1、考研数学二（二重积分）-试卷 5 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.I （分数：2.00）填空项 1:_2.设 D：01，0y1，则 I （分数：2.00）填空项 1:_3.设 I 1 ( 4 y 4 )d，I 2 ( 4 y 4 )d，I 3 （分数：2.00）填空项 1:_4.设 D 为圆域 2 y 2 ，则 I （分数：2.00）填空项 1:_5.设 D 是 Oy 平面上以 A(1，1)，B(1，1)和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：21，分数：42.00)6.解
2、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.在极坐标变换下将 （分数：2.00）_8.计算二重积分 I （分数：2.00）_9.求 I ，其中 D 为 y （分数：2.00）_10.求 I （分数：2.00）_11.求 I （分数：2.00）_12.求 I （分数：2.00）_13.设 D 由抛物线 y 2 ，y4 2 及直线 y1 所围成用先 后 y 的顺序，将 I （分数：2.00）_14.求 I （分数：2.00）_15.交换累次积分的积分顺序：I （分数：2.00）_16.将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：I
3、 （分数：2.00）_17.计算累次积分：I 0 1 d 1 +1 ydy 1 2 d +1 ydy 2 3 d 3 ydy（分数：2.00）_18.将 （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_21.计算二重积分： （分数：2.00）_22.计算下列二重积分： () yd，其中 D 是由曲线 rsin2(0 )围成的区域； () yd，其中 D 是由曲线 y （分数：2.00）_23.求下列二重积分： ()I ，其中 D 为正方形域：01，0y1； ()I 34yddy，其中 D： 2 y 2 1； ()I yddy，其中 D 由直线2，y0，y2
4、及曲线 （分数：2.00）_24.设函数 f()在区间a，b上连续，且恒大于零，证明：f()d （分数：2.00）_25.()记 (R)(，y) 2 y 2 R 2 ，I(R) ()证明： （分数：2.00）_26.设 f()在区间0，1上连续，证明： 0 1 f()d 1 f(y)dy （分数：2.00）_考研数学二（二重积分）-试卷 5 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：2.设 D：01，0y1，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
5、*）解析：3.设 I 1 ( 4 y 4 )d，I 2 ( 4 y 4 )d，I 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：I 3 I 1 I 2 ）解析：4.设 D 为圆域 2 y 2 ，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：5.设 D 是 Oy 平面上以 A(1，1)，B(1，1)和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：二、解答题(总题数：21，分数：42.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.在极坐标变换下将 （分数：
6、2.00）_正确答案：(正确答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r2acos 与 r2asin，交点 P 处的极坐标是 ，于是连接 OP 将区域 D 分成两部分(见图 813)， 则 或者先对 积分，则)解析：8.计算二重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 的图形如图 814 所示，虽然 D 的边界不是圆弧，但被积函数是 r ，选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D 的边界方程是 从而 )解析：9.求 I ，其中 D 为 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 815被积函数只含 y，先对 积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y 积分，则
7、求积分 要费点功夫 选择先对 积分，将 D 分块： )解析：10.求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： dy 的原函数不是初等函数，故 dy 积不出来，因此选先 后 y 的顺序积分区域 D 如图 816，于是 )解析：11.求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 的图形如图 817 这里被积函数 y( 2 y 2 )关于(，Y)为偶函数，而 D 1 (，y)01，0y * 3 与 D 1 (，y)10， 3 y0关于原点对称 因此 I )解析：12.求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在积分区域 D 上被积函数分块表示为 y 2 ， 因此要将 D 分块
