1、考研数学（数学三）模拟试卷 460 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点D.一个可去间断点，一个无穷间断点3.设 f(x)满足： （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点4.设 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在 x
2、 0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.x=x 0 为 f(x)的极大值点B.x=x 0 为 f(x)的极小值点C.(x 0 ，f(x 0 )为曲线 y=f(x)的拐点D.(x 0 ，f(x 0 )不是曲线 y=f(x)的拐点6.设 A，B 及 A * 都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.37.设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则A+4E=( )（分数：2.00）A.8B.16C.2D.08.
3、设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）A.2B.4C.6D.89.已知 E(X)=1，E(X 2 )=3，用切比雪夫不等式估计 P1X4a，则 a 的最大值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品
4、，则另一件也为次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+yY=(46x)e x 的一个解，且 (I)求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0,1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 (0,1)，使得 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75p 2 ，求： (I)当 p=4 时的边际需求，说明其经济意
5、义； ()当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义； ()当 p=4 时，若价格提高 1，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?（分数：2.00）_21.现有两只桶分别盛有 10 L 浓度为 15 gL 的盐水，现同时以 2 Lmin 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2 Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以 2 Lmin 的速度从第二只桶中排出，问 5 min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：2.00）_22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：2.00）_23.设 =(1，1，1) T 是 （分数：2.00）_24.设 X 的概率密度为 （分数：2.00）_25.
6、设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 460 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点 D.一个可去间断点，一个无穷间断点解析：解析：显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点 由 f(0+0)=f(00)=0，得 x=0 为 f(x)的可去间断点；3.设 f(x
7、)满足： （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点 B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点解析：解析：4.设 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：5.设 f(x)在 x 0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.x=x 0 为 f(x)的极大值点B.x=x 0 为 f(x)的极小值点C.(x 0 ，f(x 0 )为曲线 y=f(x)的拐点 D.(x 0 ，f(x 0 )不是曲线 y=f(x)的拐点解析
8、：解析： 由极限的保号性，存在 0，当 01xx 0 时， 6.设 A，B 及 A * 都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A * )=0 或 r(A * )=1， 因为 A * 为非零矩阵，所以r(A * )=1，于是 r(A)=n1， 又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1， 故 r(B)=1，选 B7.设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则A+4E=( )（分数：2.0
9、0）A.8B.16 C.2D.0解析：解析：令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 AB+2B=O 得 A i =2 i (i=1，2，3)， 由 r(B)=2 得=2 至少为 A 的二重特征值， 又由 r(A)3 得 3 =0，故 1 = 2 =2， 3 =0， A+4E 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =4，故A+4E=16，应选 B8.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）A.2B.4C.6 D.8解析：解析：由9.已知 E(X)=1，E(X 2 )=3，用切比雪夫不等式估计 P1X4a，则 a 的最大值为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：
10、D(X)=2，由切比雪夫不等式得二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11.设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或 4）解析：解析：由 得 1 =0, 2 =a， 3 =4 因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值
11、一定有重根，从而 a=0 或 a=4 当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1 = 2 =0 只有一个线性无关的特征向量，则 A不可对角化，a=0 合题意； 15.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 y=y(x)(x0)是微分方程
12、 2y“+yY=(46x)e x 的一个解，且 (I)求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)2y“+yy=(46x)e x 的特征方程为 2 2 +1=0，特征值为 1 =1， 2 = 2y“+yy=0 的通解为 令 2y“+yy=(46x)e x 的特解为 y 0 =(ax 2 +bx)e x ，代入得 a=1，b=0， 原方程的通解为 由 得 y(0)=0，y(0)=0，代入通解得 C 1 =C 2 =0，故 y=x 2 e x ， 由 y=(2xx 2 )e x =0 得 x=2， 当 x(0，2)时，y0；当 x2 时，y
13、0，则 x=2 为 y(x)的最大值点， 故最大距离为 d max =y(2)=4e 2 )解析：18.设 f(x)在0,1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 (0,1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f“(x)C 1 ， 2 ，所以 f“(x)在 1 ， 2 上取到最大值 M 和最小值 m， )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(00)=f(0+0)=f(0)=1，所以 f(x)在 x=0 处连续 )解析：20.某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75p 2 ，求： (I)当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义；
14、 ()当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义； ()当 p=4 时，若价格提高 1，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)边际需求函数为 其经济意义在于，在价格为 p=4 时，若价格提高一个单位，则需求量减少 8 个单位 ()需求价格弹性函数为 当 P=4 时，需求价格弹性为 其经济意义在于，在价格 p=4 的基础上，若价格提高 1，则产品的需求量就减少 054 ()当 p=4 时，若价格提高 1，因为 该商品缺乏弹性，企业的收益是增加的 )解析：21.现有两只桶分别盛有 10 L 浓度为 15 gL 的盐水，现同时以 2 Lmin 的速
15、度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2 Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以 2 Lmin 的速度从第二只桶中排出，问 5 min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，则有 )解析：22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1)当 a1，a6 时，方程组只有唯一解； 2)当 a=1 时， 当a=1，b36 时，方程组无解； 当 a=1，b=36 时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意取值时， )解析：23.设 =(1，1，1) T 是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 A=，得 )解析：24.设 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()F Y (y)=PX 3 y， 当 y8 时，F Y (y)=0； )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
