1、2013-2014学年江西省南昌第二中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 甲、乙两人从 4门课程中各选修 1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有 （ ） A 6种 B 12种 C 30种 D 36种 答案： B 试题分析：甲、乙所选的课程不相同的选法共有 种 . 考点：排列组合 . 如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中 3分处的概率为 ，落在圆盘中 2分处的概率为 ，落在圆盘中 0分处的概率为 ，（ ），已知旋转一次圆盘得分的数学期望为 1分，则 的最小值为 A B C D 答案： A 试题分析：由分布列知： ， . 考点：随机变量的分布列与数学期望 . 点 是棱长
2、为 1的正方体 内一点，且满足，则点 到棱 的距离为 A B C D 答案： A 试题分析：以点 A为空间坐标系的原点建立坐标系，则， ，即 ，点 到棱 的距离为. 考点：空间距离 . 如图 ,正方形 ACDE与等腰直角三角形 ACB所在的平面互相垂直 ,且AC=BC=2, ACB=90,F,G分别是线段 AE,BC的中点 ,则 AD与 GF 所成的角的余弦值为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：以点 为空间坐标系的原点建立坐标系，则，所以 ，因此 ，而线线夹角取值范围是 ，故取正值， A正确 . 考点：空间角的计算 . 现有 4名教师参加说课比赛，共有 4道备选题目，若每位教师从
3、中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这 4位教师选中的情况有 ( ) A 288种 B 144种 C 72种 D 36种 答案： B 试题分析：从 4题种选一道作为不被选中的题有 4种，从 4位教师中选 2位，这两位是选同样题目的有 种，被选中两次的题目有 3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的 2题，共 种 . 考点：排列组合 . 已知 (1 x)10 a0 a1(1-x) a2(1-x)2 a10(1-x)10，则 a8 ( ) A -180 B 180 C 45 D -45 答案： B 试题分析： ， 是第 9项， . 考点：二项式定理 . 设 、 是两条不同的直线
4、， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A若 则 B若 则 C若 则 D若 则 答案： D 试题分析： A选项为 或 ； B选项为 或 或 ； C选项为或 ； D选项正确 . 考点：线面位置关系 . 已知集合 A=5,B=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标 ,则确定的不同点的个数为 ( ) A 33 B 34 C 35 D 36 答案： A 试题分析：共有 种 . 考点：排列组合 . 6的展开式中 x2的系数为 ( ) A -240 B 240 C -60 D 60 答案： B 试题分析：二项式展开式为 ，令，所以展开式中 x2 的系数
5、为 . 考点：二项式定理 . 从不同号码的三双靴中任取 4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） A 12 B 24 C 36 D 72 答案： A 试题分析：恰好有一双的取法种数为 种 . 考点：排列组合 . 填空题 三棱锥 的各顶点都在一半径为 的球面上，球心 在 上，且有，底面 中 ，则球与三棱锥的体积之比是 答案： 试题分析：球的半径为 ，则球的体积 ；三棱锥的体积， 球与三棱锥的体积之比是 . 考点：空间几何体的体积、与球有关的计算问题 . 如图所示，在四棱锥 P-ABCD中， PA 底面 ABCD，四边形 ABCD为正方形， F为 AB上一点该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，则四面
6、体 P-BFC的体积是 _ 答案： 试题分析：由三视图知 . 考点：空间几何体的三视图、体积的求法 . 用 09这 10个数字组成无重复数字的五位数，任取一数奇数位上都是偶数的概率为 _ 答案： 试题分析：任取一数奇数位上都是偶数的概率为 . 考点：排列组合 . 的展开式中 项的系数是 15，则展开式的所有项系数的和是_. 答案： 试题分析：由题意知 ， ；令 ，则展开式的所有项系数的和是 . 考点：二项式定理 . 某班有 38人，现需要随机抽取 5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种 . （结果用数值表示） 答案： 试题分析：抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况
