1、考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 1 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 D k 是圆域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1位于第 k 象限的部分，记 （分数：2.00）A.I 1 0。B.I 2 0。C.I 3 0。D.I 4 0。3.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在。B.存在且等于 f(0，0)。C.存在且等于 f(0，0)。D.存在且等于4.设函数 f(u)连续，区域 D=
2、(x，y)x 2 +y 2 2y，则 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B.C.D.6.累次积分 0 1 dx 0 1 f(x,y)+ 1 1 dy 1 2 (x，y)dy+ 0 2-y dyf(x，y)dx 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2-x f(x，y)dy。B. 0 1 dy 0 2-y f(x，y)dx。C. 0 1 dx x 2-x f(x，y)dy。D. 0 1 dy y 2-y f(x，y)dx。7.设函数 f(x，y)连续，则 1 2 dx x 2 f(x,y)dy+ 1 2 dy+ y
3、4-y f(x，y)dx=( )（分数：2.00）A. 1 2 dx 1 4-x f(x，y)dy。B. 1 2 dx x 4-x f(x，y)dy。C. 1 2 dy 1 4-y f(x,y)dx。D. 1 2 dy y 2 f(x,y)dx。8.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x,y)dy 为( )（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx f(x,y)dx。B. ey e dy 0 1 f(x,y)dx。C. 0 lnx dy 1 e f(x,y)dx。D. 0 1 dy ey e f(x,y)dx。9.设函数 f(x)连续，若 ，其中区域 D uv 为图 141 中阴
4、影部分，则 =( ) （分数：2.00）A.vf(u 2 )B.C.vf(u)D.10.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 t dy y t f(x)dx,则 F“(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)。B.(2)。C.-f(2)。D.0。11.设 （分数：2.00）A.1B.C.D.e 一 1二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数 z=f(x，xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f(u，v)由关系式 fxg(y，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：2.00）填空项 1:
5、_14.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.积分 0 2 dx x 2 e -y2 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.交换积分次序 -1 0 dy 2 1-y f(x，y)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.积分 （分数：2.00）填空项 1:_19.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 f(x)，g(x)是连续函数， （分数：2.00）填空项 1:_21.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的
6、二次积分为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求曲线 x 3 一 xy+y 3 =1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（分数：2.00）_24.求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_25.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_26.求原点到曲面(x 一 y) 2 +z 2 =1 的最短距离。（分数：2.00）_27.求二元函数 zf(x，y)=x 2 y(4
7、 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_28.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2。求 f(x，y)在椭圆域 （分数：2.00）_29.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 （分数：2.00）_30.计算 其中 D 是由 （分数：2.00）_31.求二重积分 （分数：2.00）_32.求二重积分 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 1 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：
8、22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 D k 是圆域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1位于第 k 象限的部分，记 （分数：2.00）A.I 1 0。B.I 2 0。 C.I 3 0。D.I 4 0。解析：解析：根据极坐标系下二重积分的计算可知3.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在。B.存在且等于 f(0，0)。C.存在且等于 f(0，0)。 D.存在且等于解析：解析：由积分中值定理知4.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)x 2 +y 2 2y，则 （分数
9、：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2y(如图 143)。在直角坐标系下 因此正确答案为 D。 5.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设可知6.累次积分 0 1 dx 0 1 f(x,y)+ 1 1 dy 1 2 (x，y)dy+ 0 2-y dyf(x，y)dx 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2-x f(x，y)dy。B. 0 1 dy 0 2-y f(x，y)dx。C. 0 1 dx x 2-x f(x，y)dy。 D. 0 1 dy y 2-y f(x，y)d
10、x。解析：解析：原积分域为直线 y=x，x+y=2，与 y 轴围成的三角形区域，故选 C。7.设函数 f(x，y)连续，则 1 2 dx x 2 f(x,y)dy+ 1 2 dy+ y 4-y f(x，y)dx=( )（分数：2.00）A. 1 2 dx 1 4-x f(x，y)dy。B. 1 2 dx x 4-x f(x，y)dy。C. 1 2 dy 1 4-y f(x,y)dx。D. 1 2 dy y 2 f(x,y)dx。解析：解析： 1 2 dx x 2 f(x,y)dy+ 1 2 dy y 4-y f(x,y)dx 的积分区域为两部分(如图 1-44)：D 1 =(x，y)1x2，x
11、y2；D 2 =(x，y)1y2，yx4 一 y，将其写成一个积分区域为D=(x，y)1y2，1x4 一 y。故二重积分可以表示为 1 2 dy 1 4-y f(x,y)dx，故答案为 C。 8.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x,y)dy 为( )（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx f(x,y)dx。B. ey e dy 0 1 f(x,y)dx。C. 0 lnx dy 1 e f(x,y)dx。D. 0 1 dy ey e f(x,y)dx。 解析：解析：交换积分次序得 1 e dx 0 lnx f(x，y)dy= 0 1 dy ey e f(x，y)dx。9.设
