1、2013届甘肃省天水市一中高三第二次学段考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 U=R,集合 ，则集合等于 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由于 ，可知集合 A=x|,根据 |x-1| 3,得到 x-1 3,或 x-1 -3，解得 x 4,或 x -2,故集合B=x| x 4,或 x -2,那么 CUB=x|-20时，方程 函数的图象关于点（ 0， c）对称 当 x0时；函数 ，。其中正确的命题的序号是 _。 答案： .2.3 试题分析： c=0， f（ x） =x|x|+bx， f（ -x） =-x|-x|+b（ -x） =-f（ x），故 正确 b=0， c 0，
2、 f（ x） =x|x|+c= x2+c， x0 -x2+c， x 0 令 f（ x） =0可得 x=- ，故 正确 设函数 y=f（ x）上的任意一点 M（ x， y）关于点（ 0， c）对称的点 N（ x，y），则 x=-x,y=2c-y代入 y=f（ x）可得 2c-y=-x|-x|-bx+c y=x|x|+bx+c故 正确 当 x0时；函数 ，是开口向上的二次函数，那么由于对称轴的正负不定，因此 错误，应该是不确定的。故填写1.2.3 考点：本试题主要考查了函数的奇偶性、对称性（中心对称的证明）及函数图象在解题中的运用，要求考生熟练掌握函数的性质，并能灵活运用性质求解 点评：解决该试题
3、的关键是熟练的运用函数的奇偶性和对称性来分析和解决问题，另外对于绝对值问题，常常去掉绝对值来分析得到结论。 若 ，则 的最小值为 。 答案： 试题分析：因为 x+(1-x)=1,令 1-x=z， x+z=1,当且仅当z=2x,x= 时去的等号，故最小值为 9，答案：为 9. 考点：本试题主要考查了均值不等式的求解最值的运用。 点评：解决该试题的关键是利用分母中 x+(1-x)=1，可以看做和为定值，那么积有最大值的思想来解得。 已知向量 为正常数，向量 ，且则数列 的通项公式为 。 答案： 试题分析：根据题意可知 ，由于，向量，那么可知 ,那么利用累积法的思想可知 ，对于 n 2成立，验证可知
4、对于 n=1也成立，故数列的通项公式为 ，答案：为 。 考点：本试题主要考查了数列的通项公式的求解的运用。 点评：解决该试题的关键是根据向量的共线得到坐标关系式，然后利用递推关系式，采用累积法的思想得到其通项公式。 若实数 满足不等式组 则 的最小值是 答案： 试题分析：由于根据题意 x,y满足的 关系式，作出可行域， 当目标函数 z=2x+3y在边界点（ 2， 0）处取到最小值 z=22+30=4，故答案：为 4. 考点：本试题主要考查了线性规划的最优解的运用。 点评：解决该试题的关键是解决线性规划的小题时，常用 “角点法 ”，其步骤为： 由约束条件画出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐
5、标逐一代入目标函数 验证，求出最优解 . 解答题 本小题满分 10分）设函数 ， （ ）求函数 的最大值和最小正周期 .， （ ）设 A,B,C为 ABC的三个内角，若 ，且 C为锐角，求 答案：（ 1） f(x)的最大值为 ,最小正周期 . （ 2） 试题分析：（ 1）首先利用二倍角公式化为单一函数，求解最值。 （ 2）在第一问的基础上，进一步利用同角关系得到 B的正弦值和余弦值，然后结合内角和定理，运用 求解得到。 解 : （ 1） f(x)=cos(2x+ )+sin x.= 所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期 . （ 2） = =- , 所以 , 因为 C为锐角 , 所以 ,
6、又因为在 ABC 中 , cosB= , 所以 , 所以 考点：本试题主要考查了三角函数的图像与性质的运用。 点评：解决该试题的关键是将函数化为单一函数，结合三角函数的性质得到其最值和周期，统统是结合三角形中同角关系式和两角和差的公式能得到解三角形。 (本小题满分 12分 ) 在 ABC中，内角 A、 B、 C所对边的长分别为 a、 b、 c，已知向量=(1,cosA -1)， =(cosA,1)且满足 . （ ）求 A的大小； （ ）若 a= ， b+c=3 求 b、 c的值 . 答案： (1) A=60o ； (2) 试题分析：（ 1）根据已知中 ，化简得到 cosA的值，进而得到角 A.
