1、2013-2014学年江苏省扬州市高二下学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的函数 满足：(i) ； (ii)对任意 ，当 时，恒有 .那么称这两个集合 “保序同构 ”现给出以下 4对集合 . ； ； ； ，其中， “保序同构 ”的集合对的对应的序号是 (写出所有“保序同构 ”的集合对的对应的序号 ). 答案： . 试题分析： “保序同构 ”的集合是指存在一函数 满足：（ 1） .S是 的定义域， T是值域，（ 2） . 在 S上递增 .对于 ，若任意 ，当时，可能有 ，不是恒有 成立，所以 中的两个集合不一定是保序同构，对于 ，取 符
2、合保序同构定义，对于 ，取函数 符合保序同构定义，对于 ，取符合保序同构定义，故选 . 考点：新概念信息题，单调函数的概念，蕴含映射思想 . 填空题 设集合 ,集合 ,则 答案： . 试题分析：易知 2为 A,B两个集合的公共元素，所以 . 考点：集合的交集运算 . 若关于 的不等式 的解集中的正整数解有且只有 3个，则实数 的取值范围是 答案： . 试题分析：原不等式可化为 （其中 ，否则原不等式无解），令，则 ，令 ，得且令 有 ，且当 ，所以 的简图如图所示，当 时， ，当 时， ，当 时，又 且 ，要使不等式的解集中正整数有且只有 3个，由图可知即包含 ， ， ，所以只需 ，故. 考点
3、：导数的应用，数形结合思想 . 已知定义在 上的奇函数 在 时满足 ，且在 恒成立，则实数 的最大值是 答案： 试题分析：由题意可知 可化为： ，易知 奇函数在 R上单调递增，所以有 在 恒成立，因此在 恒成立，又因为当 时， ，所以，即实数 的最大值是 . 考点：恒成立问题，函数的单调性与奇偶性，最值 . 已知函数 是定义在 上的单调增函数，且对于一切实数 x，不等式 恒成立，则实数 b的取值范围是 答案： . 试题分析：由题意可知有： 恒成立，即为恒成立，又 ，则 ，所以 ， ，又，当时， ，由上有： 解得：. 考点：恒成立问题，三角函数的值域，解一元二次不等式 . 已知函数 的图象与函数
4、 的图象恰有两个交点，则实数 的取值范围是 答案： . 试题分析：因为原函数即为 ，如图所示，又函数过定点 ，当 过 与 时， ，而当过 与 时， ，又 否则与 平行不符合题意，结合图形可知当 时，函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点 . 考点：分段函数，斜率公式，数形结合思想 . 已知 ，则 答案： . 试题分析：观察易知： ，又，所以 ，故 . 考点：观察，归纳，特殊到一般数学思想 . 函数 的值域为 答案： . 试题分析：因为 = ，所以 . 考点：三角函数中的归一公式，三角函数值域问题 . 某工厂将 4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙 两名员工必须分
5、配至同一车间，则不同的分配方法总数为 （用数字作答） . 答案： . 试题分析：根据题意，可将甲乙两人看成一组，余下两人各看成一组，共三组分配到三个不同的车间，因此有： 种不同的分配方法 . 考点：排列数与组合数 . 为虚数单位，复数 = 答案： . 试题分析： = . 考点：复数的运算 . 函数 的定义域为 答案： . 试题分析：只需 ，解得 . 考点：对数型函数定义域的求法 . “ ”是 “函数 为奇函数 ”的 条件 （从 “充要 ”， “充分不必要 ”， “必要不充分 ”， “既不充分也不必要 ”中选择适当的填写） 答案：充分不必要 . 试题分析：易知，当 为奇函数，但当函数为奇函数时，
6、有 （ ），所以填充分不必要条件 . 考点：充分必要条件的判断 . 函数 在 处的切线的斜率为 答案： e. 试题分析：因为 ，所以 . 考点：导数的几何意义 . 若 tan + =4则 sin2 = 答案： . 试题分析：因为 tan + = ，所以 故 . 考点：同角三角函数的基本关系：商数关系，平方关系；二倍角的正弦公式 . 解答题 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 为棱上的动点， . 当 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； 当 的值为多少时，二面角 的大小是 45 . 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与
7、线的方向向量，注意用好如下公式： ，且线面角的范围为： ；（ 2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于 点坐标未知，可先设出，利用二面角 的大小是 45 ，求出 点坐标，从而可得到 的长度，则易求出其比值 . 试题： 如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，依题意得， 因为 为中点，则， 设 是平面 的一个法向量，则 ，得，取 ，则 ，设直线 与平面 的法向量的夹角为 ，则 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ； 设 ，设 是平面的一个法向量，则 ，取 ，则 ，是平面 的一个法向量，得 ，即 ，所以当 时，二面角 的大小是 . 考点：运用空间向量解决线面角与面
