*在a,+)为单调减函数，所以根是唯一的8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.A 与 B 相似B.r()=r()C.A，B 的正惯性指数相同D.A，B 与同一个对角阵合同 解析：详解 A，B 合同的充分必要条件是 A，B 的正、负惯性指数相同，(A)只是 A，B 合同的充分条件而非必要
12、条件；A，B 合同，则 r(A)=r(B)，反之不对，因此(B)是 A，B 合同的必要条件；A，B 合同要求正、负惯性指数都相同，(C)不对；当 A，B 合同时，A，B 一定与同一个对角阵合同，反之，若 A，B 与同一个对角阵合同，则 A，B 的正、负惯性指数相同，故 A，B 合同，选(D)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *10.设 f(u，v)二阶连续可偏导，且*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 * *11.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *12.微分方
13、程*的通解为 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *13.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 * 于是* *14.设 A 为三阶实对称矩阵，*为方程组 AX=0 的解，*为方程组(2E-A)x=0 的一个解，|E+A|=0，则A=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 显然*为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以*，解得 k=1，于是* 又因为|E+A|=0，所以 3=-1 为 A 的特征值，令 3=-1 对应的特征向量为* * *三、解答题(总题数：9，分数：9
14、9.00)15.计算极限*（分数：11.00）_正确答案：(当 x0 时，*，则 *)解析：16.()设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)，且 f(z)非常数函数。证明：存在，(a，b)，使得 f()0，f()0。 ()设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)非线性函数证明：存在 (a，b)，使得*（分数：11.00）_正确答案：()因为 f(x)非常数函数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)。不妨设f(c)f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在 ，(a，b)，使得 * ()令* 因为 f(x)非线性函数，所
15、以 (x)不恒为零，于是存在 c(a，b)，使得 (c)0，不妨设 (c)0，则存在 1， 2(a，b)，使得 *)解析：17.设 f(x)在0，2上二阶可导，且 f“(x)0，f(0)=1，f(2)=-1，f(0)=f(2)=1。证明：*（分数：11.00）_正确答案：(首先 f“(x)0，所以 f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而 f(0)=f(2)=1 为最小值，故f(x)1(z0,2)，从而*因为 f“(x)0，所以有 *)解析：18.设抛物线 y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0)。 () 求 S=
16、S(a)的表达式； () 当 a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：11.00）_正确答案：() 设另一个切点为*，则抛物线 y=x2的两条切线分别为 L1:y=2ax-a2，* 因为 L1L 2，所以*，两条切线 L1，L 2的交点为*，y 1=ax0，L 1，L 2及抛物线 y=x2所围成的面积为 * () *，得*因为当*时，S(a)0，当 a*时，S(a)0，所以当*时，面积 S(a)取最小值。)解析：19.计算二重积分*，其中 D 是由*及 y=-x 所围成的区域。（分数：11.00）_正确答案：(* *)解析：20.讨论*在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性。（分数：11
17、.00）_正确答案：(* *所以 fx(0，0)=0，根据对称性得 fy(0，0)=0，即函数 f(x，y)在(0，0)处可偏导。 * *不存在，所以函数 f(x，y)在(0，0)处不可微。)解析：21.设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y-y=(4-6x)e-x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴 () 求曲线 y=y(x)的表达式； () 求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距离； () 计算积分*（分数：11.00）_正确答案：(微分方程的特征方程为 2 2+-1=0， 特征值为 1=-1，*，则微分方程 2y“+y-y=0 的通解为 * 令非齐次线性微
18、分方程 2y“+y-y=(4-6x)e-x的特解为 y0(x)=x(ax+b)e-x，代入原方程得 a=1，b=0，故原方程的特解为 y0(x)=x2e-x，原方程的通解为 * 由初始条件 y(0)=y(0)=0 得 C1=C2=0，故 y=x2e-x。 () 曲线 y=x2e-x到 x 轴的距离为 d=x2e-x，令 d=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x=0，得 x=2。 当 x(0，2)时，d0；当 x2 时，d0，则 x=2 为 d=x3e-x的最大值点，最大距离为* *)解析：22.设 A 为三阶矩阵，其第一行元素 a，b，c 不全为零，*，且 AB=O，求方程组 AX=0
19、的通解。（分数：11.00）_正确答案：(由 AB=0，得 r(A)+r(B)3。 1)当 k6 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，于是方程组 AX=0 的通解为 * 2)当 k=6 时，由 r(B)=1，得 1r(A)2。 当 r(A)=2 时，方程组 Ax=0 的通解为*，其中 C 为任意常数； 当 r(A)=1 时，不妨设 a0，由 r(A)=1，得*，于是方程组 AX=0 的通解为*，其中 c1，c 2为任意常数。)解析：23.* () 求常数 a，b 及 1所对应的特征值； () 矩阵 A 可否相似对角化?若 A 可对角化，对 A 进行相似对角化；若 A 不可对角化，说明理由。（分数：11.00）_正确答案：() 根据特征值特征向量的定义，有 A 1= 1，即*，解得 a=1，b=1，=3，则* () 由|E-A|=0，得 1= 2=2，*，因为 r(2E-A)=2，所以 A 不可对角化。)解析：
