1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 10 及答案解析(总分：92.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在(，)内连续，其导函数的图形如图 124 所示，则 f(x)有 （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极火值点D.一个极小值点和一个极大值点3.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(，0)内单调减少C.
2、对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(，0)，有 f(x)(0)4.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)f“(x) 2 x 且 f“(0)0，则（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y 一f(x)的拐点5.曲线 y(x1) 2 (x3) 2 的拐点个数为（分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.设 f(x)x(1x)，则（分数：2.00）A.x0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 yf(x)的拐点B.x0 不
3、是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 yf(x)的拐点C.x0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 yf(x)的拐点D.x0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 yf(x)的拐点7.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.若 f“(x)不变号，且曲线 yf(x)存点(1，1)处的曲率圆为 x 2 y 2 2，则函数 f(x)在区间(1，2)内（分数：2.00）A.有极值点，无零点B.无极值点，有零点C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点10.设函数 f(x)x 2 (x1)(x2)，则 f“(x)的零点个数为
4、（分数：2.00）A.0B.1C.2D.311.函数 f(x)ln(x1)(x2)(x3)的驻点个数为（分数：2.00）A.0B.1C.2D.312.设函数 Yf(x)在(0，)内有界且可导，则（分数：2.00）A.当 时，必有B.当 存在时，必有C.当 时，必有D.当 存在时，必有13.已知函数 f(x)在区间(1，1)内具有二阶导数，f“(x)严格单调减少，且 f(1)f“(1)1，则（分数：2.00）A.在(1，1)和(1，1)内均有 f(x)xB.在(1，1)和(1，1)内均有 f(x)xC.在(1，1)内，(x)x在(1，1)内，f(x)xD.在(1，1)内 f(x)x，在(1，1)
5、内，f(x)x。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 yx 2 在区间(0，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_17.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_18.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_20.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_21.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_22.y2 x 的麦克劳林公式中 x 项的系数是 1（分数：2.00）填空项 1:_23.曲线 （分数：2.00）填空项 1:
6、_24.曲线 yx 2 x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.求函数 f(x) 1 x2 (x 2 t)e t2 dt 的单调区间与极值。（分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.设函数 yy(x)由参数方程 （分数：2.00）_29.已知函数 （分数：2.00）_30.就 k 的不同取值情况，确定方程 在开区间 （分数：2.00）_31.讨论曲线 y4lnxk 与 y4xln 4 x 的交点个数（分数：2.00）_32.设 yf(x)是区间0，
7、1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在x 0 ，1上以 yf(x)为曲边的梯形面积 (2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_33.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导。且 f(0)0，f(1)1证明： (1)存在 (0，1)使得 f()1； (2)存在两个不同的点 ，(0，1)使得 f“()f“()1（分数：2.00）_34.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b)，证明：存在 (a，
