1、考研数学二（二重积分）-试卷 3 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.B.C.D.3.二次积分 f(x，y)dy 写成另一种次序的积分是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 ln(x+y) 3 dxdy， （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 1 I 3 I 2D.I 3 I 1 I 25.累次积分 f(x 2
2、 +y 2 )dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设平面区域 D：(x-2) 2 +(y-1) 2 1，若比较 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 =I 2B.I 1 I 2C.I 1 I 2D.不能比较7.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时， B.当 m 为奇数，n 为偶数时， C.当 m 为奇数，n 为奇数时， D.当 m 为偶数，n 为偶数时， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.若 f(x，
3、y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_10.设 D=(x，y)|1x 2 +y 2 e 2 ，则二次积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.由曲线 y=ln x 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2
4、.00）_15. （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.记平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1)，计算如下二重积分：(1) 其中 f(t)为定义在(一，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0；(2) （分数：2.00）_25.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中 D=(x，y)|axb，ayb)，判别 I 1 = P(x)f(
5、x)P(y)g(y)dxdy，I 2 = （分数：2.00）_26.设函数 f(x，y)连续，且 其中 D 由 （分数：2.00）_27.交换累次积分 I 的积分次序： （分数：2.00）_28.交换累次积分 J 的积分次序： （分数：2.00）_29.(1)计算 (2)当 x1 - 时，求与 （分数：2.00）_考研数学二（二重积分）-试卷 3 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：积分域由两部分组
6、成(如图 151)设 将 D=D 1 D 2 视为 Y 型区域，则 故应选(A) 3.二次积分 f(x，y)dy 写成另一种次序的积分是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：改变积分次序的步骤是： 由原累次积分的上、下限写出来表示为积分域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分变成二重积分 按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式由已知积分的上、下限，可知积分域的不等式表示为： 见图 152则4.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 ln(x+y) 3 dxdy， （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I
7、 1C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2解析：解析：在 D 内， x+y1，所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y，5.累次积分 f(x 2 +y 2 )dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：积分域 D 为： 见图 153 在极坐标系下 D 可表示为：0r2Rsin，0 故6.设平面区域 D：(x-2) 2 +(y-1) 2 1，若比较 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 =I 2B.I 1 I 2C.I 1 I 2 D.不能比较解析：解析：由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y)
8、 3 的大小，即 x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考察圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分域 D 的圆心(2，1)到直线 x+y=1 的距离 7.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时， B.当 m 为奇数，n 为偶数时， C.当 m 为奇数，n 为奇数时， D.当 m 为偶数，n 为偶数时， 解析：解析： (1)当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(一 1) m (一 1) n =一 1，从而积分为零； (2)当 m 和 n 均为奇数时，(一 1) m (一 1) n =1，从而 由于 c
9、os m sin n 为 上的奇函数，故积分为零 总之，当 m 和 n 中至少一个为奇数时， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：负号）解析：解析：二重积分的积分值的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定积分域D：|x|+|y|1因 0x 2 +y 2 (|x|+|y|) 2 1，故 ln(x 2 +y 2 )ln 1=0，但又不恒等于零，故 9.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解
10、析：解析：设连续函数 z=f(x，y)关于 x 为奇函数(f(一 x，y)=一 f(x，y)或关于 x 为偶函数(f(一x，y)=f(x，y)，积分域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 的位于 y 轴右方的部分，则有 10.设 D=(x，y)|1x 2 +y 2 e 2 ，则二次积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：被积函数的特点含有 x 2 +y 2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便 11.由曲线 y=ln x 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2（分数：2.00）
11、填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 得交点 A(e，1)所求平面图形的面积为12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：积分域 D 为：e x ye 2x ，0x1曲线 y=e 2x ，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1，e 2 )与(1，e)故 13.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(0，0)）解析：解析：因被积函数 f(x，y)在闭区域 D：x 2 +y 2 t 2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：(1)用中值定理先去掉积分号再求极限；(
12、2)用二次积分化分子为积分上限的函数 因 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 t 2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，) =f(，)=t 2 f(，) 因(，)在 D：x 2 +y 2 t 2 上，所以当 t0 + 时，(，)(0，0) 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案
13、：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 154 所示，交换积分次序，得 )解析：24.记平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1)，计算如下二重积分：(1) 其中 f(t)为定义在(一，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)易见，积分区域 D 是边长
14、为 的正方形，故其面积 S D =2，因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性质便有 (2)因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 Oy 轴，Ox 轴对称；函数 e x 一 e -x ，e y 一 e -y 分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得 )解析：25.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中 D=(x，y)|axb，ayb)，判别 I 1 = P(x)f(x)P(y)g(y)dxdy，I 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 D 关于 x 与 y 对称，所以 I 1 一 I
15、2 又可以写成 )解析：26.设函数 f(x，y)连续，且 其中 D 由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.交换累次积分 I 的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域 = 1 2 ，它们可表示为 显然，平面区域 的边界曲线为抛物线 与直线 y=0，则 1 ， 2 也可以写为 于是，累次积分 I 交换积分次序后为 )解析：28.交换累次积分 J 的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为 = 1 2 3 ，其中 根据区域 的图形可知， 的边界曲线是由上半圆 直线 x=0 与抛物线 y=x一 x 2 组成，故可用不等式表示为 于是，累次积分 I 化为另一种先对 y 后对 x 的累次积分 )解析：29.(1)计算 (2)当 x1 - 时，求与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点： xx 0 时，f(x)与 g(x)为等价无穷大 无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式： 此题 x1 - ，故考虑用 于是， 根据第一问的提示，我们要凑出“”这种形式，故令 即 )解析：