8、，用分块积分法又 D 关于 y 轴对称，被积函数关于 为偶函数，记 D 1 (，y)(，y)D，0，y 2 ，D 2 (，y)(，y)D，0，y 2 ， )解析：13.设 D 由抛物线 y 2 ，y4 2 及直线 y1 所围成用先 后 y 的顺序，将 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 818 所示，将 D 分成 0 与 0 两部分才是先积 后积 y 的类型，于是用分块积分法即得 )解析：14.求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域：(1) 2 (y1) 2 1，见图 819作平移变换u1，vy1，则 其中 D(u，v)u 2 v 2 1 )解析
9、：15.交换累次积分的积分顺序：I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对 积分，就是从区域 D 的左侧边界 y * 到右侧边界 y2两边界线的交点为(1，一 1)与(4，2)，得 I )解析：16.将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r2acos 是圆周 2 y 2 2a，即(a) 2 y 2 a 2 ，因此 D 的图形如图 821 所示为了先 后 r 的积分顺序，将 D 分成两块，如图 821 虚线所示，DD 1 D 2 ， )解析：17.计算累次积分：I 0 1 d 1 +1 ydy
10、 1 2 d +1 ydy 2 3 d 3 ydy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分限知：01 时 1y；12 时y1；23 时 y3，于是积分区域 D 如图 823 所示，因此 D 可表示为D(，y)1y3，y1y，则 原式 )解析：18.将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 的极坐标表示： ，0rsin，即 ，r 2 rsin，即 2 y 2 y，0，则 D 为左半圆域： 2 y 2 y，0，即 2 ，0先对 y 后对 积分， D： ，于是 原式 )解析：19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 为扇形 所以原式 )解析：20.计算
11、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于圆的方程为：(a) 2 (ya) 2 a 2 ，区域 D 的边界所涉及的圆弧为ya ，所以 )解析：21.计算二重积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 如图 824，用直线 y2，y 将 D 分成 D 1 ，D 2 与 D 3 于是 )解析：22.计算下列二重积分： () yd，其中 D 是由曲线 rsin2(0 )围成的区域； () yd，其中 D 是由曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分域 D 见图 825D 的极坐标表示是：00 ，0rsin2，于是 ()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r1 与
12、 r2sin，交点的极坐标为(1，)(见图 826)，于是积分域 D 的极坐标表示为 D(r，) ，1r2sin)，则 )解析：23.求下列二重积分： ()I ，其中 D 为正方形域：01，0y1； ()I 34yddy，其中 D： 2 y 2 1； ()I yddy，其中 D 由直线2，y0，y2 及曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()尽管 D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便D 的边界线 1 及 y1 的极坐标方程分别为 ()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情
13、形这时可利用周期函数的积分性质 作极坐标变换 rcos，yrsin，则 D：02，0r1从而 其中 sin 0 ，cos 0 由周期函数的积分性质，令 t 0 就有 ()D 的图形如图 827 所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D 1 ，则计算 D 1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 后 y 的积分顺序化为累次积分若注意 D 关于直线y1 对称，选择平移变换则最为方便 作平移变换 u，vy1，注意曲线 ， 即 2 (y1) 2 1，0，则 D 变成 D D由 u2，v1，v1，u 2 v 2 1(u0)围成，则 )解析：24.设函数 f()在区间a，b上连续，且恒
14、大于零，证明：f()d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用积分变量的改变，可得 其中 D(，y)ab，ayb并且利用对称性(D 关于 y 对称)，可得 )解析：25.()记 (R)(，y) 2 y 2 R 2 ，I(R) ()证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先用极坐标变换求出 I(R)，然后求极限 I(R) 作极坐标变换rcos，yrsin 得 ()因为 在(，)可积，则 通过求 -R R d 再求极限的方法行不通，因为 d 积不出来(不是初等函数)但可以估计这个积分值为了利用 ddy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题 其中D(R)(，y)R，yR显然 I(R) ， 又 )，于是 )解析：26.设 f()在区间0，1上连续，证明： 0 1 f()d 1 f(y)dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将累次积分表成二重积分，则有 I 0 1 f()d 1 f(y)dy f()f(y)ddy， 其中 D，y)01，y1，如图 828，它与D(，y)01，0y关于 y 对称于是 )解析：