8、b)，使得 f“()g“()（分数：2.00）_35.设函数 f(x)在闭区间1，1上具有三阶连续导数，且 f(1)0，f(1)1，f“(0)0，证明：在开区间(1，1)内至少存在一点 ，使 f“()3（分数：2.00）_36.设 f(x)在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在a，a上至少存在一点 ，使 a 3 f“()3 a a f(x)dx（分数：2.00）_37.(1)证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 a b (x)dxf()(ba)； (2)若函数 (
9、x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) a b (x)dx，则至少存在一点 (1，3)，使得 “()0（分数：2.00）_38.(1)证明拉格朗日拉值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f“()(ba) (2)证明：若函数 f(x)在 x0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_39.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)0， ，证明：存在 （分数：2.00）_40.设奇函数 f(x)在闭区间1，1上具有 2 阶导数，且 f(1)1证明(1)存在 (0，1)，使得 f
10、“()1；(2)存在 (1，1)，使得 f“()f“()1（分数：2.00）_41.设 x(0，1)，证明： (1)(1x)ln 2 (1x)x 2 ； (2) （分数：2.00）_42.设 0ab，证明不等式 （分数：2.00）_43.设 eabe 2 ，证明 ln 2 bln 2 a （分数：2.00）_44.证明：当 0ab 时，bsinb2cosbbasina2cosaa（分数：2.00）_45.证明： （分数：2.00）_46.设 (x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)处的曲率半径，ss(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式
11、为 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 10 答案解析(总分：92.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在(，)内连续，其导函数的图形如图 124 所示，则 f(x)有 （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极火值点 D.一个极小值点和一个极大值点解析：解析：分析 答案与极值点的个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4个，是极大值点还是极小值
12、点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定 详解 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x0 则是导数不存在的点，三个一阶导数为零的点左、右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，故应选(C) 评注 本题也可利用 f“(x)的严格单调性用第二充分条件判定极值，用加强条件法：假设 f(x)二阶连续可导，则在 y 轴右侧，由 f“(x)严格单调增加，知 f“(x)0，可见 y 轴右侧的一阶导数为零的点必为极小值点，同理可判定 y 轴左侧有一个极大值
13、点和一个极小值点，而 x0 则只能用第一允分条件进行判定3.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) D.对任意的 x(，0)，有 f(x)(0)解析：解析：分析 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A)，(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析 详解 由导数的定义，知 根据保号性，知存在0，当 x(，0)(0，)时，有4.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)f“(x) 2 x 且 f“(0)0，则（分数：
14、2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y 一f(x)的拐点解析：解析：分析 由题设 f“(0)0，是否为极值点可通过 f“(0)的符号来定，但易知 f“(0)0，因此可进一步通过 f“(0)的符号确定是否为拐点若还有 f“(0)0，则要通过更高阶导数的符号才能进行判断其为极值点或拐点 详解 因为 f“(0)0，由原关系式 f“(x)f“(x) 2 x 知，f“(0)0，因此点(0，f(0)可能为拐点由 f“(x)f(x) 2 x 知 f(x)的三阶导数