8、面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系 . 已知函数 在 上是增函数 . 求实数 的取值范围 ； 当 为 中最小值时，定义数列 满足： ，且 ， 用数学归纳法证明 ，并判断 与 的大小 . 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）本小题即为 在 上恒成立，利用分离变量完成此题；（ 2）用数学归纳法证明时，要注意用到归纳假设 ，对于判断与 的大小可用求差比较法完成 . 试题： 即 在 恒成立， ； 用数学归纳法证明： （ ） 时，由题设 ； （ ）假设 时， ；则当 时，由 知： 在 上是增函数，又 ，所以 ，综合（ ）（ ）得：对任意 ， ，因为 ，所以，即 考点：恒成
9、立问题（分离变量法），数学归纳法，化归思想 . 一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球 个、黄色球 个、蓝色球个现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得 分、摸到黄球得 分、摸到蓝球得 分若从这个口袋中随机地摸出 个球，恰有一个是黄色球的概率是 求 的值； 从口袋中随机摸出 个球，设 表示所摸 球的得分之和，求的分布列和数学期望 . 答案：（ 1） ， （ 2） 的分布列为： . 试题分析：（ 1）本小题为古典概型，基本事件的种数为： ，事件：从口袋中随机地摸出 个球，有一个是黄色球的方法数为： ，即可构建关于 的方程；（ 2）易知 取值为 ，利用古典概型概率公式，易求 的每个取值对应的概率，从而
10、可列出分布列，并求出数学期望 . 试题： 由题意有 ，即 ，解得 ； 取值为 . 则 ， ， ， 的分布列为： 故 . 考点：古典概型概率公式，分布列，数学期望公式 . 已知函数 ，函数 . 当 时，函数 的图象与函数 的图象有公共点，求实数 的最大值； 当 时，试判断函数 的图象与函数 的图象的公共点的个数； 函数 的图象能否恒在函数 的上方？若能，求出 的取值范围；若不能，请说明理由 答案：（ 1） 的最大值为 ，（ 2） 时，无公共点，时，有一个公共点， 时，有两个公共点；（ 3）当或 时函数 的图象恒在函数 的图象的上方 . 试题分析：（ 1）当 时，由图形可知一次函数 与对数函数 相
11、切时，取最大值，可以用导数的几何意义完成；（ 2）要研究两函数的公共点个数，由函数 的定义域可知只需考虑 情况，当 时，令得 ，则原命题等价于研究直线 与函数 的图象的公共点的个数，因此利用导数研究函数 图象变化情况，易得结论；（ 3）把问题转化为： 在 时恒成立问题，要注意对 取值情况的讨论 . 试题： ，由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时取最大值，设切点横坐标为 ， ，, 即实数 的最大 值为 ， ，即原题等价于直线 与函数的图象的公共点的个数， ， 在递增且 ， 在 递减且 ，时，无公共点， 时，有一个公共点，时，有两个公共点； 函数 的图象恒在函数 的上方；即在 时恒成立， 时
12、图象开口向下，即在 时不可能恒成立， 时 ，由 可得 ， 时恒成立， 时 不成立， 时，若 则，由 可得 无最小值，故 不可能恒成立，若则 ，故 恒成立，若 则 ，故恒成立，综上， 或 时，函数 的图象恒在函数 的图象的上方 考点：导数的几何意义，用导数分析函数的单调性，最值，恒成立问题，渗透数形结合思想，分类讨论的数学思想 已知函数 （ 为实数， ）， 若 ，且函数 的值域为 ，求的表达式； 设 ，且函数 为偶函数，判断 是否大0？ 设 ，当 时，证明：对任意实数 ，(其中 是 的导函数 ) 答案：（ 1） ，（ 2） 成立，（ 3）证明略 . 试题分析：（ 1）由于 的表达式与 有关，而确
13、定 的表达式只需求出待定系数 ，因此只要根据题目条件联立关于 的两个关系即可；（ 2）由 为偶函数可先确定 ，而 可不妨假设 ，则 ，代入 的表达式即可判断 的符号；（ 3）原不等式证明等价于证明 “对任意实数 ， ” 即等价于证明“ ”，可先证 ，再证 .根据不等式性质，可证得 . 试题： 因为 ，所以 ，因为 的值域为 ，所以，所以 ，所以 ，所以； 因为 是偶函数，所以 ，又 ，所以，因为 ，不妨设 ，则 ，又 ，所以 ，此时 ，所以； 因为 ，所以 ，又 ，则 ，因为 ，所以 ，则原不等式证明等价于证明 “对任意实数 ， ” 即 . 先研究 ，再研究 . 记 ， ，令 ，得 ，当， 时
