1、考研数学二-169 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x，y)在点 P(x0，y 0)的两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（分数：4.00）A.存在B.及 都存在C.f(x，y)在点 P(x0，y 0)必连续D.f(x，y)在点 P(x0，y 0)可微2.设 n 维向量 （分数：4.00）A.B.C.D.3.由 y=2x-x2与 y=0 围成图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ( )（分数：4.00）A.B.2C.D.4.当 x0 时，以下无穷小量：(x)=x-sinx；
2、， ， 按从低阶到高阶的顺序排列为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.5. 的值为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 y=f(x)有二阶导数，对任意实数 x，满足：f(x)=-f(-x)及 f(x)=f(x+1)，若 f(1)0，则有 ( )（分数：4.00）A.f“(-5)f(-5)f(-5)B.f(-5)=f“(-5)f(-5)C.f(-5)f(-5)f“(-5)D.f(-5)f(-5)=f“(-5)7.设 n3 时，n 阶矩阵如果 r（分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （
3、分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)在(-，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx 且 f(x)=x(x0，)则 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 z=z(x，y)由方程：z=2y+e 2x-3z确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.若 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.函数 (x)0 连续，且存在常数 k0，使 （分数：9.00）_16.设 （分数：10.00）_17.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=
4、0 确定的隐函数 z=z(x，y)的极值（分数：11.00）_18.设 f(t)为连续函数，试证： ，其中区域 D=|(x，y)| （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)0，令（分数：10.00）_20.当涉及的广义积分收敛时，试证以下积分等式：（分数：11.00）_21.设物体 A 从点(0，1)出发，沿 y 轴正向运动，其速度大小为常数 ，质点 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2，方向始终指向 A，试建立质点 B 的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件（分数：11.00）_22.已知齐次线性方程组（分数：11.00）_23.已知矩阵
5、（分数：11.00）_考研数学二-169 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x，y)在点 P(x0，y 0)的两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（分数：4.00）A.存在B.及 都存在 C.f(x，y)在点 P(x0，y 0)必连续D.f(x，y)在点 P(x0，y 0)可微解析：考点 二元函数在一点偏导数，累次极限，二元极限，连续、可微的关系答案解析 *根据一元函数 f(x，y 0)(f(x0，y)在 x=x0(y=y0)可导必连续知，*必存在应选(B)(A)，(C)，(D)不成
6、立的反例：取*则*但*不存在(取(x，y)沿 x 轴或 y=x 趋于(0，0)极限值不相等)，所以 f(x，y)在(0，0)不连续，不可微2.设 n 维向量 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵乘法运算答案解析 AB=(E- T)(E+2 T)=E- T+2 T-2 T T由于*，故*应选(B)3.由 y=2x-x2与 y=0 围成图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ( )（分数：4.00）A.B.2C.D. 解析：考点 定积分用于求旋转体的体积答案解析 *交点(0，0)，(2，0)* (y0，1)，以 y 为积分变量，*4.当 x0 时，以下无穷小量：(x)=x-sin
7、x； ， ， 按从低阶到高阶的顺序排列为 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 无穷小的阶的比较答案解析 *因此，从低阶到高阶的排序为：(x)，(x)，(x)，(x)应选(C)*5. 的值为 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 定积分的计算的一种技巧答案解析 *于是*故*，应选(A)6.设函数 y=f(x)有二阶导数，对任意实数 x，满足：f(x)=-f(-x)及 f(x)=f(x+1)，若 f(1)0，则有 ( )（分数：4.00）A.f“(-5)f(-5)f(-5)B.f(-5)=f“(-5)f(-5) C.f(-5)f(-5)f“(-5)D.f(-5)f
8、(-5)=f“(-5)解析：考点 二阶可导周期奇函数的性质答案解析 f(x)是以 T=1 为周期的二阶可导奇函数，从*知 f(x)是以 T=1 为周期的可导偶函数；从*知f“(x)是以 T=1 为周期的奇函数，从而 f(0)=0，f“(0)=0于是f(-5)=f(-4)=f(-1)=f(0)=0f“(-5)=f“(-4)=f“(0)=0；f(-5)=f(-4)=f(1)0，因此可得：f(-5)=f“(-5)f(-5)应选(B)7.设 n3 时，n 阶矩阵如果 r（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的秩答案解析 因为 r(A)=n-1，故|A|=0，而且 A 存在(n-1)阶子式
9、不为 0如果 a=1，则 r(A)=1A 的二阶子式全为 0，从而(A)不正确当 a1 时，因为|A|=0，即有*必有(n-1)a+1=0，即*应选(C)8. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数在一点的左、右极限答案解析 *即极限不存在，但不是，应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：25e -4+2anctan2）解析：考点 求数列极限(与定积分定义相关联)答案解析 对 xn取对数后，化为和式极限：*经变形得*右端为对 f(x)=ln(1+x2)对0，2进行 2n 等分后，取*(i=1，2，2n)后的一
