1、2013届湖北省武汉二中高三高考模拟理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 对于数集 A, B, 定义 A+B=x|x=a+b, a A, b B） , AB=x|x= , , 若集合 A=1, 2, 则集 合（ A+A） A 中所有元素之和为（ ） A. B. C. D. 答案： C 试题分析：根据新定义，数集 A, B, 定义 A+B=x|x=a+b, a A, b B） , AB=x|x= , ，集合 A=1, 2,（ A+A） =2,3,4，（ A+A）A=1， 2,3,4， 1.5，则可知所有元素的和为 11.5，故答案：为 C. 考点：集合的交集 点评：主要是考查了集合的运算，属于基
2、础题。 某学生在复习指数函数的图象时发现：在 y轴左边 , y=3x与 y=2x的图象均以x轴负半轴为渐近线 , 当 x=0时 , 两图象交于点（ 0, 1）这说明在 y轴的左边y=3x与 y=2x的图象从左到右开始时几乎一样 , 后来 y=2x的图象变化加快使得y=2x与 y=3x的图象逐渐远离 , 而当 x经过某一值 x0以后 y= 3x的图象变化加快使得 y=2x与 y=3x的图象又逐渐接近 , 直到 x=0时两图象 交于点（ 0, 1）那么 x0=（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于指数函数图象变化规律可知，不同底数的指数函数图象，底数大于 1 时，底数越大的则
3、在 y轴右侧越是接近于 y 轴，在 y轴左侧，越来越接近于 x轴，那么分界点 (0,1),因此可知， ， 考点：指数函数图象 点评：主要是考查了指数函数图象与性质的运用，属于基础题。 如图 , 在等腰梯形 ABCD中 , AB/CD, 且 AB=2CD, 设 DAB= , （ 0, ） , 以 A, B为焦点且过点 D的双曲线的离心率为 e1, 以 C, D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为 e2, 设 的大致图像是 （ ） 答案： D 试题分析：根据题意， 由于等腰梯形 ABCD中 , AB/CD, 且 AB=2CD, 设 DAB= , （ 0, ） ,那么结合双曲线的定义，以 A, B为焦点
4、且过点 D的双曲线的离心率为 e1, 以 C, D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为 e2,BD-DA=2a,AB=2c,AD+DC=2a,且 ，因为 a 在增大，c 不变可知离心率 e1 增大，而对于离心率 e2，不变，那么可知正确的图象为 D。 考点：双曲线的性质，椭圆的性质 点评：主要是考查了双曲线以及椭圆性质的运用，属于中档题。 等差数列 的前 n项和为 , 公差为 d, 已知 , 则下列结论正确的是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于等差数列 的前 n项和为 , 公差为 d, 已知，因为函数 f(x)= 在定义域内增函数可知，故可知，答案：为 C. 考点：等差
5、数列 点评：主要是考查了等差数列的求和公式以及数列的单调性的运用，属于中档题。 函数 的图象与 轴所围成的封闭图形的面积为 （ ） A B 1 C 4 D答案： C 试题分析：根据题意，由于函数 的图象与 轴所围成的封闭图形的面积 ，那么可知答案：为 C. 考点：定积分的运用 点评：主要是考查了定积分几何意义的运用，属于基础题。 一支足球队每场比赛获胜（得 3分）的概率为 a, 与对手踢平（得 1分）的概率为 b负于对手（得 0分）的概率为 .已知该足球队进行一场比赛得分的期望是 1, 则 的最小值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，由于足球队每场比赛获胜（得 3分）的概
6、率为 a, 与对手踢平（得 1分）的概率为 b负于对手（得 0分）的概率为 c，则可知 a+b+c=1,可知该足球队进行一场比赛得分的期望 3a+b=1，则，当 a=b 时等号成立，故答案：为 A。 考点：不等式 点评：主要是考查了均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。 一个多面体的直观图和三视图如图所示 , M是 AB的中点 .一只小蜜蜂在几何体 ADFBCE 内自由飞翔 , 则它飞入几何体 FAMCD 内的概率为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于该几何体是三棱柱，其中底面为正方形，边长为 a，高为 a，那么可知三棱柱的体积为 而几何体 FAMCD 的体积为四棱