7、 （ 2）由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA得 a2=(b+c)2-2bc-2bccosA，进一步得到 c+b的值。 (1) ， cosA= ,A为 ABC内角， A=60o (2)a= ,A=60o,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA得 a2=(b+c)2-2bc-2bccosA b+c=3, 3=9-3bc,bc=2 由 得 考点：本试题主要考查了两个向量两个向量共线的性质，已知三角函数值求角，以及三角形中余弦定理的应用 点评：解决该试题的关键是向量垂直的充要条件的运用，数量积为零，得到角A的值，然后在此 基础上进一步运用余弦定理得到求解。 （本小题满分 12分）设 p
8、:实数 x满足 ,其中 ,命题实数 满足 （ I）若 且 为真，求实数 的取值范围； （ II）若 是 的充分不必要条件 ,求实数 a的取值范围 答案：（ 1） 23 所以实数 a的取值范围 12），BC 2，且 AE AH CF CG，设 AE ，绿地面积为 . （ 1）写出 关于 的函数关系式，并指出这个函数的定义域 ; （ 2）当 AE为何值时， 绿地面积 最大？ （ 10分） 答案：（ 1） y -2x2（ 2） x， (0x2) ； （ 2）当 6时， AE 时，绿地面积取最大值 当 6时， AE 2时，绿地面积取最大值 2 -4。 试题分析：（ 1）先求得四边形 ABCD， AHE
9、的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立 y关于 x的函数关系式； （ 2）由（ 1）知 y是关于 x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解 解：（ 1） SAEH SCFG x2， SBEF SDGH （ -x）（ 2-x） y SABCD-2SAEH-2SBEF 2 -x2-（ -x）（ 2-x） -2x2（ 2） x y -2x2（ 2） x， (0x2) （ 4分） （ 2）当 ，即 6时，则 x 时， y取最大值 当 2，即 6时， y -2x2（ 2） x，在 0， 2上是增函数， 则 x 2时， y取最大值 2 -4 综上所述：当 6时， AE 时，绿地面积取最大值 当
10、6时， AE 2时，绿地面积取最大值 2 -4。 考点：本试题主要考查了实际问题中的建模和解模能力，注意二次函数求最值的方法 点评：解决该试题的关键是运用间接法，分割的思想来得到四边形 EFGH的面积，从而建立关于 x的函数关系式，运用该函数的思想求解最值。 （本小题满分 12分） 设数列 对任意正整数 n都成立， m为大于 1 的非零常数。 （ 1）求证 是等比数列； （ 2设数列 求证： 答案：见。 试题分析：（ 1）根据 (2)，作差法得到其递推关系式，进而分析得到结论。 （ 2） 由（ 1）知 ，得到 ，表示出通项公式，进而求和。 （ 1）证明：由已知： 由 得 又 m为大于 1 的非
11、零常数 故 是等比数 列。 6 分 （ 2）解：当 n=1时， 由（ 1）知 考点：本试题主要考查了等比数列的定义以及裂项求和的运用。 点评：解决该试题的关键是能利用通项公式与前 n项和的关系式，来得到通项公式。同时利用递推关系整体的思想得到 ，同时裂项法得到求和。 （本小题满分 12分） 已知函数 ， （ 1）设函数 ，求函数 的单调区间； （ 2）若在区间 （ ）上存在一点 ，使得 成立，求的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 或 . 试题分析：（ 1）先求出函数 h（ x）的导函数，分情况讨论让其大于 0求出增区间，小于 0求出减区间即可得到函数的单调区间； （ 2）先把 f（ x0
12、） g（ x0）成立转化为 h（ x0） 0，即函数 h(x)=x+ -alnx在 1， e上的最小值小于零；再结合（ ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出 a的取值范围 在 上存在一点 ，使得 ，即 函数 在 上的最小值小于零 . 由（ ）可知 即 ，即 时， 在 上单调递减， 所以 的最小值为 ，由 可得 ， 因为 ，所以 ； 当 ，即 时， 在 上单调递增， 所以 最小值为 ，由 可得 ； 当 ，即时， 可得 最小值为 ， 因为 ，所以， 故 此时， 不成立 . 综上讨论可得所求 的范围是： 或 . 考点：本试题主要考查了利用导函数来研究函数的极值 点评：解决该试题的关键是利用导函数来研究函数的极值时，分三步 求导函数， 求导函数为 0的根， 判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值。