7、有种 . 考点：组合与组合数 . 解答题 7名师生站成一排照相留念，其中老师 1人，男生 4人，女生 2人，在下列情况下，各有不同站法多少种 （用数字作答） （ 1）两名女生必须相邻而站； （ 2） 4名男生互不相邻 . 答案：（ 1）两名女生必须相邻而站有 1440种；（ 2） 4名男生互不相邻有144种 . 试题分析：（ 1）两名女生必须相邻而站，用捆绑法；（ 2） 4 名男生互不相邻，用插空法 . （ 1） 种 . （ 2） 种 . 考点：排列和排列数 . 已知在 的展开 式中，第 6项 为常数项 . （ 1）求 n； （ 2）问展开式中的有理项 .分别为第几项？说明理由。 答案：（ 1
8、） ；（ 2）展开式中的有理项分别为第 项，理由详见试题 . 试题分析：（ 1）用二项式定理的展开项即可求 n的值； （ 2）令展开式中 的指数为整数的项即为有理项，求出 的值即可 . （ 1） 故 . （ 2）设展开式中的有理项为 则 ，故 r =2， 5， 8 展开式中的有理项分别为第 3项，第 6项，第 9项 . 考点：二项式定理 . 已知棱长为 1的正方体 AC1， E、 F分别是 B1C1、 C1D的中点 （ 1）求点 A1到平面的 BDEF的距离； （ 2）求直线 A1D与平面 BDEF所成的角 答案：（ 1）点 到平面的 BDEF的距离；（ 2）直线 A1D与平面 BDEF所成的
9、角为 试题分析：（ 1）建立空间坐标系，分别写出各点的坐标，设点 在平面 BDEF上的射影为 H，连结 A1D，知 A1D是平面 BDEF的斜线段；求出 的长即为点 到平面的 BDEF的距离； （ 2）由（ 1）可知， 为等腰直角三角形， 即直线 A1D与平面BDEF所成的角 （ 1）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz, 则知 B（ 1， 1， 0）， 设 是平面 的法向量， 得 则 令 设点 在平面 BDEF 上的射影为 H，连结 A1D，知 A1D 是平面 BDEF 的斜线段 即点 到平面 BDEF的距离为 1 （ 2）由（ 1）知， =1，又 A1D= ，则 为等腰直角三角形， 考点：空
10、间距离、空间角的求法 . 若四位数 的各位数码 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，定义 为的数码组，其中若 数码组为 型， ， 试求所有四位三角形数的个数 答案：所有四位三角形数的个数为 96 试题分析：数码组为 型， ，据构成三角形条件，有 ，列出所有可能，即可 求所有四位三角形数的个数 . 数码组为 型， ，据构成三角形条件，有， 的取值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中的个数 0 1 2 3 4 3 2 1 0 共得 16个数码组，对于每组 ，两个 有 种占位方式，于是这种 有 个 考点：排列组合问题 . 在一个盒子中，放有标号分别为 1， 2， 3的
11、三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、 y，设 O 为坐标原点，点 P的坐标为 记 . （ 1）求随机变量 的最大值，并求事件 “ 取得最大值 ”的概率； （ 2）求随机变量 的分布列和数学期望 . 答案：（ 1）随机变量 的最大值为 3， “ 取得最大值 ”的概率 ； （ 2）随机变量 的分布列见试题，数学期望为 . 试题分析：（ 1）列出 的可能取值，即可求随机变量 的最大值及事件 “取得最大值 ”的概率； （ 2）随机变量 可能取值为 0， 1， 2， 5，求出各取值的概率，即可求出随机变量 的分布列和数学期望 . （ 1） 可能的取值为 ， ，且当 或 时
12、， . 因此，随机变量 的最大值为 3. 有放回抽两张卡片的所有情况有 39种， 故 ，即事件 “ 取最大值 ”的概率是 . （ 2）随机变量 可能取值为 0， 1， 2， 5。 因为当 =0时，只有 这一种情况，所以 . 因为当 时，有 或 或 或 四种情况， ； 因为当 时，有 或 两种情况，； 所以随机变量 的分布列是 0 1 2 3 P 因此随机变量 的数学期 . 考点：随机变量的分布列和数学期望 . 如图，正方形 A1BA2C的边长为 4， D是 A1B的中点， E是 BA2上的点，将 A1DC 及 A2EC 分别沿 DC 和 EC 折起，使 A1、 A2重合于 A，且平面 ADC
13、平面EAC （ 1）求证： AC DE； （ 2）求二面角 A-DE-C的余弦值。 答案：（ 1）证明过程详见试题；（ 2）二面角 的余弦值为 . 试题分析：（ 1）由已知条件证出 互相垂直，以 为坐标系原点建立空间坐标系，写出各点坐标，求出 即证得 AC DE；（ 2）先求出平面 DCE的法向量 ，平面 的法向量 ，两法向量的夹角即为所求 . 平面 平面 ，且 平面 , 设 ，在 Rt ， ， 是 中点 分别以 AD,AE,AC 为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 （ 1） (2) 设平面 DCE的法向量为 ，且 ， 又 平面 , 平面 的法向量为 . 二面角 的余弦值为 考点：直线与平面位置关系、空间角的求法 .
