1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 6 及答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：28，分数：56.00)1.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_2.已知 （分数：2.00）填空项 1:_3.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f(x)20(x0)（分数：2.00）填空项 1:_4.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_5.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_7.=
2、 1. （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_9.函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 以 3 cms 的速率增加则当 l=12 cm，=5cm时，它的对角线增加速率为 1（分数：2.00）填
3、空项 1:_14.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_15.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 ，则 y=f(x)的反函数 x=f 1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_18.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_20.若 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_21.设函数 f
4、(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ,f(2)=1，则 f“(2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_23.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_24.设可导函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_25.设 （分数：2.00）填空项 1:_26.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_27.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b= 1.（分数：2.00）填空项 1:_28.设 y=y(x)是由 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：15，分数：34.00)
5、29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_30.已知曲线 L 的方程 （分数：2.00）_31.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明必存在 ，(a，b)，使得 e f()+f“()=1（分数：2.00）_32.设函数 f(x)满足 f(1)=f“(1)=2求极限 （分数：2.00）_33.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0，证明当 f“(x 0 )0,f(x)在 x 0 处取得极小值。（分数：2.00）_设 f(x)为一 a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= -a a
6、xtf(t)dt（分数：6.00）(1).证明 F“(t)单调增加（分数：2.00）_(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值（分数：2.00）_(3).当 F(x)的最小值为 f(a)一 a 2 一 1 时，求函数 f(x)（分数：2.00）_34.证明函数恒等式 （分数：2.00）_35.设函数 （分数：2.00）_36.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点（分数：2.00）_37.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 （分数：2.00）_38.设 D 是位于曲线 （分数：2.00
7、）_39.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f“(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y-1 =1 所确定设 z=f(lnysinx)，求 （分数：2.00）_40.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 （分数：4.00）(1).证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；（分数：2.00）_(2).证明存在 (0，3)，使 f“()=0（分数：2.00）_41.设 ，求(1) (2) （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 6 答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一
8、、填空题(总题数：28，分数：56.00)1.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，一 6)）解析：解析：由题设 ，则有2.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，3.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f(x)20(x0)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：64）解析：解析：要使 f(x)20，只需 3x 5 +A20x 3 ，即 20x 3 一 3x 5 A(x0)设 g(x)=20x 3 一 3x 5 ，则 A 至少是 g(x)在(
9、0，+)内的最大值 由于 4.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x）解析：解析： 所以5.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：解析：令 (x)=4x 3 一 18x 2 +27，则 6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用洛必达法则，则有7.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：运用洛必达法则，8.= 1. （分数：
10、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：9.函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 y“=x 2x (21nx+2)，令 y“=0 得驻点为 10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对 f(x)求导,f“(x)=e -x4 .2x=0，得 x=0当 x0 时 f“(x)0；当 x0 时 f“(x)0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0 11.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.
11、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：对 x 求导可得，12.函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2 n (n 一 1)!）解析：解析：将 ln(1+t)按照泰勒公式展开成级数的形式：13.已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 以 3 cms 的速率增加则当 l=12 cm，=5cm时，它的对角线增加速率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3cms）解析：解析：设 l=x(t)，w=y(t)，对角线增加的速率为 s(t)根据题
12、意，在 t=t 0 时，x(t 0 )=12，y(t 0 )=5，且 x“(t 0 )=2，y“(t 0 )=3又因 14.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线16.设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：将 x=0 代入原方程可得 y=0方程
