1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 5 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：30，分数：60.00)1.已知球坐标系中矢量 A=ae r +be +ce ，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求.A、A以及 A 在相应的直角坐标系及圆柱坐标系中的表达式。（分数：2.00）_2.求下列矢量场的散度和旋度： (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xye z (2)F=cos 2 e +sine ； (3)F=yz 2 e x +zx 2 e y +xy 2 e z ； (4)F=P(x)e x +Q(y)e y
2、 +R(z)e z 。（分数：2.00）_3.给定两个矢量 A=2e x +3e y 一 4e z 和 B=一 6e x 一 4e y +e z ，求 AB 在 C=e x 一 e y +e z 上的分量。（分数：2.00）_4.r=xe x +ye y +ze z ，r=|r|，求使.(r n r)=0 的整数 n。（分数：2.00）_5.已知 A=3ye x +2ze y +xye z ，B=x 2 e x -4e z ，求(AB)。（分数：2.00）_6.求下列标量场的梯度： (1)f(，z)= 2 cos+z 2 sin； (2)f(r，)=2rsin+r 2 cos。（分数：2.00
3、）_7.求下列矢量场的散度和旋度： (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xyze z ； (2)F=cos 2 e +sine ； (3)F=P(x)e x +Q(y)e y +R(z)e z 。（分数：2.00）_8.已知矢量 A=e x x 2 yz+e y xy 2 z+e z xyz 2 ，求.A。（分数：2.00）_9.点电荷 q 1 =q 位于点 P 1 (一 a，0，0)处，另一个点电荷 q 2 =一 2q 位于点 P 2 (a，0，0)处，试问空间中是否存在 E=0 的点?（分数：2.00）_10.同轴线的内导体半径 a=1 mm，外导体
4、的内径 b=4 mm，内、外导体间为空气。假设内外导体间的电场强度为 （分数：2.00）_11.真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒上电荷密度为 S，求轴线上的电场强度。 （分数：2.00）_12.有半径为 a 的圆形线电荷，其密度为 ，如图所示，现求中心轴各处的电场强度 E，并讨论在 d=0 处的 E。 （分数：2.00）_13.媒质 1 的电参数为 1 =4 0 ， 1 =2 0 ， 1 =0，媒质 2 的电参数为 2 =2 0 ， 2 =3 0 ， 2 =0。两种媒质分界面上的法向单位矢量为 e n =e x 64+e y 6 一 e z 48，由媒质 2 指向媒质 1。若已知媒质 1
5、内临近界面上的点 P 处 B 1 =e x 一 2e y +3e z (T)，求 P 点处下列量的大小：(1)B 1n ；(2)B 1t ；(3)B 2n ；(4)B 2t 。（分数：2.00）_14.已知无源的真空中电磁波的电场 证明：S av =e z av c，其中 av 是电磁场能量密度的时间平均值， （分数：2.00）_15.真空中两根半径为 a 的无限长平行导体圆柱上带有静电荷，单位长度电量为 l 和一 l ，问空间一点处的电场强度是否可以用单根带电导体圆柱的电场公式叠加?即 （分数：2.00）_16.(北京理工大学 2003 年考研真题)试证明：静电场中电介质与导体分界面上一定存
6、在极化面电荷 ps 。（分数：2.00）_17.两异性点电荷 Q 1 和 Q 2 分别位于原点和 x=一 L 处，试证明电位等于零的曲面为一球面，此球面中心坐标为 x=一 LQ 1 2 (Q 1 2 一 Q 2 2 )，半径等于 LQ 1 Q 2 (Q 1 2 一 Q 2 2 )。（分数：2.00）_18.线电荷以密度 l 均匀分布在半径为 a 的半圆弧上，求圆心处的电场强度；设想所有的电荷集中于一点，并在圆心处产生相同的电场，求此点的位置。 （分数：2.00）_19.真空中有两个同号电荷 q 1 =q，q 2 =3q。它们之间距离为 d，试决定在连接两电荷的连线上，哪一点的电场强度为零?哪一
