1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 12 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 D 为两个圆：x 2 +y 2 1 及(x-2) 2 +y 2 4 的公共部分则 I= （分数：2.00）填空项 1:_2.设 D 为 y=x 3 及 x=-1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_3.I= （分数：2.00）填空项 1:_4.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_5.设 I 1 = (x 4 +y 4 )d，I 2 = (x 4 +y 4 )d，I 3 = （分数：2.00）填空项
2、1:_6.设 D 为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.设 f(x)在区间0，1上连续，证明： 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy= （分数：2.00）_9.计算 （分数：2.00）_10.计算 I= （分数：2.00）_11.计算 ，其中 D：1x 2 +y 2 9， （分数：2.00）_12.计算 （分数：2.00）_13.计算 （分数：2.00）_14.计算 （分数：2.00）_15.设 a0 为常数，求积分 I= （分数：2.0
3、0）_16.设 D=(x，y)x 2 +y 2 2x+2y，求 I= （分数：2.00）_17.设 D=(x，y)x+y1，x 2 +y 2 1，求 I= （分数：2.00）_18. 0 1 dx 0 x2 f(x，y)dy+ 1 3 dx （分数：2.00）_19. -1 0 dx -x 2-x2 f(x，y)dy+ 0 1 dx x 2-x2 f(x，y)dy（分数：2.00）_20. 0 t2 dx （分数：2.00）_21.极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）_22. 0 1 dx （分数：2.00）_23. 0 R dx （分数：2.00）_24. 0 1 dy y 1 （分数：
4、2.00）_25. 0 1 dx （分数：2.00）_26.设 f(u)可导，f(0)=0，f(0)= （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b连续，且 f(x)0， a b f(x)dx=AD 为正方形区域：axb，ayb，求证： () （分数：2.00）_考研数学二（二重积分）模拟试卷 12 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 D 为两个圆：x 2 +y 2 1 及(x-2) 2 +y 2 4 的公共部分则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 关于 x 轴对称，被积函数对 y
5、 为奇函数2.设 D 为 y=x 3 及 x=-1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 如图 81 所示添加辅助线 y=-x 3 (x0)，将 D 分解成 D=D 1 D 2 ，其中 D 1 关于 y轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数 3.I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域如图 82 所示，由对称性与奇偶性 其中 D 1 ：0y1-x，0x1 于是I=4 0 1 dx 0 1-x xydy=4 0 1 x(1-x) 2 dx= 0 1 xd(1-
6、x) 3 = 0 1 (1-x) 3 dx 4.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 关于直线 y=x 对称 与原式相加5.设 I 1 = (x 4 +y 4 )d，I 2 = (x 4 +y 4 )d，I 3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：I 3 I 1 I 2）解析：解析：比较 I 1 与 I 2 ，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x 2 +y 2 1)包含在正方形区域(x1，y1)中 I 1 I 2 比较 I 1 与 I 3 ，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x
7、 4 +y 4 2x 2 y 2 6.设 D 为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 如图 83用极坐标变换，D 的极坐标表示： 于是二、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.设 f(x)在区间0，1上连续，证明： 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将累次积分表示成二重积分，则有 I= 0 1 f(x)dx x 1 f(yy)dy= f(x)f(y)dxdy， 其中 D=(x，y)0
8、x1，xy1，如图 828，它与 D=(x，y)0x 1，0yx关于 y=x 对称于是 I= f(x)f(y)dxdy， 2I= f(x)f(y)dxdy+ f(x)f(y)dxdy= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy = 0 1 f(x)dx. 0 1 f(y)dy= 0 1 f(y)dx 2 ， 因此，I= )解析：9.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=lnx 与 y=(e+1)-x 的交点是(e，1)，D 如图 84 所示，在 Oxy 坐标系中选择先x 后 y 的积分顺序(D 不必分块)得 )解析：10.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D
9、 如图 85 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数 I=2 x 2 e -y2 dxdy 其中 D 1 =Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序 I=2 0 1 dy 0 y x 2 e -y2 dx= 0 1 y 3 e -y2 dx= 0 1 y 2 de -y2 = y 2 e -y2 0 1 + 0 1 e -y2 dy 2 = e -1 - e -y2 0 1 = e -1 . )解析：11.计算 ，其中 D：1x 2 +y 2 9， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=rcos，y=rsin，则 D：1r3， 于是 )解析：12.计算 （分数：2.00）