13、 x 2 一 y+1=e y 两端同时对 x 求导，有 17.设函数 ，则 y=f(x)的反函数 x=f 1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由反函数的求导法则可知18.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，0)）解析：解析：将 y“=2x+1，y“=2 代入曲率计算公式，有 19.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：
14、一 4）解析：解析：21.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ,f(2)=1，则 f“(2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3）解析：解析：由题设知 f“(x)=e f(x) ，在此方程两边同时对 x 求导得 f“(x)=e f(x) f“(x)=e 2f(x) ，f“(x)=2e 2f(x) f“(x)=2e 3f(x) ，又 f(2)=1，故 f“(2)=2e 3f(2) =2e 3 22.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由此可得法线的斜率为一 1，因此可得法线方程为
15、即23.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由已知 而 x1 时，f“(x)=2所以 f“(一 1)=f“(0)=2，代入可得24.设可导函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：25.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1+3x)e 3x）解析：解析：先求出函数的表达式，即 26.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 2x）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得27.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，
16、则 b= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：本题考查已知拐点坐标确定曲线方程中的一个参数y=x 3 +ax 2 +bx+1，y“=3x 2 +2ax+b，y“=bx+2a 28.设 y=y(x)是由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由隐函数求导法则二、解答题(总题数：15，分数：34.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：30.已知曲线 L 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)切线方程为 设 x 0 =t 0 2 +1，y 0 =4t 0 一 t 0 2 ，则 整
17、理得 t 2 +t 0 一 2=0，或者(t 0 一 1)(t 0 +2)=0，解之得 t 0 =1 或 t 0 =一 2，因为 t 0 0，所以 t 0 =1此时对应的点为(2，3)，进而可得切线方程为 y=x+1 (3)设 L 的方程为 x=g(y)，则 根据 t 2 一 4t+y=0 解得 )解析：31.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明必存在 ，(a，b)，使得 e f()+f“()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e x f(x)，由已知 f(x)及 e x 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值
18、定理条件，因此，存在 ，(a，b)，使得 F(B)一 F(A)=e b f(b)一 e a f(a)=F“()(b 一 a)=e f“()+f()(b 一 a)及 e b 一 e a =e (b 一 a)将以上两式相比，且由 f(a)=f(b)=1，整理后有 e f()+f“()=1)解析：32.设函数 f(x)满足 f(1)=f“(1)=2求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 )解析：33.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0，证明当 f“(x 0 )0,f(x)在 x 0 处取得极小值。（分数：2.00）_正确答案：(
19、正确答案：由题设 f“(x 0 )0，且由导数定义可知 )解析：设 f(x)为一 a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= -a a xtf(t)dt（分数：6.00）(1).证明 F“(t)单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 F(x)= -a a x 一 tf(t)dt = -a x (x 一 t)f(t)dt+ x a (t 一 x)f(t)dt =x -a x (t)dt 一 -a x tf(t)dt+ x a tf(t)dt 一 x x a f(t)dt =x -a x f(t)dt 一 -a x tf(t)dt a x tf(t)dt+x a x f
20、(t)dt，F“(x)= -a x f(t)dt+xf(x)一 xf(x)xf(x)+ a x f(t)dt+xf(x) = -a x f(t)dt a x f(t)dt = -a x f(t)dt a x f(t)dt. 所以 F“(x)=2f(x)0，因此 F“(x)为单调增加的函数)解析：(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 F“(0)= -a 0 f(x)dx 0 a f(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F“(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也为最小点)解析：(3).当 F(x)的最小值
21、为 f(a)一 a 2 一 1 时，求函数 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2 0 a tf(t)dt=f(a)一 a 2 一 1，两边进行求导得 2af(a)=f“(a)一 2a，于是 f“(x)一 2xf(x)=2x，解得 )解析：34.证明函数恒等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 要证 f(x)=g(x)在 x(一 1，1)时成立，只需证明： f(x)，g(x)在(一 1，1)内可导，且当 x(一 1，1)时 f“(x)=g“(x)； 存在 x 0 (一 1，1)，使得 f(x 0 )=g(x 0 ) 由初等函数的性质知,f(x)与 g(x)都在(一
22、 1，1)内可导，且容易计算得到 )解析：35.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 )解析：36.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=3ax 2 +2x，由题意 f“(0)=0,f“(一 1)=3a 一 2=0，由此可得 于是f“(x)=2x 2 +2x,f“(x)=4x+2，令二阶导数为 0，则可得 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性，如下： 由此可知，函数 f(x)的单调增区间是(一，一 1)(0，+)，单调减区间是(一1，0)，
23、极大值是 ，极小值为 f(0)=2，拐点是 )解析：37.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 e x dx=2tdt，由条件 x t=0 =0 得 e x =1+t 2 ，即 x=ln(1+t 2 ) )解析：38.设 D 是位于曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f“(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y-1 =1 所确定设 z=f(lnysinx)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.设 f(x)在0，+)连
24、续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先做恒等变形转化为 型极限，然后用洛必达法则 )解析：设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 （分数：4.00）(1).证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 2f(0)= 0 2 f(x)dx，又根据 f(x)在0，2上是连续的，由积分中值定理得，至少存在一点 (0，2)，使得 0 2 f(x)dx=f().(2 一 0)因此可得 2f(0)=2f()，即存在(0，2)，使得 f()=f(0)解析：(2).证明存在 (0，3)，使 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(2)+f(3)=2f(0)，即 )解析：41.设 ，求(1) (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