7、点上由两电荷所产生的电场强度恰好大小相等，方向相同? （分数：2.00）_20.边长为 a 的正方形的 3 个顶点上各放置带电量为 q 0 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E。（分数：2.00）_21.半径为 a 的细圆环上分布着均匀的电荷，总电量为 Q，求圆环轴线上的电场强度；若同样的电量呈均匀分布在同样半径的薄圆盘上，求轴线上的电场强度。（分数：2.00）_22.在自由空间里，已知分布在半径为 R=10 cm 的球内的体电荷密度 =10 （分数：2.00）_23.如图所示，两个半径分别为 a 和 b(ba)的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为 。两球面的球心相距为 d，且 da。试求
8、空腔内的电场。 （分数：2.00）_24.一对半径为 r 的无限长平行导线，导线间距离为 D(Dr)，其上带有等值异号电荷，其线电荷密度为 及一 ，求它们周围的电位分布。 （分数：2.00）_25.求半径为 a、长为 L 的圆柱面的轴线上的磁感应强度 B。柱面上的面电流密度为： （分数：2.00）_26.两根平行长直导线，截面半径为 R，轴线距离为 D。当通有电流 I 时，试求在通过两导线轴线之平面上B 的表示式。（分数：2.00）_27.在 xy 平面内有点电荷 Q 1 =Q，Q 2 =2Q 和 Q 3 =一 3Q，它们分别位于点 （分数：2.00）_28.在以下均匀电介质里有两个相同的点电
9、荷 Q=10 -8 C，电荷之间相距 R=01 m，试计算两电荷的相互作用力。(1)空气( r =1)；(2)变压器油( r =22)；(3)蒸馏水( r =81)。（分数：2.00）_29.一个半径为 8 cm 的导体球上套一层厚度为 2 cm 的介质层，假设导体球带电荷 410 -6 C，介质的 r =2，计算距离球心 250 cm 处的电位。（分数：2.00）_30.假设真空中有均匀电场 E 0 ，若在其中放置一厚度为 d，介电常数为 r ，法线与 E 0 的夹角为 0 的大介质片，求介质片中的电场强度 E。 （分数：2.00）_研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 5 答案解析(总分
10、：60.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：30，分数：60.00)1.已知球坐标系中矢量 A=ae r +be +ce ，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求.A、A以及 A 在相应的直角坐标系及圆柱坐标系中的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即矢量 A=ae r +be +ce 的模为常数。 将矢量 A=ae r +be +ce 用直角坐标系表示，有 A=ae r +be +ce =e x (asincos+bcoscos-csin)+ e y (asinsin+bcossin+ccos)+e z (acos-bsin) 由此可见，矢量 A 的方向
11、随 和 变化，故矢量 A 不是常矢量。 由上述结果可知，一个常矢量 C 在球坐标系中不能表示为 C=ae r +be +ce 。 在球坐标系中，矢量 A 的散度为： 代入各个分量，即可得 在球坐标系中，矢量 A 的旋度为： 代入各个分量，即可得 根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系，如下 则在直角坐标系下的表达式为： 根据圆柱坐标系和球坐标系坐标分量的转换关系， 因此在圆柱坐标系下的表达式为 )解析：2.求下列矢量场的散度和旋度： (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xye z (2)F=cos 2 e +sine ； (3)F=yz 2 e x +
12、zx 2 e y +xy 2 e z ； (4)F=P(x)e x +Q(y)e y +R(z)e z 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (3).F=0 +(一 y 2 +2yz)e y +(一 z 2 +2xz)e z (4).F=P(x)+Q(y)+R(z) )解析：3.给定两个矢量 A=2e x +3e y 一 4e z 和 B=一 6e x 一 4e y +e z ，求 AB 在 C=e x 一 e y +e z 上的分量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1443)解析：4.r=xe x +ye y +ze z ，r=|r|，求使.(r n r)=0 的整数 n。