15、存在，且 f“(x)2f“(x)f“(x)1， 可见 f“(0)1因此在 x0 的左侧，f“(x)0，对应曲线弧是下凹(上凸)的；而在 x0 的右侧，f“(x)0，对应曲线弧是上凹(下凸)的，故点(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点 评注 一般地，若 f(x)在点 x 0 处满足：f“(x 0 )0，f (k1) (x 0 )0，f k (x 0 )0， 则当 k(k2)为偶数时，x 0 是函数f(x)的极值点；当 k 为奇数时，点(x 0 ，f(x 0 )是曲线 yf(x)的拐点5.曲线 y(x1) 2 (x3) 2 的拐点个数为（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：分析
16、 可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点，本题二阶导数均存在，因此只需求出二阶导数为零的点，再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点)的符号进行判断即可 详解 1 因为 y“4(x1)(x2)(x3)， y“4(3x 2 12x11)， y“24(x2) 显然 y“0 有两个零点，且在此两点处三阶导数 y“0，因此曲线有两个拐点故应选(C) 详解 2 由于所给函数光滑、特殊，因此不必计算二阶导数即可判断出拐点的个数 首先，y 是 4 次多项式，其曲线最多拐 3个“弯儿”，因此拐点最多有 2 个其次，x1，x3 是极小点，在两点之间必有唯一的极大点，设为 x 0 又 ，y 的大致图
17、形如图 125 所示于是在(1，x 0 )和(x 0 ，3)内各有一个拐点故应选(C) 评注 本题从一阶导函数有三个零点即知 y“有两个零点，且显然不为 2，故三阶导数一定非零，从而知曲线有两个拐点 一般地，若 f“(x 0 )0，y“(x 0 )0，则点(x 0 ，f(x 0 )一定是曲线 yf(x)的拐点，事实上，由 6.设 f(x)x(1x)，则（分数：2.00）A.x0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 yf(x)的拐点B.x0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 yf(x)的拐点C.x0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 yf(x)的拐点 D.x0 不是 f
18、(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 yf(x)的拐点解析：解析：分析 求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论 x0 两边，f“(x)，f“(x)的符号 详解 1 从而，当1x0 时，f(x)向上凹；当 0x1 时，f(x)向上凸，于是(0，0)为拐点 又 f(0)0，x0，1 时，f(x)0，从而 x0 为极小值点 所以，x0 是极值点，(0，0)是曲线yf(x)的拐点，故应选(C) 详解 2 (用图解法)令 f(x)x(1x)0，得曲线与 x 轴的交点：x 1 0，x 2 1，则 图形如图 126 所示，由图可以看出(C)正确 7.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：
19、解析：分析 先找出无定义点，确定其是否为对应铅直渐近线；再考虑水平或斜渐近线 详解 因为 所以 x0 为铅直渐近线； 又 ，所以 y0 为水平渐近线； 进一步， 于足有斜渐近线 yx，故应选(D) 评注 一般来说，有水平渐近线 就不再考虑斜渐近线但当 8.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：详解 由 ，知 x1 为铅直渐近线；由9.若 f“(x)不变号，且曲线 yf(x)存点(1，1)处的曲率圆为 x 2 y 2 2，则函数 f(x)在区间(1，2)内（分数：2.00）A.有极值点，无零点B.无极值点，有零点 C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点解析：解析：详解由
20、题意可知，f(x)是一个凸函数，即 f“(x)0， 且在点(1，1)处的曲率10.设函数 f(x)x 2 (x1)(x2)，则 f“(x)的零点个数为（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：详解 因为 f(0)f(1)f(2)0，因此 f“(x)在区间(0，1)和(1，2)上各至少有一个零点，又显然 f“(0)0，因此 f“(x)的零点个数为 3，故应选(D) 评注 若直接计算 f“(x)有 f“(x)x(4x 2 9x4) 也可推导出 f“(x)的零点个数为 311.函数 f(x)ln(x1)(x2)(x3)的驻点个数为（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：
21、分析解方程 f“(x)0，考察根的个数 详解由导数公式 得 。 令 f“(x)0，得12.设函数 Yf(x)在(0，)内有界且可导，则（分数：2.00）A.当 时，必有B.当 存在时，必有 C.当 时，必有D.当 存在时，必有解析：解析：分析 本题考查函数的有界性与函数的极限、导函数的极限之间的关系，可通过举反例用排除法找到答案，也可用中值定理直接证明 详解 1 设 ，所以 f(x)在(0，)内 有界，由于可见 f(x)在(0，)内可导但 不存在， ，排除(A)，(D) 又设 f(x)sinx，则f(x)在(0，)内有界且可导， ，进一步排除(C)故应选(B) 详解 2 直接证明(B)正确用反