10、_正确答案：(正确答案：(分块积分法) D 如图 86-(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将 D 分成 D=D 1 D 2 ，以 y-x= 为分界线(如图 86-(b) 在 D 1 上，y-x2；在 D 2 上，0y-x，则 在 D 2 上边界分段表示(如图 86-(c)，也要分块积分 I=- 0 dx x+ 2 sin(y-x)dy+ 0 dx x x+ sin(y-x)dy+ 2 dx x 2 sin(y-x)dy = 0 cos(y-x) y=1+ 2 dx- 0 cos(y-x) y=x x+ dx- 2 cos(y-x) y=x 2 dx = 0 (cosx+1)dx+ 0 2d
11、x- 2 (cosx-1)dx=4 )解析：13.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D 1 ，如图 87 I= (x 2 +y 2 )+2xyd= x 2 dxdy+0 =8 x 2 dxdy=8 0 1 dx 0 1-x x 2 dy =8 0 1 x 2 (1-x)dx )解析：14.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：极坐标变换 x=rcos，y=rsin 于是 )解析：15.设 a0 为常数，求积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域(如图 89)： 作极坐标变换 x=rcos，y=rs
12、in，并由 D 关于 x轴对称，x 轴上方部分为 D 1 ：0 ，0racos于是 )解析：16.设 D=(x，y)x 2 +y 2 2x+2y，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域：(x-1) 2 +(y-1) 2 2，也考虑到被积函数的情形，先作平移变换 u=x-1，v=y-1， 则 I= (2+u+2v+v 2 )dudv， 其中 D：u 2 +v 2 2于是由 D 的对称性及被积函数的奇偶性得 I= (2+v 2 )dudv=2.2+ v 2 dudv 余下求 I 1 = v 2 dudv 利用直角坐标系中的公式 I 1 =4 v 2 dudv， 其中 D 1
13、 =(u，v)0u 是 D 的第一象限部分 )解析：17.设 D=(x，y)x+y1，x 2 +y 2 1，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 由直线 x+y=1 与圆周 x 2 +y 2 =1 所围成，如图 810 记 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，x0，y0， D 2 =(x，y)x+y1，x0，y0， D=D 1 D 2 ，从而 I= (x 2 +y 2 )d- (x 2 +y 2 )d= (x 2 +y 2 )d-2 x 2 d = d 0 1 r 2 .rdr-2 0 1 dx 0 1-x x 2 dy = -2 0 1 x 2 (1-x)dx 其中由
14、于 D 2 关于直线 y=x 对称，所以 y 2 d= )解析：18. 0 1 dx 0 x2 f(x，y)dy+ 1 3 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 811 所示 )解析：19. -1 0 dx -x 2-x2 f(x，y)dy+ 0 1 dx x 2-x2 f(x，y)dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 812 所示 原式= f(x，y)d= 0 1 dy -y y f(x，y)dx+ 1 2 dy )解析：20. 0 t2 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 813 所示当 z0，t 2 时， t(t0)，于是 原式=- 0 t
15、2 - 0 t dy 0 y2 f(x，y)dx = 0 t dy y2 0 f(x，y)dx )解析：21.极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 814) 原积分= f(rcos，rsin)rdrd 由 r= 得 r 2 =sin2 当 0 arcsinr 2 ； 当 ，r 2 =sin2=sin(-2) 于是 -2=arcsinr 2 ，= arcsinr 2 因此 原积分 )解析：22. 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 815 所示 = 0 1 sinydy+ 0 1 ydcosy=-co
16、s 0 1 +cos1- 0 1 cosydy=1-8iny 0 1 =1-sin1 )解析：23. 0 R dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 816 所示 I= ln(1+x 2 +y 2 )d d 0 R ln(1+r 2 )rdr = R 2 ln(1+R 2 )-R 2 +ln(1+ 2 ) = )解析：24. 0 1 dy y 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：表成 D 的二重积分，确定 D，再交换积分次序 原式= D 如图 817 )解析：25. 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算这类累次积分的方法，常常是先确定积分区域 D
17、，化成二重积分 f(x，y)dxdy，然后改换积分顺序再求解，或改用极坐标变换再求解由本题的特点选用后一种方法 D 是圆域的一部分，如图 818 所示，则 作极坐标变换，圆周方程为(y+1) 2 +x 2 =1，即 x 2 +y 2 =-2y，即 r=-2sin，积分区域 D： 0，0r-2sin， 于是 )解析：26.设 f(u)可导，f(0)=0，f(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t0化二重积分为定积分作极坐标变换 I(t)= 0 2 d 0 t f(R)rdr= 0 t f(r)rdr )解析：27.设 f(x)在a，b连续，且 f(x)0， a b f(x)dx=AD 为正方形区域：axb，ayb，求证： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()D 关于直线 y=x 对称，利用二重积分的有关性质： 得 相加得 由初等不等式： ()由不等式 e t 1+t(t0)及题() )解析：