7、锥的体积，体积为 ，利用几何概型的体积比可知概率为，故答案：为 C. 考点：几何体的体积 点评：主要是考查了几何体体积的计算，属于基础题。 画在同一坐标系内的曲线 的交点坐标是（ ) A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，在同一坐标系内的曲线 作出图形可知，由于都是周期为 为交点的横坐标，那么经过 n个周期后所有的交点的坐标为 ，故答案：为 A. 考点：正弦函数与余弦函数 点评：主要是考查了正弦函数与余弦函数图象的运用，属于中档题。 “a=2”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：根据题意，由于恒成立，结合函
8、数的最大值可知，只要 a大于函数的最大值即可，开口向下，可知当 =4时函数有最大值故为 2，那么可知 a ,y因此可知条件是结论成立的充分不必要条件，故答案：为 A. 考点：充分、必要条件 点评：主要是考查了充分条件的判定运用，属于基础题。 某车间为了规定工时定额 , 需要确定加工零件所花费的时间 , 为此进行了 5次试验 , 收集数 据如下： 加工零件数 x(个 ) 10 20 30 40 50 加工时间 y(分钟 ) 64 69 75 82 90 经检验 , 这组样本数据具有线性相关关系 , 那么对于加工零件的个数 x与加工时间 y这两个 变量 , 下列判断正确的是（ ） A成正相关 ,
9、其回归直线经过点（ 30, 76） B成正相关 , 其回归直线经过点（ 30, 75） C成负正相关 , 其回归直线经过点（ 30, 76） D成负相关 , 其回归直线经过点（ 30, 75） 答案： D 试题分析：根据题意，由于根据数据作出散点图可知，样本数据具有线性相关关系，且 ，样本中心点（ 30,75）那么随着 x的增大而减小，那么可知为负相关，故答案：为 D. 考点：回归直线 点评：主要是考查了回归直线方程的求解以及性质的运用，属于基础题。 填空题 在直角坐标系 xOy中 , 以原点为极点 , x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 记为极径 , 为极角 , 圆 C: =3 cos 的圆
10、心 C到直线 : cos =2的距离为 . 答案： 试题分析：根据题意，由于圆 C: =3 cos ，表示的为 ,的圆心 C到直线 : cos =2,即为 x=2的距离 d= ,故可知答案：为 。 考点：点到直线的距离 点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。 如图 , 已知圆 O 的半径为 3, AB与圆 D相切于 A, BO 与圆 O 相交于 C, BC =2, 则 ABC的面积为 . 答案： 试题分析：根据题意，圆 O 的半径为 3, AB与圆 D相切于 A, BO 与圆 O 相交于C, BC =2, ,连接 0A,则可知解三角形 AC=2可知， ,故可知解得为 考点：圆
11、内性质 点评：主要是考查了圆内性质的运用，属于基础题。 观察下面两个推理过程及结论： (1) 若锐角 A, B, C 满足 A+B+C= , 以角 A, B, C分别为内角构造一个三角形 , 依据正弦定理和余弦定理可得到等式：(2) 若锐角 A, B, C 满足 A+B+C= , 则 = , 以 分别为内角构造一个三角形 , 依据正弦定理和余弦定理可以 得到的等式： 则：若锐角 A, B, C满 足 A+B+C= , 类比上面推理方法 , 可以得到一个等式是 . 答案： 试题分析：根据题意，由于锐角 A, B, C 满足 A+B+C= , 以角 A, B, C 分别为内角构造一个三角形 , 依
12、据正弦定理和余弦定理可得到等式：，锐角 A, B, C 满 足 A+B+C= , 类比上面推理方法 , ，故答案：为 。 考点：类比推理 点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。 给出下列命题： 在锐角 ； 函数 图象关于点 对称； 在 , 则 必为等边三角形； 在同一坐标系中 , 函数 的图象和函数 的图象有三个公共点 . 其中正确命题的序号是 _（写出所有正确命题的序号） . 答案： 试题分析：根据题意，由于 在锐角；成立 函数 图象关于点 对称；错误。 在 , 则 必为等边三角形；根据正弦定理可知，三角形为等边三角形，故成立。 在同一坐标系中 , 函数 的图象和函数 的图 象有 2
