1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 57 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时有 ( )（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0B.f(x)0，f(x)0C.f(x)0，f(x)0D.f(x)0，f(x)04.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f(a)=0，且 f(x)k(k0)，则 f(x)
2、在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)=x 2 （分数：2.00）填空项 1:_8.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_9.求 （分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_11.上的平均值为 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g
3、分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)（分数：2.00）_
4、17.证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f(x) （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明：fx 1 +(1-)x 2 （分数：2.00）_20.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 -3x+k=0 根的个数（分数：2.00）_21.设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 a n = tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_24.设 f(x
5、)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明： （分数：2.00）_25.设 ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_26.计算 (x 2 +y 2 )dy+ 0 2 dx （分数：2.00）_27.设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线 y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 57 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)
6、一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：因为 ，所以 =0 于是3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时有 ( )（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0 B.f(x)0，f(x)0C.f(x)0，f(x)0D.f(x)0，f(x)0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)，即f(x)为偶函数，f
7、(x)为奇函数，故由 x0 时有 f(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f(x)0，f(x)0，选(A)4.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f(a)=0，且 f(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析：因为 f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (x-a) 2 ，其中 介于 a 与 x 之间而 (x-a) 2 =+，故 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解
8、析：解析：因为 所以6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 0 x tf(x-t)dt x 0 (x-u)f(u)(-du)=x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du， 0 2 arctan(x-t) 2 dt x 0 arctanu 2 (-du)= 0 x arctanu 2 du， 则 7.设 f(x)=x 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(1+4x)e 8x）解析：解析：由 f(x)=x 2 =x 2 8.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
9、*）解析：解析：当 x=ln2 时，t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=-1 时，由 =-1， 0 x e u2 du+ t2 1 arcsinudu=0 两边对 t 求导数得 e y2 -2tarcsint 2 =0， 则 ，则法线方程为 y= (x-ln2)； (2)当 t=1 时，由 =1 0 y e u2 du+ t2 1 arcsinudu=0 两边对 t 求导得 e y2 2tarcsint 2 =0 则 ，法线方程为 y= (x-ln2)， 即法线方程为 y= 9.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设函数 y=y(x)满足
10、y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 ，于是 由 y(1)=1 得 C=0，故 y(x)= 0 1 y(x)dx= 0 1 (x-1) 11.上的平均值为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f+xf+x y-1 g 1 +yx y-1 lnxg 1 +yx 2y-1 lnxg 11 +2y 2 x y-1 g 12 +2x y+1 ln
11、xg 21 +4xyg 22）解析：解析：由 x=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yx y-1 g 1 (x y ，x 2 +y 2 )+2xg 2 (x y ，x 2 +y 2 ) 13.设 f(x)= D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在 D 1 =(x，y)x+，0y1上，f(y)=y； 在 D 0 ：0x+y1 上，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 0 =(x，y)-yx1-y，0y1上，f(y)f(x+y)=y(x+y)， 所以 f(y)f(x+y)
12、dxdy= 0 1 dy -y 1-y y(x+y)dx= 14.设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y-4y+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ， 由初始条件 y(0)=1，y(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ， 于是 0 1 f(x)dx= 0 2 e x dx= e 2 0 2 = 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（
13、分数：2.00）_解析：16.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt= 0 x f(t 2 -x 2 )d(t 2 -x 2 ) = -x2 2 f(u)du = 0 -x2 f(u)du， )解析：17.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1，2时有 1 ，则 1 1 2 dx， 当 x2，3时有 当 xn，n+1时有 从而有 =ln(n+1) 又当 x1，2时， 当 x2
14、，3时， 当 xn-1，n时， 从而有 =1+lnn， 故 由迫敛定理得 )解析：18.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0，1上连续，故f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 ，1，使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时，M=f(x 0 )=f(x 0 )-f(0)=f()x 0 f() f() )解析：19.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a
15、，b及 01，证明：fx 1 +(1-)x 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)，使得 )解析：20.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 -3x+k=0 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 3 -3x+k， )解析：21.设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ h 2 其中 介于 x 与 x+h 之间 由已知条件得 f(x+
16、h)h=f(x)h+ h 2 ，或 f(x+h)-f(x)= ， 两边同除以 h，得 而 两边取极限得 f(x) )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 a n = tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n +a n+2 = (1+tan 2 x)tan n xdx= tan n xd(tanx)= ，同理a n +a n-2 = ，因为 tan n x，tan n+2 x 在 上连续，tan n xtan n+2 x，且 tan n x，tan n+2 x 不恒等，所以 tan n xdx tan n+2 xd
17、x，即 a n a n+2 ， 于是 =a n +a n+2 2a n ，即以 a n ，同理可证 a n )解析：24.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 ，其中 介于 x 与 之间，因为 f(x)0，所以有f(x) ，两边积分得 a b f(x)dx(b-a) 令 (x)= f(x)+f(a)- a x f(t)dt，且 (a)=0， (x)= f(x)+f(a)+ f(x)-f(x)= f(x)-f(a) = (x-a)f(x)-f()，其中 ax， 因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，于是 (x)0(ax
18、b)， 由 得 (b)0，于是 a b f(x)dx f(a)+f(b)， 故(b-a) a b f(x)dx )解析：25.设 ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.计算 (x 2 +y 2 )dy+ 0 2 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：27.设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线 y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 xf(x)-2f(x)=-x f(x)- f(x)=-1 f(x)=x+cx 2 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 V(c)= 0 1 (x+cx 2 ) 2 dx 因为 V(c)= 0，所以 c= 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)=x- x 2 . (2)f(x)=1- ，f(0)=1，曲线 f(x)=x- x 2 在原点处的切线方程为 y=x， 则 A= 0 1 x-(x- x 2 )dx= )解析：