13、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n=一 3)解析：5.已知 A=3ye x +2ze y +xye z ，B=x 2 e x -4e z ，求(AB)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：4z(xz-4)e y +3x 2 e z)解析：6.求下列标量场的梯度： (1)f(，z)= 2 cos+z 2 sin； (2)f(r，)=2rsin+r 2 cos。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.求下列矢量场的散度和旋度： (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xyze z ； (2)F=cos 2 e +sine ； (3
14、)F=P(x)e x +Q(y)e y +R(z)e z 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1).F=8xy+3y 2 ，F=e x 4xz+e y (12yz)一 e z (3x 2 +z 2 ) (2).F=2cos 2 +cos，F=e z (2sin+sin2) (3).F=P(x)+Q(y)+R(z)，F=0)解析：8.已知矢量 A=e x x 2 yz+e y xy 2 z+e z xyz 2 ，求.A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：6xyz)解析：9.点电荷 q 1 =q 位于点 P 1 (一 a，0，0)处，另一个点电荷 q 2 =一 2q 位于点 P
15、2 (a，0，0)处，试问空间中是否存在 E=0 的点?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：q 1 =q 在空间任意点 P(x，y，z)处产生的电场为 电荷 q 2 =-2q 在点P(x，y，z)处产生的电场为 故在点 P(x，y，z)处的电场则为 E=E 1 +E 2 ，令 E=0，则有 由此得 (x+a)E(x 一 a) 2 +y 2 +z 2 3/2 =2(x 一 a)(x+a) 2 +y 2 +z 2 3/2 (1) y(x 一 a) 2 +y 2 +z 2 3/2 =2y(x+a) 2 +y 2 +z 2 3/2 (2) z(x 一 a) 2 +y 2 +z 2 3/2 =2z
16、(x+a) 2 +y 2 +z 2 3/2 (3) 当y0 或 z0 时，将式(2)或式(3)代入式(1)，得 a=0。 所以，当 y0 或 z0 时无解。 当 y=0 且 z=0 时，由式(1)有 (x+a)(x 一 a) 3 =2(x 一 a)(x+a) 3 得 但 不合题意，所以仅在 )解析：10.同轴线的内导体半径 a=1 mm，外导体的内径 b=4 mm，内、外导体间为空气。假设内外导体间的电场强度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利用麦克斯韦方程 圆柱坐标系的表达式 将上式对时间积分，得 (2)为确定 k 值，由 ，得 将上式对时间积分，得 题中已知 (10 8
17、t 一 kz)，则 k 2 =(10 8 ) 2 0 0 因此，同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示式分别为 (3)将内导体视为理想导体，利用理想导体的边界条件即可求出内导体表面的电流密度 位移电流密度为 (4)在 0z1m 区域内的位移电流为 )解析：11.真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒上电荷密度为 S，求轴线上的电场强度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在无限长的半边圆筒上取宽度为 ad 的窄条，此窄条可看作无限长的线电荷，电荷线密度为 1 = S ad，可得真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为 )解析：12.有半径为 a 的圆形线电荷，其密度为 ，如
18、图所示，现求中心轴各处的电场强度 E，并讨论在 d=0 处的 E。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由库仑公式 其中 dl=a.d，r=d.e z ，r“=acose x +asine y =ae ，|r-r“|= )解析：13.媒质 1 的电参数为 1 =4 0 ， 1 =2 0 ， 1 =0，媒质 2 的电参数为 2 =2 0 ， 2 =3 0 ， 2 =0。两种媒质分界面上的法向单位矢量为 e n =e x 64+e y 6 一 e z 48，由媒质 2 指向媒质 1。若已知媒质 1 内临近界面上的点 P 处 B 1 =e x 一 2e y +3e z (T)，求 P 点处下列
