1、考研数学二（二重积分）-试卷 7 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（分数：2.00）A.若 f(，y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D 0 均有 (，y)d0，则 f(，y)0( B.若 f(，y)在 D 可积，f(，y)0 但不恒等于 0(，y)D)，则C.若 f(，y)在 D 连续，D.若 f(，y)在 D 连续，f(，y)0(，y)D)，则3.比较下列积分值的大小： 其中 D 由 0，y0，y （分
2、数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 2 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2 4.J （分数：2.00）A.J 1 J 2 J 3 B.J 2 J 3 J 1 C.J 1 J 3 J 2 D.J 3 J 2 J 1 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 D 为两个圆： 2 y 2 1 及(2) 2 y 2 4 的公共部分，则 I （分数：2.00）填空项 1:_6.设 D 为 y 2 及 1，y1 所围成的区域，则 I （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
3、算步骤。（分数：2.00）_8.计算 （分数：2.00）_9.计算 I （分数：2.00）_10.计算 ddy，其中 D：1 2 y 2 9， （分数：2.00）_11.计算 （分数：2.00）_12.计算 （分数：2.00）_13.计算 （分数：2.00）_14.设 a0 为常数，求积分 I （分数：2.00）_15.设 D(，y) 2 y 2 22y，求 I （分数：2.00）_16.设 D(，y)y1， 2 y 2 1，求 I （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）_21. （
4、分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设 f(u)可导，f(0)0，f(0) ，I(t) ，求 （分数：2.00）_26.设 f()在a，b连续，且 f()0， a b f()dAD 为正方形区域：ab，ayb，求证： ()I （分数：2.00）_27.将 （分数：2.00）_28.设 D 是由曲线 1(a0，b0)与 轴，y 轴围成的区域，求 I （分数：2.00）_考研数学二（二重积分）-试卷 7 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中
5、，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（分数：2.00）A.若 f(，y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D 0 均有 (，y)d0，则 f(，y)0( B.若 f(，y)在 D 可积，f(，y)0 但不恒等于 0(，y)D)，则 C.若 f(，y)在 D 连续，D.若 f(，y)在 D 连续，f(，y)0(，y)D)，则解析：解析：设(，y)是 D 中某点，令 f(，y) 则在区域 D 上 f(，y)0 且不恒等于 0，但3.比较下列积分值的大小： 其中 D 由 0，y0，y （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I
6、 3 I 2 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2 解析：解析：在区域 D 上， y1当 t1 时，lntsintt，从而有(，y)D 时，4.J （分数：2.00）A.J 1 J 2 J 3 B.J 2 J 3 J 1 C.J 1 J 3 J 2 D.J 3 J 2 J 1 解析：解析：D 1 ，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， 的圆，D 3 是正方形，显然有 D 1 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 D 为两个圆： 2 y 2 1 及(2) 2 y 2 4 的公共部分，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：
7、6.设 D 为 y 2 及 1，y1 所围成的区域，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：yln 与 y(e1) 的交点是(e，1)，D 如图 84 所示，在 Oy 坐标系中选择先 后 Y 的积分顺序(D 不必分块)得 )解析：9.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 如图 85 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 为偶函数 I2 ddy， 其中 D 1 D0选择先
8、后 y 的积分顺序 )解析：10.计算 ddy，其中 D：1 2 y 2 9， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 rcos，yrsin，则 D：1r3， 于是 )解析：11.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用对称法，如图 86(d)，D 与 D * 关于 y 对称 )解析：12.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 关于 ，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D 1 ，如图 87 )解析：13.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：极坐标变换 rcos，yrsin )解析：14.设 a0 为常数，求积分 I （分数：2.00）_正确答案：(
9、正确答案：D 是圆域(如图 89)： 作极坐标变换 rcos，yrsin，并由D 关于 轴对称， 轴上方部分为 D 1 ：0 ，0racos于是 )解析：15.设 D(，y) 2 y 2 22y，求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用直角坐标系中的公式 I4 v 2 dudv， 其中 D 1 (u，v)0u ，0v 是 D 的第一象限部分 )解析：16.设 D(，y)y1， 2 y 2 1，求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接用极坐标变换(rcos，yrsin)D 的极坐标表示是 )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 811 所示 原
10、式 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 812 所示 原式 )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 813 所示当 0，t 2 时， t(t0)，于是 )解析：20.极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 814) 原积分 f(rcos，rsin)rdrd 由 r 得 r 2 sin2 当 00 时 0 arcsinr 2 ； 当 时 02 ，r 2 sin2sin(2) 于是，2arcsinr 2 ， arcsinr 2 因此原积分 f(rcos，rsin)rd )解析：2
11、1. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 815 所示 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 816 所示 )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用分部积分法 )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域的一部分，如图 818 所示，则 I 作极坐标变换，圆周方程为(y1) 2 2 1，即 2 y 2 2y， 即 r2sin，积分区域 D： 0，0r2sin，于是 )解析：25.设 f(u)可导，f(0)0，f(0) ，I(t) ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t0化二重积分为定积分作极坐标变换
12、)解析：26.设 f()在a，b连续，且 f()0， a b f()dAD 为正方形区域：ab，ayb，求证： ()I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()D 关于直线 y 对称，利用二重积分的有关性质： 相加得 由初等不等式： ()由不等式 e t 1t(t0)及题() )解析：27.将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 85， 2 y 2 2a 与 2 y 2 2ay 是两个圆，其交点为 O(0，0)，P(a，a) 因此，若先对 y 积分，就有 若先对 求积分，则 )解析：28.设 D 是由曲线 1(a0，b0)与 轴，y 轴围成的区域，求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对 积分区域 D 如图 86 所示 )解析：
