1、2014届北京市石景山区高三年级第一学期期末文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，那么 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，所以 ，画数轴分析可知，。故 D正确。 考点：集合的运算。 已知函数 ，区间 ， 集合，则使 成立的实数对 有（ ） A 个 B 个 C 个 D无数个 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，所以 是奇函数。当时， ，当 时， ，所以在 上单调递减。因为 ，即定义域和值域相同，所以，解得 。与已知 相矛盾，所以使 成立的实数对 不存在。故 A正确。 考点： 1集合相等， 2函数奇偶性与单调性 设数列 是等比数列，则 “ ”是 “数列 为递增数列
2、 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：当 ，即 时，若 ，则 ；若 ，则 。所以数列 为递增数列。当数列 为递增数列时则必有。综上可得 “ ”是 “数列 为递增数列的充分必要条件。故 C正确。 考点： 1等比数列； 2充分必要条件。 已知直线 与圆 相交于 两点，那么弦 的长等于 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：圆 的圆心为原点，半径 ，圆心到直线的距离为 ，由数形结合分析可知 ，即，解得 。故 B正确。 考点： 1点到直线的距离； 2勾股定理； 3数形结合。 执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为
3、，则输出的 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据框图的循环结构，依次 ； ；跳出循环速输出 。 考点：算法、程序框图。 已知数列 为等差数列， ，那么数列 的通项公式为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设公差为 ，所以 ，解方程组可得，所以通项公式为 ，故 A正确。 考点：等差数列的通项公式。 已知向量 ， .若 ，则实数 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，所以 。 考点：平面向量数量积公式。 复数 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，故 C正确。 考点：复数的计算。 填空题 已知三角形 ， ， ，那么三角形 面积的最大值为
4、答案： 试题分析：令 ，则 ，所以， 所以 ， 当 时， 取得最大值为 。 考点：余弦定理、三角形面积及函数最值问题。 已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过抛物线上一点 作于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 _ 答案： 试题分析：由抛物线方程 可知焦点 ，准线为 。直线 的斜率为 ，所以直线 方程为 ，与准线方程联立可得点 ，故可设 ，将其代入抛物线方程 ，解得，所以 。由抛物线的定义可知 。故 。 考点： 1抛物线的焦点、准线方程及抛物线的定义， 2直线方程， 3点到线的距离公式。 某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的侧面积为 答案： 试题分析：由三视图可知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为
5、4，高为 2，则侧面三角形底边上的高为 ，所以四棱锥的侧面积为。 考点：三视图与空间几何体的关系。 二元一次不等式组 所表示的平面区域的面积为 ， 的最大值为 答案： ， 试题分析： 作出可行域如图中阴影部分，解方程组可得直线交点分别为 , ,， 由图可知 为直角三角形，所以 。将化为 ，作出直线 并平移，使之经过可行域，易知经过点 时，纵截距最小大，此时 。 考点：线性规划的相关知识，考查考生的基础运算能力和数形结合思想的应用。 函数 的最小值为 答案： 试题分析：因为 ，所以。 考点：基本不等式。 已知 ，且 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 。 考点： 1同角三角函数基本关系式； 2
6、三角函数的符号问题。 解答题 已知函数 （ ）求函数 的最小正周期； （ ）求函数 在 上的最小值，并写出 取最小值时相应的 值 答案：（ ） ；（ ） 时，函数 取得最小值 试题分析：（ ）先用正弦二倍角公式将角统一，再用化一公式，将 整理成 的形式，根据正弦周期公式 求其周期。（ ）由（ ）知 ，根据 的范围，求整体角 的范围，再根据正弦函数图像求 的范围，即可求得 在 上的最小值及相应 的值。 试题：解：（ ） 2分 ， 4分 所以函数 的最小正周期 6分 （ ）因为 ， ， 8分 ， 10分 ， 11分 所以当 ，即 时，函数 取得最小值 13分 考点： 1二倍角公式、化一公式， 2正