22、证法，由题设 存在，设 ，不妨设 A0，则对于 存在 x0，当 xX 时，有 即，可见 在区间X，x上应用拉格朗日中值定理，有 f(x)f(X)f“()(xX)f(X)， 于是 ，与题设 f(x)存(0，)上有界矛盾，故13.已知函数 f(x)在区间(1，1)内具有二阶导数，f“(x)严格单调减少，且 f(1)f“(1)1，则（分数：2.00）A.在(1，1)和(1，1)内均有 f(x)x B.在(1，1)和(1，1)内均有 f(x)xC.在(1，1)内，(x)x在(1，1)内，f(x)xD.在(1，1)内 f(x)x，在(1，1)内，f(x)x。解析：解析：分析 本题相当于证明不等式 f(x
23、)x(或 f(x)x)，可考虑采用辅助函数 F(x)f(x)x，再根据其导数的性质进行判断即可 详解 令 F(x)f(x)x，则有 F“(x)f“(x)1f“(x)f“(1)，由于 f“(x)严格单调减少，因此当 x(1，1)时，F“(x)0；当 x(1，1)时，F“(x)0；且在 x1 处 F“(1)0可见 F(x)在 x1 处取极大值，即在(1，1)和(1，1)内均有 F(x)F(1)0，也即 f(x)x故应选(A)二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填(1，6)）解析：解析：详解15.函数 yx 2 在区间(0
24、，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析幂指函数的导数可转化为指数函数的导数或用对数求导法 详解因为 ye 2xlnx ，所以 y“x 2x (2lnx2)， 令 y“0，得驻点为 又 y“x 2x (2lnx2) 2 x 2x . ， 故 为 yx 2x 的极小值点，此时 。 当 x 时，y“(x)0；x 时，y“(x)0，故y 在 上递减，在 上递增，而 y(1)1，y(00) 所以，yx 2x 在区间(0，1上的最小值为 16.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填(，1)或(，
25、1）解析：解析：分析 判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 求出二阶导数，再由 确定 x 的取值范围 详解 令 17.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 按定义求极限后确定渐近线 详解 故此曲线的渐近线方程为 评注 由于18.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 y2x1）解析：解析：分析 直接按公式求斜渐近线方程的两个系数即可 详解 故所求的渐近线方程为y2x1 评注若极限 不存在，则应进一步考察19.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 本题属基本题型，直
26、接用斜渐近线方程公式进行计算即可 详解 因为 于是所求斜渐近线方程为20.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可 详解 故曲线的水平渐近线方程为21.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 y2x）解析：解析：分析 曲线只有斜渐近线。直接计算即可 详解 函数的定义域是全体实数，于是不存在垂直渐近线又 ，故不存在水平渐近线，而22.y2 x 的麦克劳林公式中 x 项的系数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 本题相当于先求 yf(x
27、)在点 x0 处的 n 阶导数值 f (n) (0)，则麦克劳林公式中 x n 项的系数是 详解 因为 y“2 x ln2，y“2 x (ln2) 2 ，y (n) 2 x (ln2)”， 于是有y(n)(0)(ln2) n ， 故麦克劳林公式中 x n 项的系数是 。 评注yf(x)在点 x0 处的泰勒展开式，即麦克劳林公式为 23.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析直接利用弧长公式计算 详解 。 故应填24.曲线 yx 2 x(x0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填(1，0)）解析：解析：详解 由
28、yx 2 x，得 y“2x1，y“2利用曲率公式 三、解答题(总题数：22，分数：44.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.求函数 f(x) 1 x2 (x 2 t)e t2 dt 的单调区间与极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x) 1 x2 (xt 2 )e t2 dtx 2 1 x2 e t2 dt 1 x2 te t2 dt f“(x)2x 1 x2 ee t2 dt2x 3 e x4 2x 3 e x4 2x 1 x2 e t2 dt 令 f“(x)0，得x0，x1 因为当 x1 时，f“(x)0：当 0x1 时，
