1、2012-2013学年甘肃武威六中高二 12月学段检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 A、 B、 C三点不共线，对平面 ABC外的任意一点 ，下列条件中能确定的 M与点 A、 B、 C一定共面的是（ ） A. B . C. D . 答案： D 试题分析：若 M,A,B,C四点共面，则 , 所以应选 D. 考点：空间四点共面的条件 . 点评：一般地如何 M， A， B， C四点共面，那么 且. 设向量 的夹角为 ，定义 的 “外积 ”： 是一个向量，它的模，若 ，则 =（ ） A B 2 C 2 D 4 答案： C 试题分析：因为 , . 考点：向量的数量积，向量的模，向量的夹角 .
2、 点评：先根据向量的数量积求出向量的夹角 ,然后再求出 , 进一步可求出 . 若 和 F分别为椭圆 的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意点，则 的最大值是（ ） A 2 B 3 C 6 D 8 答案： C 试题分析：设 P(x,y)， F（ -1， 0），所以,当且仅当 x=2时， 取得最大值，最大值为 6. 考点：椭圆的标准方程及椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，函数最值 . 点评：本小题关键是把 用点 P的横坐标 x表示出来，然后再根据 x的范围，从而转化为函数最值问题来解决 . 已知 和点 M,对空间内的任意一点 满足， ，若 存在实数 m使得 ,则 m=（ ） A 2 B 3 C 4
3、 D 5 答案： B 试题分析：因为 ,取 AB的中点 Q，,M为 的重心，设 E为 BC的中点，则,所以 . 考点：向量共线的条件，向量的运算 . 点评：解本题的关键是根据 得到 ,从而得到点 M为 的重心 . 已知 P是以 F1、 F2为焦点的双曲线 上一点，若，则三角形 的面积为（ ） A 16 B C D 答案： B 试题分析：由双曲线的定义可知 .(1) (2) 所以 (1)平方减去 (2)式可得. 考点：双曲线的定义，余弦定理，三角形的面积公式 . 点评：根据双曲线的定义及余弦定理可推导出焦点三角形的面积公式： . 已知 P是以 F1、 F2为焦点的椭圆 上一点，若=0， =2，则
4、椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 =0,所以 ,又因为 =2,|F1F2|=2c,所以 . 考点：椭圆的定义，椭圆的性质，向量垂直的判定 . 点评：根据 =0,可知 ,然后用 c表示出 , 再根据椭圆的定义可知 . 命题 p： |x|1，命题 q： ，则 是 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析： p真： -1x1,q真： ,所以 ,因为 ,所以 是 成立的必要不充分条件 . 考点：充要条件与简易逻辑的综合 . 点评：要先求出 p,q真的条件，得到 , 真的条件，再根据 , 为真对应的集合之间
5、的包含关系，从而可求出 是 成立的充要关系 . 长方体 ABCDA 1B1C1D1中， AA1=AB=2， AD=1， 点 E、 F、 G分别是 DD1、AB、 CC1的中点，则异面直线 A1E与 GF所成的角是（ ） A. B. C. D. 答案： D 试题分析：连接 B1G，则 ,所以 就是异面直线 A1E与 GF所成的角，连接 B1F， 在 中， ,所以 , 所以 . 考点：长方体的性质，异面直线所成的角 . 点评：找或做出异面直线所成的角，根据异面直线所成的角的定义要转化为求两条相交直线所成的角来解决 . 已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2)，且 ka+b与 2a-b互相
6、垂直，则 k的值为（ ） A 1 BC D 答案： D 试题分析：因为 与 互相垂直 ,所以 ,所以,所以 . 考点：两向量垂直的充要条件 . 点评：空间两个非零向量的垂直的条件 : . 已知双曲线的方程为 ，则它的一个焦点到一条渐进线的距离是（ ） A.2 B 4 C. D. 12 答案： C 试题分析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b= . 考点：双曲线的标准方程，双曲线的性质，点到直线的距离 . 点评：知道双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 . 命题 “对任意的 ”的否定是（ ） A不存在 B存在 C存在 D对任意的 答案： C 试题分析：把任意改成存在，然后再否定后面的条