19、量的大小：(1)B 1n ；(2)B 1t ；(3)B 2n ；(4)B 2t 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)B 1n =|B 1 .e n |=|(e x 一 2e y +3e z ).(e x 064+e y 06 一 e z 048)|=2(T) (3)利用磁场边界条件，得 B 2n =B 1n =2(T) (4)利用磁场边界条件，得 )解析：14.已知无源的真空中电磁波的电场 证明：S av =e z av c，其中 av 是电磁场能量密度的时间平均值， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：电场复矢量为 由E=一 j 0 H，得磁场强度复矢量 )解析：15.真
20、空中两根半径为 a 的无限长平行导体圆柱上带有静电荷，单位长度电量为 l 和一 l ，问空间一点处的电场强度是否可以用单根带电导体圆柱的电场公式叠加?即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：带异号电荷的两导线平行放置后，由于异号电荷的吸引作用，每根导线上的电荷在横截面不再是均匀分布，靠近的一侧分布密度大。因此，当场点与任一导线轴线的距离与导线半径 a 可比拟时，总的电场强度不能用单根带电圆柱的电场公式相叠加表示，当场点与任一导线轴的距离远大于导线半径 a 时，可以将单根导线上的分布电荷视为分布在轴线上，此时，总的电场强度可以用单根圆柱的电场公式相叠加表示。)解析：16.(北京理工大学 2
21、003 年考研真题)试证明：静电场中电介质与导体分界面上一定存在极化面电荷 ps 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在分界面上，若设导体表面的法矢量为 e n ，则电介质表面的法矢量为一 e n 。于是分界面上的极化面电荷为 在分界面上有 e n .D= s 所以 )解析：17.两异性点电荷 Q 1 和 Q 2 分别位于原点和 x=一 L 处，试证明电位等于零的曲面为一球面，此球面中心坐标为 x=一 LQ 1 2 (Q 1 2 一 Q 2 2 )，半径等于 LQ 1 Q 2 (Q 1 2 一 Q 2 2 )。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假定在空间任意一点，由 Q 1 产
22、生的电位是 U 1 ，由 Q 2 产生的电位是 U 2 ，那么，U 1 、U 2 分别表示为 空间任意一点电位 U=0 时，U 1 +U 2 =0 即 Q 1 (x 2 +y 2 +z 2 )=Q 2 (x+L) 2 +y 2 +z 2 整理后得到零电位面方程 )解析：18.线电荷以密度 l 均匀分布在半径为 a 的半圆弧上，求圆心处的电场强度；设想所有的电荷集中于一点，并在圆心处产生相同的电场，求此点的位置。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以圆心为原点建立如图所示坐标系，由对称性可知，原点处的电场强度沿 y 轴方向，圆弧上的微元 l dl 对此电场的贡献为 若将电荷集中于点(0，
23、y)，并且 E Q =E，则有 )解析：19.真空中有两个同号电荷 q 1 =q，q 2 =3q。它们之间距离为 d，试决定在连接两电荷的连线上，哪一点的电场强度为零?哪一点上由两电荷所产生的电场强度恰好大小相等，方向相同? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在 A 点处的电场强度为 0，A 点距 q 1 距离为 r 因为两个电荷同号，为斥力，力的方向沿径向 e r ，电场的方向也分别沿 e r 、一 e r ，在 A 点处共同产生的电场为(叠加) 在连线上，q 1 在左侧或 q 2 在右侧场强方向相同，有可能为最大 )解析：20.边长为 a 的正方形的 3 个顶点上各放置带电量为
24、q 0 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，建立直角坐标系，设第四个顶点上的电场强度为 E E 2 与 E 3 大小相等，相互垂直，合成场与 E 1 方向相同为： 或分解到 e x ，e y ，即 e 2 ，e 3 也可得 )解析：21.半径为 a 的细圆环上分布着均匀的电荷，总电量为 Q，求圆环轴线上的电场强度；若同样的电量呈均匀分布在同样半径的薄圆盘上，求轴线上的电场强度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知细圆环线电荷密度为 如图建立直角坐标系，点电荷 l dl 在 z 轴上 P 点产生的电位为： 那么圆环在 P
25、点产生的总电位为 由于电场强度是电位的负梯度，因此圆环线电荷在 P 点产生的电场强度为 若同样的电量呈均匀分布在同样半径的薄圆盘上，如右图。 带电圆盘面电荷密度为 在圆盘上取一半径为 r，宽度为 dr 的圆环，该圆环具有的电荷量为 dq=S2rdr。 由于对称性，该圆环电荷在 z 轴上任一点 P 产生的电场强度仅有 z 分量，此圆环在 P 点产生的电场强度为 则整个圆盘电荷在 P 点产生的电场强度为 )解析：22.在自由空间里，已知分布在半径为 R=10 cm 的球内的体电荷密度 =10 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 rR 时，由高斯定律得 当 rR 时，由高斯定律得 当rR