12、函数 f(x)连续，若 ，其中区域 D uv 为图 141 中阴影部分，则 =( ) （分数：2.00）A.vf(u 2 ) B.C.vf(u)D.解析：解析：题设图象中所示区域用极坐标表示为 0v，1ru。因此可知 根据变限积分求导可得10.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 t dy y t f(x)dx,则 F“(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)。B.(2)。 C.-f(2)。D.0。解析：解析：交换累次积分的积分次序，得 F(t)= 1 t dy y t f(x)dx = 1 t dx 1 x f(x)dy = 1 t (x 一 1)f(x)dx。 于是 F“(t)=
13、(t 一 1)f(t)，从而 F“(2)=f(2)。故选 B。11.设 （分数：2.00）A.1B. C.D.e 一 1解析：解析：积分区域如图 14-5 故应选 B。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数 z=f(x，xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf 22 “+f 2 “+xyf 22 “）解析：解析：由题干可知，13.设函数 f(u，v)由关系式 fxg(y，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 u
14、=xg(y)，v=y，则 ，所以，14.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，f x “=2x(2+y 2 )，f y “=2x 2 y+lny+1。 所以 则 A0。 15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.积分 0 2 dx x 2 e -y2 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 1-410 积分区域，则17.交换积分次序 -1 0 dy 2 1-y f(x，y)dx
15、= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 2 dx 0 1-x f(x,y)dy）解析：解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D(如图 14 一 11)：一 1y0，1yx2.则有 交换积分次序 -1 0 dy 2 1-y f(x,y)dx =- -1 0 dy 1-y 2 f(x,y)dx =- 1 2 dx 1-x 0 f(x,y)dy= 1 2 dx 0 1-x f(x,y)dy 18.积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 sin1）解析：解析：积分区域 D 如图 1412 所示，19.交换积分次序 （分数：2.00）填
16、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，积分区域如图 1-4-13 所示，则有20.设 f(x)，g(x)是连续函数， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 于是21.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的二次积分为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 1414 所示，则有三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求曲线 x 3 一 xy+y 3 =1(x0，y0)上的
17、点到坐标原点的最长距离与最短距离。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 L(x，y) =x 2 +y 2 +A(x 3 一 xy+y 3 一 1)， 得唯一驻点x=1，y=1，即 M 1 (1，1)。考虑边界上的点，M 2 (0，1)，M 3 (1，0)，距离函数 在三点的取值分别为 ，因此可知最长距离为 )解析：24.求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z
18、 2 +(x 2 +y 2 一 z)+(x+y+z 一 4)，目令 )解析：25.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z的最值点与 z 2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +9y 2 一 2z 2 )+(x+3y+3z 一 5)。且令 )解析：26.求原点到曲面(x 一 y) 2 +z 2 =1 的最短距离。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，求曲面上的点(x，y，z)到原点的距离 在条件(x 一 y) 2 +z 2 =1 下达到最小值，运用拉格朗日函数法。令 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2
19、+(x 一 y) 2 +z 2 一，则有 由(3)式，若 =一 1，代入(1)，(2)得 解得 x=0，y=0。代入曲面方程(xy) 2 +z 2 =1，得到 z 2 =1，d=1。若 一 1，由(3)解得 z=0。由(1)，(2)得到 x=一 y。代入曲面方程(x 一 y) 2 +z 2 =1，得到 故所求的最短距离为 )解析：27.求二元函数 zf(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求在 D 内的驻点，即 因此在 D 内只有驻点 相应的函数值为 f(2，1)=4。
20、再求 f(x，y)在 D 边界上的最值 在 x 轴上 y=0，所以 f(x，0)=0。 在 y 轴上 x=0，所以 f(0，y)=0。 在 x+y=6 上，将 y=6 一 x 代入 f(x，y)中，得 f(x，y)=2x 2 (x 一 6)， 因此 f x “=6x 2 一 24x=0得 x=0(舍)，x=0 所以 y=6 一 x=2。于是得驻点 )解析：28.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2。求 f(x，y)在椭圆域 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 于是 f(x，y)=x 2 +C(y)，且 C“(y)=一 2y
21、，因此有 C(y)=一y 2 +C，由 f(1，1)=2，得 C=2，故 f(x，y)=x 2 一 y 2 +2。 令 得可能极值点为 x=0，y=0 且 =B 2 一 AC=40，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线 上的情形，令拉格朗日函数为 得可能极值点 x=0,y=2,A=4；x=0,y=一 2，=4；x=1，y=0,A=一 1；x=一 1，y=0，=一 1。将其分别代入 f(x，y)得 f(0，2)=一 2 f(1，0)=3，因此 z=f(x，y)在区域 )解析：29.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 （分数：2.00
22、）_正确答案：(正确答案：根据已知 则有 )解析：30.计算 其中 D 是由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 一 2x+y 2 =0(x 一 1) 2 +y 2 =1； y=一 x 与 x 2 +y 2 =4 的交点为 y=-x 与 x 2 2x+y 2 =0 的交点为(0，0)和(1，一 1)； x 2 +y 2 =4 与 x 2 一 2x+y 2 =0 的交点为(2，0)。 )解析：31.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件，积分区域 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 2,yx。由(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 2，得 r2(sin+cos)，于是 )解析：32.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 xy=1 将区域分成两个区域 D 1 和 D 2 +D 3 (如图 1-416) )解析：