7、件即可 .所以 “对任意的”的否定是存在 . 考点：全称命题与特称命题 . 点评：全称命题的否定为特定命题；特定命题的否定为全称命题 . 设 a=(x,4,3)， b=(3,2,z),且 a b，则 等于（ ） A 9 B -4 CD -9 答案： A 试题分析：因为 ,所以 所以 .所以 . 考点：空间向量平行的坐标表示 . 点评：设 ,如果 ,那么 . 填空题 已知命题 P:存在 ,使得 tanx=1, 命题 q: 的解集是x|1x2则下列结论： (1)命题： “ ”是真命题； (2)命题： “ ”是假命题； (3)命题： “ ”是真命题； (4)命题： “ ”是假命题 其中正确的 答案：
8、 (1)(2)(3)(4). 试题分析：因为 时， tanx=1,所以 p真；因为 的解集是x|1x2,所以 q也为真，因而命题： “ ”是真命题 ; “ ”是假命题 ;命题： “ ”是真命题 ; “ ”是假命题 .故正确的有 (1)(2)(3)(4). 考点：复合命题真假的判断 . 点评：复合命题的真假判断方法：或命题有真则真；且命题有假则假；非命题真假相反 . 抛物线 的准线方程是 y=1,则此抛物线的标 准方程为 答案： 试题分析：抛物线标准方程为 ,所以其准线方程为 , 所以抛物线的标准方程为 考点：抛物线的标准方程及性质 . 点评：先把抛物线的方程化成标准方程，然后再求出抛物线的准线
9、与焦点 . 若直线 y=kx-1与双曲线 只有一个公共点，则 k= 答案： ， 试题分析：因为双曲线的渐近线为 ,所以当直线 y=kx-1与渐近线平行时，也只有一个公共点，所以 ,由 y=kx-1与 联立消去 y整理后得，所以 ,所以 k的值有， . 考点：直线与双曲线的位置关系 . 点评：直线与双曲线只有一个公共点包含两种情况：一是与双曲线的渐近线平行，二是直线与双曲线相切 . 已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若 ,则 答案： 试题分析： , 所以 考点：向量的运算，向量的模 . 点评：根据向量的运算法则可由 得 ,所以 . 解答题 已知平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中，以顶
10、点 A为端点的三条棱 长都等于1，两两夹角都是 60，求对角线 AC1的长度 . (10分 )答案： . 试题分析：先选 为一组基向量，然后可表示出，然后再利用 求长度 . , 1+1+1+211cos60+211cos60+2 cos60=6. . 考点：利用向量求长度 . 点评：利用向量求长度，要先选一组合适的基底，标准是这组基底的任意两个向量的数量积可求，并且每个向量的模可知，然后其它向量都用这一组基向量表示，再利用 求长度 . 已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点（ 4， - ）（ 1）求双曲线的方程 .（ 2）若点 M(3,m)在双曲线上，求证：.（ 3）若点
11、 A,B在双曲线上，点 N(3,1)恰好是 AB的中点，求直线 AB的方程 (12分 ) 答案：（ 1） .（ 2） 。 试题分析： (1)根据离心率为 ,可知双曲线为等轴双曲线 ,可设双曲线的方程为,再根据它过点（ 4， - ）代入双曲线方程求出参数值，方程确定 . (2)根据点 M(3,m)在双曲线上 ,可求出 m值，然后求出,从而得到 . (3)因为 N（ 3， 1）为弦 AB的中点，可利用点差法求得直线的斜率，进而写出点斜式方程 . （ 1） 离心率为 ， 双曲线为等轴双曲线 . 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上 设双曲线的方程为， ， 点（ 4， - ）在双曲线上 ， 双曲线的方程