26、 时，电位取无穷远处为零电位点 1 = r Edr= r R E 1 dr+ r E 2 dr 当 rR 时，)解析：23.如图所示，两个半径分别为 a 和 b(ba)的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为 。两球面的球心相距为 d，且 da。试求空腔内的电场。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图(a)所示，大球圆心为 O 1 ，小球圆心为 O 2 ，小球中任意一点 P，O 1 到 P的距离为 r 1 ，方向矢量为 e r1 ，O 2 到 P 的距离为 r 2 ，方向矢量为 e r2 ，且 r 1 一 r 2 =d。 小球产生的电场 E 1 ，由高斯定律 大球产生的电场 E 2 ，
27、由高斯定理 )解析：24.一对半径为 r 的无限长平行导线，导线间距离为 D(Dr)，其上带有等值异号电荷，其线电荷密度为 及一 ，求它们周围的电位分布。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：电场柱对称分布，垂直于导线，由高斯定律： )解析：25.求半径为 a、长为 L 的圆柱面的轴线上的磁感应强度 B。柱面上的面电流密度为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)电流在圆柱面上的分布是均匀的，若圆柱形导体很长，则在导体的中部，磁场的分布是对称的，设 p 点离圆柱体轴线的垂直距离为 r，通过点 p 作半径为 r 的圆，圆面与圆柱体的轴线垂直，由于对称性，在以 r 为半径的圆周上
28、，B 的值相等，方向都是沿圆的切线 B.dl=B.dl Js=J S0 e z 与面元法向垂直 B=0 (2)可以看成是若干个圆形载流导线产生的磁场(长度为 L)。选取坐标系，Ox 轴通过圆心，并垂直于圆形导线的平面，在圆上任取一电流元 Jdl，这个电流元到 p 点的矢径为 r，在p 点产生的磁感应强度为 由于 dl 与 r 垂直，所以 =90 dB 的方向垂直于电流元 Jdl 与矢径 r 所组成的平面，即 dB 与 Ox 轴夹角为 dB x =dBcos dB =dBsin 任一直径两端的电流元对Ox 轴的对称性，所在电流元在点 p 产生的 dB 总和为零 )解析：26.两根平行长直导线，截
29、面半径为 R，轴线距离为 D。当通有电流 I 时，试求在通过两导线轴线之平面上B 的表示式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设两导线电流方向相反，在所求平面处产生的磁场方向相同，垂直纸面向内，总的磁场是两者的叠加。在 P 点处，由安培环路定律： )解析：27.在 xy 平面内有点电荷 Q 1 =Q，Q 2 =2Q 和 Q 3 =一 3Q，它们分别位于点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立直角坐标系如图，设 P 1 ，P 2 ，P 3 距圆点分别为 r 1 ，r 2 ，r 3 ，P 1 、P 2 产生的电场方向分别为一 e x 、e x ，P 3 产生的电场方向为 e y
30、)解析：28.在以下均匀电介质里有两个相同的点电荷 Q=10 -8 C，电荷之间相距 R=01 m，试计算两电荷的相互作用力。(1)空气( r =1)；(2)变压器油( r =22)；(3)蒸馏水( r =81)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由库仑定律知： (1)空气 (2)变压器油 (3)蒸馏水 )解析：29.一个半径为 8 cm 的导体球上套一层厚度为 2 cm 的介质层，假设导体球带电荷 410 -6 C，介质的 r =2，计算距离球心 250 cm 处的电位。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：导体球电荷只分布在球外表面，由高斯定理知 其中 q 1 =410 -6 C；r=250 cm， r =2， )解析：30.假设真空中有均匀电场 E 0 ，若在其中放置一厚度为 d，介电常数为 r ，法线与 E 0 的夹角为 0 的大介质片，求介质片中的电场强度 E。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据边界条件求解 E。由电位移矢量法线分量连续，即 D on =D n ，得 由电场强度矢量的切线法线连续，即 E 0t =E t 得 E t =E 0 sin 0 )解析：