13、个公共点，故错误。故答案：为 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。 执行如图所示的程序框图 , 若输入 a的值为 2, 则输出的 p值是 . 答案： .5 试题分析：根据题意，由于输入 a的值为2,p=1,s=1,;p=2,s=1+0.5=1.5;p=3,s=0.5+3=4.5,此时终止循环，故可知输出的 P的值为 4.5. 考点：程序框图 点评：主要是考查了程序框图的基本运算，属于基础题。 若 _. 答案： 试题分析：根据题意，由于，则,故可知答案：为 2. 考点：二项式定理 点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。 解答题 如图 , 已知单位圆
14、上有四点, 分别设的面积为 . (1)用 表示 ； (2)求 的最大值及取最大值时 的值 . 答案：（ 1） , (2) 试题分析：解 (1)根据三角函数的定义 , 知 所以 , 所 . 3分 又因为 四边形 OABC 的面积 , 所以 . 6分 (2)由 (1)知 . 9分 因为 , 所以 , 所以 , 所以 的最大值为 , 此时 的值为 . 12分 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题。 已知数列 为等比数列 , 其前 项和为 , 已知 , 且对于任意的 有 , , 成等差；求数列 的通项公式； 答案： 试题分析： 解：设公比为 ， 成等差
15、得 又 所以 考点：等差数列，等比数列 点评：主要是考查了等差数列和等比数列的求和的运用，属于基础题。 如图 , 平面 平面 , 是以 为斜边的等腰直角三角形 , 分别为 , , 的中点 , , (1) 设 是 的中点 , 证明： 平面 ； (2) 证明：在 内存在一点 , 使 平面 , 并求点 到 , 的距离 答案：（ 1）建立直角坐标系，利用向量的数量积为零来得到证明。 （ 2） 到 , 的距离为 试题分析：证明： （ I） 如图 , 连结 OP, 以 O 为坐标原点 , 分别以 OB、 OC、 OP所在直线为 轴 , 轴 , 轴 , 建立空间直角 坐标系 O , , -2分 由题意得 ,
16、 因 , 因此平面 BOE的法向量为 , 4分 得 , 又直线 不在平面 内 , 因此有 平面 6分 （ II）设点 M的坐标为 , 则 , 因为 平面 BOE, 所以有 , 因此有 , 即点 M的坐标为 , 9分 在平面直角坐标系 中 , 的内部区域满足不等式组 , 经检验 , 点M的坐标满足上述不等式组 , 所以在 内存在一点 , 使 平面 , 11分 由点 M的坐标得点 到 , 的距离为 12分 考点：距离和垂直的证明 点评：主要是考查了空间直角坐标系中直线的垂直，以及点到直线距离的求解，属于中档题。 若椭圆 C： 的离心率 e为 , 且椭圆 C的一个焦点与抛物线y2 -12x的焦点重合
17、 (1) 求椭圆 C的方程； (2) 设点 M(2,0), 点 Q 是椭圆上一点 , 当 |MQ|最小时 , 试求点 Q 的坐标； (3) 设 P(m,0)为椭圆 C长轴（含端点）上的一个动点 , 过 P点斜率为 k的直线 l交椭圆与 A,B两点 , 若 |PA|2 |PB|2的值仅依赖于 k而与 m无关 , 求 k的值 答案：（ 1） （ 2） (5,0) （ 3） k 试题分析：解：（ 1） 依题意 a=5,c=3 椭圆 C的方程为： 2 （ 2）设 Q(x,y), -5x5 对称轴 当 x 5时 , |MQ|2达到最小值 , 当 |MQ|最小时 , Q 的坐标为 (5,0) 6 （ 3）
18、设 A(x1,y1), B(x2,y2), P(m,0)(-5m5), 直线 l： y k(x-m) 由 得 , 8 y1 y2 k(x1-m) k(x2-m) k(x1 x2)-2km y1y2 k2(x1-m)(x2-m) k2x1x2-k2m(x1 x2) k2m2 10 (x1 x2)2-2x1x2-2a(x1 x2) (y1 y2)2-2y1y2-2y1y2 2a2 -12分 |PA|2 |PB|2的值仅依赖于 k而与 m无关 512-800k2 0 k 13 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的运用，属于中档题。 已知函数 . (1) 试判断函数 在 上单调性并证明你的结论； (2) 若 恒成立 , 求整数 的最大值； (3) 求证： . 答案：（ 1） 上是减函数 （ 2）正整数 k的最大值是 3 （ 3）由 ( )知 利用放缩法得到。 试题分析：解： (1) 上是减函数 4分 (2) 即 h(x)的最小值大于k. 则上单调递增 , 又 存在唯一实根 a, 且满足 当 故正整数 k的最大值是 3 -9分 (3)由 ( )知 令 , 则 ln(1 12) ln(1 23) ln1 n(n 1) (1 12)(1 23)1 n(n 1) e2n-3 14分 考点：导数的运用 点评：主要是考查了导数在研究函数单调性的运用，属于中档题。