12、为，.（ 2） M(3,m)在双曲线上， ， ， ， .（ 3） 点 N(3,1)恰好是弦 AB的中点 有点差法易得 ， 直线 AB的方程为 考点：双曲线的方程及和性质，直线与双曲线的位置关系 . 点评：当知道弦中点时，可利用点差法求得弦所在直线的斜率，写出点斜式方程再化成一般式方程即可 . 已知命题 p: 方程 有两个大于 -1的实数根，已知命题 q：关于 x的不等式 的解集是 R,若 “p或 q”与 “ ” 同时为真命题，求实数 a的取值范围 (12分 ) 答案： 试题分析：先求出 p,q为真的条件，然后根据 “p或 q”与 “ ” 同时为真 命题可知 q为假， p为真，从而得到参数 a的
13、取值范围 . 方程 有两个大于 -1的实数根， 解得 即 p： 关于 x的不等式 的解集是 R， 解得 ，即 q： , “P或 q”与 “ ” 同时为真命题 , p真 q假 . 解得 考点：一元二次方程根的分布，复合命题真假的判断 . 点评：一元二次方程根的分布问题要从四个方面来考虑，一是开口方向，二是对称轴，三是端点值，四是判别式 . 已知棱长为 a的正方体 ABCDA 1B1C1D1， E为 BC中点 . （ 1）求到平面 B1ED距离 （ 2）求直线 DC和平面 B1ED所成角的正弦值 . (12分 ) 答案： (1) d = ；（ 2） sin= 。 试题分析： (1)求点到平面的距离
14、，可利用体积法 .可利用 V B1-ECD=V C-B1DE. (2)因为 E为 BC的中点，所以点 C到平面 B1ED的距离等于点 B到平面 B1ED的距离 h，在（ I）的基础上可求出直线 DC和平面 B1ED所成角 . (1)以为原点，为 x轴， y轴， z轴建立坐标系如图用向量法易求得到平面 B1ED距离 d = （ 2）方法一：向量法略 方法二：解：在四面体 B1DCE 中， V B1ECD =V CB1DE ， 则 S B1DE h CB1DE =S ECD h B1ECD 而 S B1DE= a2,S ECD= ,则 h CB1DE = . 则 sin= 考点：点到平面的距离，直
15、线与平面所成的角 . 点评：利用四面体可换底的特性，求出点到平面的距离 .求线面角如果直接找角不好找，可以象本题一样转化为点到平面的距离求解 . 如图 ,直三棱柱 中 , , 是棱 的中点 ,(1) 证明 : (2)求二面角 的大小 . (12分 ) 答案： 试题分析：（ 1）要证： 需要证 ，进而需要证明. (2) 求二面角 的关键是找或做二面角的平面角，取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接 ，再证 H与 D重合，进而得到是二面角 的平面角 ,然后解三角形求角即可 . （ 1）在 中， 得： 同理： 得： 面 (2) 面 取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接 ，面 面 面 得：点 与点 重合
16、 且 是二面角 的平面角 设 ，则 ， 即二面角 的大小为 . 考点：线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定与性质，二面角 . 点评：掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化的依据是它们的判定与性质定理，求二面角关键是找（或做）出二面角的平面角 . 已知椭圆 C: 的左，右焦点分别为 ，过 的直线 L与椭圆 C相交 A,B于两点，且直线 L的倾斜角为 ，点 到直线 L的距离为 ， (1) 求椭圆 C的焦距 .(2)如果 求椭圆 C的方程 .(12分 ) 答案： (1)焦距 2c=4（ 2）椭圆 C的方程为 。 试题分析： (1)由点到直线的距离公式可求出 c=2.从而得到焦距 2c=4. (2)
17、 因为直线 l过点 F2（ 2， 0），可设直线 L的方程为 ，它与椭圆的方程联立消去 x得到关于 y的一元二次方程，再利用韦达定理，得到y1+y2,y1y2,然后再利用 , 得到 ,这三个式子结合可求出 a,b.从而得到椭圆的方程 . (1) 点 到直线 L的距离为 ， 易得 ， c=2 焦距 2c=4(5分 ). （ 2） ，又过 的直线 L的倾斜角为 ， 直线 L的方程为， 得 设 ，解得 ， ， ， a=3, . 椭圆 C的方程为 （ 12分） 考点：点到直线的距离，直线与椭圆的方程的位置关系 . 点评：（ 1）本题涉及到点到直线的距离公式： 则点 P到直线 l的 距离 . （ 2）直线与圆锥曲线的位置关系问题一般要通过韦达定理及判别式来解决 .
