1、考研数学二（高等数学）-试卷 18 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 （分数：2.00）A.等于 1B.为C.不存在但不是D.等于 03.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条4.设 f(x)=x 3 -1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.=
2、 1 （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 f(x)二阶
3、连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x 轴上的截距，求 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+(-1)f()=0（分数：2.00）_18.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.x 2 arctanxdx（分数：2.00）_22.设 f(x)=sin 3 x+ - xf(x)dx，求 0 f(x)dx（分数：2.00）_23.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使
4、得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_24.设曲线 （分数：2.00）_25.设 u= （分数：2.00）_26.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：2.00）_27.求微分方程 xy （分数：2.00）_28.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)-f(x)=a(x-1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 18 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)
5、一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 （分数：2.00）A.等于 1B.为C.不存在但不是 D.等于 0解析：解析：因为当 x n = (n=1，2，)时， ，当 y n = (n=1，2，)时， ，所以 3.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：由 =-得 x=0 为铅直渐近线；由4.设 f(x)=x 3 -1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要
6、条件 D.非充分非必要条件解析：解析：设 g(1)=0，f“ - (1)= (x 2 +x+1)g(x)=0， f“ + (1)= (x 2 +x+1)g(x)=0， 因为 f“ - (1)=f“ + (1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导 设 f(x)在 3x=1 处可导， f“ - (1)= (x 2 +x+1)g(x)=-3g(1)， f“ + (1)= 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：524）解析：解析： 因为 sinx=x- +o(x 3 )，所以当 x0 时(1+x 2 )sinx-x 6. （分数
7、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 0 1 sin 2 xtdt= 得 0 1 sin 2 xtdt= 7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx-*）解析：解析：xyz+ 两边求微分得 yzdx+xzdy+xydz+ (xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，-1)代入上式得 dz=dx-10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
8、案：正确答案：*）解析：解析：改变积分次序得11.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 y“=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ， 于是y= 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=0， )解析：15.设 （分数：2
9、.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x 轴上的截距，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)， 令 Y=0，则 u(x)=X=x-)解析：17.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+(-1)f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 0 x f(t)dt- 0 x f(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以
10、由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0 而 “(x)= 0 x f(t)dt+(x-1)f(x)，故 0 f(t)dt+(-1)f()=0)解析：解析：由 0 x f(t)dt+(x-1)f(x)=0，得 0 x f(t)dt+xf(x)-f(x)=0，从而 x 0 x f(t)dt- 0 x f(t)dt“=0，辅助函数为 (x)=x 0 x f(t)dt- 0 x f(t)dt18.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)-xlnx0 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，f(1)=21n20， 因为
11、 f(x)=ln(1+x)+1-lnx-1= 0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.x 2 arctanxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)=sin 3 x+ - xf(x)dx，求 0 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 - xf(x)dx=A，则 f(x)=sin 3 x+A， xf(x)=xsin 3 x+Ax 两边积分
12、得 - xf(x)dx= - xsin 3 xdx+ - Axdx， 即 A= - xsin 3 xdx=2 0 xsin 3 xdx= 0 sin 3 xdx )解析：23.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= a x f(t)dt b x g(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0，而 “(x)=f(x) b x g(t)dt+g(x) a x f(t)dt， 所以 f() b g(x
13、)dx+g() a f(x)dx=0，即 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx)解析：解析：由 f(x) x b g(t)dt=g(x) a x f(t)dt 得 g(x)I a x f(t)dt+f(x) b x g(t)dt=0 即 a x f(t)dt b x g(t)dt=0，则辅助函数为 (x)= a x f(t)dt b x g(t)dt24.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4-a曲线可化为y= ，对任意的x，x+dx 0，a，dV 2 =2xydx=2x dx 于是 V 2
14、=2 0 a ，根据对称性，有 V 1 = 于是 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)= (4-a) 令 V“(a)= (4-2a)=0 a=2，又 V“(2) )解析：25.设 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将区域向 x 轴投影， )解析：27.求微分方程 xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xy =x 2 +y 2 ，得 =x 2 +y 2 ，令 z=y 2 ，则 =2x， 解得z= )解析：28.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)-f(x)=a(x-1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)=a(x-1)e -1dx dx+Ce -dx =Ce x -ax， 由f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=e x -ax 由 得 a=3，因为 )解析：