14、 ， 单增；当 ， 时 ， 单减 . 所以， ，即 . 记 ， ，所以 在 , 单减，所以，即 . 综上 、 知， 相关试题 2013-2014学年江苏省扬州市高二下学期期末考试理科数学试卷（带） 如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在 y轴左侧的观光道曲线段是函数 ， 时的图象且最高点 B（ -1， 4），在 y轴右侧的曲线段是以 CO为直径的半圆弧 . 试确定 A，和 的值； 现要在右侧的半圆中修建一条步行道 CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点 D之间设计为直线段（造价为 2万元 /米），从 D到点 O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为 1万元 /米）设 (弧度 )，试用来
15、表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度） 答案：（ 1） , ， ；（ 2）造价预算， ，造价预算最大值为（ ）万元 . 试题分析：（ 1）此小题实质是考查利用三角函数图像求三角式问题，由最高点B的坐标可求得 A的值，又四分之一周期为 3，易求得 ，在此情况下，把 B点坐标代入三角式中可求得 ；（ 2）本小题中步行道分两部分组成，（如图）一部分在扇形 中利用弧长公式： 求得，另一部分在 中利用直角三角形的边角关系求得，两项相加可得关于 的造价预算函数 ，再用导数工具求得其最值 . 试题： 因为最高点 B（ -1， 4），所以 A=4；又 ，
16、所以，因为 ，代入点 B（ -1， 4），又 ； 由 可知：，得点 C 即 ，取 CO中点 F，连结 DF，因为弧 CD为半圆弧，所以 ，即，则圆弧段 造价预算为 万元， 中，则直线段 CD造价预算为 万元，所以步行道造价预算， 由得当 时， ，当时， ，即 在 上单调递增；当 时，即 在 上单调递减，所以 在 时取极大值，也即造价预算最大值为（ ）万元 （图 ） 考点：利用三角函数图像求三角式问题，导数求函数最值问题（要关注函数定义域），数形结合思想 . 已知 的展开式的二项式系数之和为 ，且展开式中含 项的系数为 . 求 的值； 求 展开式中含 项的系数 . 答案：（ 1） ， ；（ 2）
17、 . 试题分析：（ 1）二项式系数之和为： ，令 易求得 ，其次利用二项展开式的通项公式中令 ，易求得 ；（ 2）在前小题已求得的 的基础上，要求 展开式中求特定项（含 项）的系数，只需把两个二项式展开，对于 展开式中的常数项与 展开式中的项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求 . 试题： 由题意， ，则 ，由通项公式 ，则 ，所以 ，所以 ； 本小题即求 展开式中含项的系数，所以展开式中含 项的系数为 考点：二项式定理，二项式系数和，利用二项展开式的通项公式求特定项，化归思想 . 已知函数 的最小正周期为 . 求函数 的对称轴方程； 设 ，求
18、的值 . 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）此小题重点考查正余弦函数的周期公式与对称轴公式；（ 2）要求 ，只需分别求出 ，由已知条件，代入函数中易求得 的值，但要注意诱导公式的应用及相应角的范围 . 试题： 由条件可知， ，则由为所求对称轴方程； ，因为 ，所以， ，因为 ，所以 ， 考点：正余弦函数的周期公式： ，余弦函数 的对称轴公式：，两角和的余弦公式，诱导公式 . 已知 ，命题 ，命题. 若命题 为真命题，求实数 的取值范围； 若命题 为真命题，命题 为假命题，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）此小题即为恒成立问题，只需当 时，
19、 恒成立即可；（ 2）对于 q为真，只要 ，而命题 为真命题，命题为假命题反映的是命题 p与命题 q一个为真另一个为假，分类讨论即可 . 试题：因为命题 ，令 ，所以，根据题意，只要 时， 即可，也就是 ，即 ； 由 可知，当命题 p为真命题时， ，命题 q为真命题时，解得 ，因为命题 为真命题，命题为假命题，所以命题 p与命题 q一真一假，当命题 p为真，命题 q为假时， ，当命题 p为假，命题 q为真时，综上所述： 或 . 考点：恒成立问题，复合命题的基本概念，解不等式组，分类讨论的数学思想 . 已知数列 为 ， 表示， 若数列 为等比数列 ，求 ； 若数列 为等差数列 ，求 . 答案：（ 1） ， （ 2） . 试题分析：（ 1）注意到 ，只需求出代入相应位置，整理即可得到其值，但要注意二项式定理及二项式系数和的应用；（ 2）此小题中 ，则，以下采用构造关系式，应用导数法与赋值法求得其值 . 试题： ，所以； ， 因为 ， 两边同乘以 ，则有 ， 两边求导，左边 ， 右边 ， 即 （ *）， 对（ *）式两边再求导，得 取 ，则有 所以 . 考点：二项式定理，求导公式，赋值法，转化思想 .