10、个积分和，于是由f(x)在0，2连续，必可积得*10.设函数 f(x)在(-，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx 且 f(x)=x(x0，)则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2-2）解析：考点 求定积分答案解析 *11.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*(c 为任意常数)）解析：考点 解一阶微分方程答案解析 记*则*方程为全微分方程，将方程写为：*即 *亦即 *于是有 *通解为 *(c 为任意常数)12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 函数在一点的导数答案解析 *注意到：*于是*13.设函数 z=z(x，y)由
11、方程：z=2y+e 2x-3z确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 二元隐函数求偏导数答案解析 由全微分形式不变性，在 z=2y+e2x-3z两边取微分，得 dz=2dy+e2x-3z(2dx-3dz)，即(1+3e 2x-3z)出=2e 2x-3zdx+2dy亦即 *从而 *故*14.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求伴随矩阵答案解析 (3A) *=|3A|(3A)-1*于是*从而*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.函数 (x)0 连续，且存在常数 k0，使 （分数：9.00）_正确答案：(1)f(x)的定义域
12、 Df=-1，+)，取 a=*，b=1用公式：*，得*+2)，故*，即 f(x)在定义域上有界(2)对任意实数 xD g=(-，+)，由*+x 4)得*，于是*即 g(x)在定义域上有界(3)*，从而 h(x)在定义域 Dh=(-，+)上无界(4)D (-，+)，(x+2k)=(x+k)+k=*，即 (x)是定义域上以 2k0 为周期的连续周期函数，从而有界即四函数中在定义域有界的是 f(x)，g(x)，(x)；无界的是 h(x)解析：考点 讨论函数在定义域内有界性16.设 （分数：10.00）_正确答案：(1)*f(x)的定义域为 Df=(-，+)(2)当 x1 时，以 f(x)显然连续，仅
13、当 f(1-0)=f(1+0)=f(1)时，f(x)在 x=1 连续，即*，亦即 a+b=l 时，f(x)在 x=1 连续，从而 f(x)在 Df上连续(3)当 x1 时，f(x)显然可导，当 f-(1)=f+(1)时，f(x)在 x=1 可导，注意到可导必连续，即有*因此仅当 a=2，b=-1 时，f(x)在 x=1 处可导，于是 f(x)在(-，+)上可导)解析：考点 求函数解析式并讨论其在定义域内连续性与可导性17.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 确定的隐函数 z=z(x，y)的极值（分数：11.00）_正确答案：(在方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 两
14、边取微分，得4xdx+4ydy+2zdz+8(zdz+xdz)-dz=0整理得*即 *令*，得 y=0，x=-2z，代入已知方程，得 7z2+z-8=(z-1)(7z+8)=0，得 z1=1，*，于是驻点为(-2，0)，*，而*于是*在(-2，0)，*处都有 B2-AC0，因此 z=z(x，y)在点(-2，0)处取极小值 z=1；在点*处取极大值*)解析：考点 求二元隐函数的极值18.设 f(t)为连续函数，试证： ，其中区域 D=|(x，y)| （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：考点 二重积分化为累次积分，最后化为定积分19.设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)0，令（分
15、数：10.00）_正确答案：(因为 f(x)0，连续，所以当 x0 时，F(x)=*连续，可导又*即 F(x)在 x=0 处右连续，所以 F(x)在0，+)上连续又当 x0 时，*记*，则*因此当 x0 时，(x)单调增加，即有 g(x)g(0)=0，故当 x0 时，F(x)0所以 F(x)在0，+)上单调增加)解析：考点 证明函数在所给区间上严格单调增加20.当涉及的广义积分收敛时，试证以下积分等式：（分数：11.00）_正确答案：(令*，则当 x+时，t+；当 x0 +时，t-；当 x0 -时，t+；当 x-时，t-，故应以 0 为分界点，将*分解成两部分即*同时将 x 与 t 的关系反解
16、出来，得*，于是当 x0 时，*当 x0 时，*因此*)解析：考点 证明涉及广义积分的积分等式21.设物体 A 从点(0，1)出发，沿 y 轴正向运动，其速度大小为常数 ，质点 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2，方向始终指向 A，试建立质点 B 的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件（分数：11.00）_正确答案：(设在时刻 t，B 点位于(x，y)=(x(t)，y(t)，而 A 点位于(0，1+t)又设 B 点运动轨迹方程为 y=f(x)B 的速度方向指向 A，表明 BA 沿曲线 y=f(x)的切线方向，由导数几何意义知*两边对 x 求导得*注意在时刻 t 内，点 B
17、的行程为*的弧长，即有 2t=*(负号是由于 x1，而弧长恒正)，对 x 求导，得：*，代入(2)式，得到 B 点运动轨迹满足的方程为*初始条件为：*)解析：考点 对物理问题列微分方程并写初始条件22.已知齐次线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(由于方程组()当中“方程个数(为 2)未知数个数(为 3)”，所以()必有非零解，而()与()同解，即()也有非零解，故()的系数行列式为 0，有*对()的系数矩阵作初等行变换，有*得()的通解为 X=k(1，1，-1) T由于 X=(1，1，-1) T是()的解，故有*当*时，方程组()为*其通解为 X=k(1，1，-1) T，所以()，()
18、同解，当*时，方程组()为*由于 r()=12=r()，因此()与()不同解，故舍之从而当 =2，=1，=2 时，方程组()与()同解)解析：考点 两个齐次线性方程组同解，求其中参数23.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1)*则 A 的特征值 1= 2=1， 3=4 都大于 0，故 A 为正定矩阵(2)A 属于特征值 1= 2=1 的特征向量为 X1=(-1，1，0) T，X 2=(-1，0，1) T属于特征值 3=4 的特征向量为 X3=(1，1，1) T将 X1，X 2，X 3正交化，单位化得*令*则 C 是正交矩阵，使*令 B=CC T，则 BT=CC T=B，即 B 对称且与对角矩阵 合同，因此 B 是正定矩阵(或用 B 的特征值都大于 0，知 B 正定)，满足 A=B2，其中*即为所求)解析：考点 正定矩阵及性质
