1、考研数学二（高等数学）-试卷 13 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)0，所以 ，根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时， 有3.设 f(x)可导，则下列正确的是(
2、 ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 f(x)=x，显然 ，(a)不对，同理 ，(b)也不对；令 f(x)=x 2 ， ，则对任意的 M0，存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 f“(x)M，于是当 xX 0 时，f(x)-f(X 0 )=f“()(x-X 0 )，其中 (X 0 ，x)，即 f(x)f(X 0 )+M(x-X 0 )，根据极限的保号性，有 4.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C
3、 2 3 (x)B.C 1 1 (x)- 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x)- 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)- 3 (x)， 2 (x)- 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解， 于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (
4、x)- 3 (x)+C 2 2 (x)- 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1-C 1 -C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：6.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=-2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：7.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x-4）解析：解析：8.设(ay
5、-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析：令 P(x，y)=ay-2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3， 因为(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分， 所以 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 a0，x 1 0，且定义 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不
6、小于几何平均数，所以有 )解析：11.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有f(x)e x -1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x=0 时，(0)= 0 1 f(0)dt=0 因为 )解析：13.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
7、因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 因为 f“(x)在(a，b)内连续，所以f“(x)在 1 ， 2 上连续，从而 f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 m M， 由介值定理，存在 故 )解析：14.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“ + (a)f“ - (b)_正确答案：(正确答案：不妨设 f“ + (a)0，f“ - (b)+ (a)= )解析：15.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f“(1)=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作一个函数 P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，使得 P(0)
8、=f(0)=1，P“(1)=f“(1)=0，P(2)= ，P(1)=f(1) 令 g(x)=f(x)-P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以 存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使得 g“(c 1 )=g“(1)=g“(c 2 )=0，又存在 d 1 (c 1 ，1)，d 2 (1，c 2 )使得 g“(d 1 )=0(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (d 1 ，d 2 ) )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 F(x)为 f(x)的原
9、函数，且当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边积分得 F 2 (x)= ，解得 F 2 (x)= ，由 F(0)=1，F(x)0，得 ，于是 )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnx=t，则 ，当 t0 时，f(t)=t+C 1 ；当 t0 时，f(t)=e t +C 2 显然 f“(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ， )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求曲线 y=3-x 2 -1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答
10、案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积)解析：22.求椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积则第一象限围成的面积为 )解析：23.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，
11、且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(z，y)f(x，y)g(x，y)Mg(z，y) 积分得 )解析：26.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(
12、8-x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 F=ma 得 ，且 x(0)=0，x“(0)=0， 解得 ，当链条滑过整个钉子时，x=8， )解析：27.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 ，因为当 t=10 时，v=50，F=392，所以 k=196， 从而 ，分离变量得 vdv=196tdt， 所以 =98t 2 +C，由 vt=10=50，得 C=-8550， )解析：