29、f“(x)0；当1x0 时，f“(x)0；当x1 时，f“(x)0 所以，f(x)的单调递减区间为(，1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(1，0)，(1，)；极小值为 f(1)f(1)0，极大值为 f(0) 1 0 (0t)e t2 )解析：解析：分析 求变限积分 f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间 评注 也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(x) sintdt，设 tu，则有 f(x) sin(u)du sinuduf(x)， 故 f(x)是以 为周期的周期函数 (2)因为sinx在(，)上连续且周
30、期为 ，故只需在0，上讨论其值域，因为 ， 令 f“(x)0，得 ，且 所以 f(x)的最小值是 ，最大值是 ，故 f(x)的值域是 )解析：解析：利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，利用求函数最值的方法讨论函数的值域28.设函数 yy(x)由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 ，得 t1，即(x，y) ，或(1，1) 由 ，得t0，即(x，y) 当 t1 时， ，函数取到极小值为 当 t1 时， ，函数取到极大值为 1； 当 t0 时， ，此时 ，曲线在区间 上是凸的； 当 t0 时， ，此时，曲线在区间 上是凹的 由于 ，所以曲线 yy(x)的拐点为 )解析：
31、解析：由参数方程确定函数的一、二阶导数，利用各阶导数的符号可求得29.已知函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给函数的定义域为(，1)(1，) ，令 y“0，得驻点 x0 及x3 ，令 y“0，得 x0 列表 121 讨论如下： 由此可知：(1)函数的单调增加区间为(，1)和(3，)，单凋减少区间为(1，3)；极小值为 (2)函数图形在区间(，0)内是(向上)凸的，在区间(0，1)、(1，)内是(向上)凹的，拐点为(0，0) (3）由 知，x1 是函数图形的铅直渐近线； 又 知，无水平渐近线，进一步因为 )解析：解析：如果极限642*不存在我们一般不能就下结论水平渐近线或斜渐近线
32、不存在，此时应进一步检验：643*是否存在，即在左侧和右侧是否存在渐近线30.就 k 的不同取值情况，确定方程 在开区间 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，则 f(x)在 上连续 由 ，得 f(x)在 内的唯一驻点 由于当 x(0，x 0 )时，f“(x)0，当 x 时，f“(x)0，所以 f(x)在0，x 0 上单调减少，在 上单调增加 因此 x 0 是 f(x)在 内的唯一最小值点，最小值为 y 0 f(x 0 )又因 ，故在 内，f(x)的取值范围为y 0 ，0) 故当 k y 0 ，0)，即 ky 0 或 k0 时，原方程在 内没有根； 当 ky 0 时，原方程在 内有唯
33、一根 x 0 ； 当是 k(y 0 ，0)时，原方程在(0，x 0 )和 内各恰有一根，即原方程在 )解析：解析：分析 令 ，讨论方程 f(x)k 是在开区间 内根的个数，实质上只需研究函数f(x)在 上图形的特点，f(x)k 在开区间 内根的个数即为直线 yk 与曲线 yf(x)在区间31.讨论曲线 y4lnxk 与 y4xln 4 x 的交点个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 (x)ln 4 x4lnx4xk，则有 不难看出，x1 是 (x)的驻点 当 0x1 时，“(x)0，即 (x)单调减少； 当 x1 时，“(x)0，即 (x)单调增加， 故 (1)4k 为函数 (x)
34、的最小值 当 k4，即 4k0 时，(x)0 无实根，即两条曲线无交点； 当k4，即 4k0 时，(x)0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k4，即 4k0 时，由于 )解析：解析：分析 问题等价于讨论方程 ln 4 z4lnx4xk0 有几个不同的实根，本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数(与 x 轴交点的个数) 评注 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标32.设 yf(x)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )
35、为高的矩形面积，等于在x 0 ，1上以 yf(x)为曲边的梯形面积 (2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)x x 1 f(t)dt则 (x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 (0)(1)0由罗尔定理知，存在 x 0 (0，1)，使 “(x 0 )0，即 “(x 0 )x 0 f(x(0) x0 1 f(t)dt0， 也即 x 0 f(x 0 ) x0 1 f(x)dx (2)令 F(x)xf(x) x 1 (t)dt，则 F“(x)xf“(x)f(z)f(x)2f(x)xf“(x)0， 即 F(x)在(0，1)内严格单调增加，从而 F(x)0 的点 xx 0 必唯一，故(1)中的 x 0 是唯一的)解析：解析：分析(1)要证的结论相当于存在 x 0 (0，1)，使 x 0 f(x 0 )x 0 0 f(x)dx，可考虑对辅助函数 (x)xf(x)x 0 0 f(x)dt 在闭区间0，1上用连续函数的介值定理，但 (0)(1)0 是否成立?仅由 f(x)是非负连续函数无法推证，可