7、弦函数最值及图像。 北京市各级各类中小学每年都要进行 “学生体质健康测试 ”，测试总成绩满分为 分，规定测试成绩在 之间为体质优秀；在 之间为体质良好；在 之间为体质合格；在 之间为体质不合格 现从某校高三年级的 名学生中随机 抽取 名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下： （ ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数； （ ）根据以上 名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取 名学生，再从这 名学生中选出 人 （ ）求在选出的 名学生中至少有 名体质为优秀的概率； （ ）求选出的 名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率 答案：（ ） 100；（
8、 ）（ ） ，（ ） 试题分析：（ ）由茎叶图可知抽取的 30名学生中体质优秀的有 10人，所以优秀率为 ，用总数乘以优秀率即可得优秀的总人数。（ ）由茎叶图可知抽取的 30名学生中体质优秀的有 10人，体质为良好的 15人。所以样本中体质为优秀和良好的学生的比为 。分层抽样的特点是在各层按比例抽取，所以抽取的 5人中有 3人体质为良好有 2人体质为优秀。（ ）和（ ）中的概率均属古典概型，用例举法分别求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数即可。 试题：解：（ ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人 3分 （ ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 所以，从体质为良好的学
9、生中抽取的人数为 ， 从体质为优秀的学生中抽取的人数为 6分 （ ）设在抽取的 名学生中体质为良好的学生为 ， ， ，体质为优秀的学生为 ， 则从 名学生中任选 人的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ，个，其中 “至少有 名学生体质为优秀 ”的事件有 ， ， ， ， ， ， ， 个 所以在选出的 名学生中至少有 名学生体质为优秀的概率为 10分 （ ） “选出的 名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数 ”的事件有， ， 个 所以选出的 名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率为 13分 考点： 1分层抽样； 2古典概型 . 如图，已知 平面 ，四边形 是矩形， ，点
10、， 分别是 ， 的中点 （ ）求三棱锥 的体积； （ ）求证： 平面 ； （ ）若点 为线段 中点，求证： 平面 答案：（ ） ；（ ）详见；（ ）详见 试题分析：（ ）因为 平面 ，所以 为三棱锥 的高。因为 是矩形，所以可求底面 的面积，根据锥体体积公式 可求此三棱锥的体积。（ ）根据 平面 ，四边形 是矩形，可证得平面 ，从而可得 ，再根据等腰三角形中线即为高线可得，根据线面垂直的判定定理可得 平面 。（ ）连结 交于 ，可证得 为 中点，由中位线可证得 ，再由线面平行的判定定理可证得 平面 。 试题：（ ）解：因为 平面 ， 所以 为三棱锥 的高 2分 ， 所以 4分 （ ）证明：因为
11、 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ， 所以 平面 因为 平面 ， 所以 6分 因为 ，点 是 的中点，所以 ，又因为 ， 所以 平面 8分 （ ）证明：连结 交 于 ，连结 ， 因为四边形 是矩形，所以 ，且 ， 又 ， 分别为 ， 的中点， 所以四边形 是平行四边形， 所以 为 的中点，又因为 是 的中点， 所以 ， &nb 已知函数 （ 为自然对数的底数） . （ ）求曲线 在点 处的切线方程； （ ）求函数 的单调区间； （ ）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； （ ） 试题分析：（ ）将 代入原函数求 ，即得切点
12、坐标，先将原函数求导再将 代入导函数求 ，根据导数的几何意义可知 即为切线在点 处切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求得切线方程。（ ）先求导数，及其零点，判断导数符号，即可得原函数增减区间。（ ）时可将 变形为 ，若存在 使不等式成立，则只需 大于 在 上的最小值即可。即将不等式问题转化为求函数最值问题 试题：解：（ ） . 1分 得 ， 2分 所以曲线 在点 处的切线方程为 . 3分 （ ） . 令 ，即 ，解得 . 5分 时， ， 时， ， 此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 7分 （ ）由题意知 使 成立，即 使 成立；8分 所以 9分 令 ， ， 所以 在 上单调递减，在
13、 上单调递增， 则 ， 12分 所以 . 13分 考点： 1导数、导数的几何意义； 2利用导数研究函数性质 . 已知椭圆 ： （ ）过点 ，且椭圆 的离心率为 . （ ）求椭圆 的方程； （ ）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 两点，且 为线段 中点，再过 作直线 .证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标 . 答案：（ ） （ ）直线 恒过定点 试题分析： ( )点 在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为 ，且，解方程组可得 。（ ）点 在直线 上，则可得 。当直线 的斜率存在时设斜率为 ，得到直线 方程，联立方程消掉 得关于 的一元二次方程。再根据韦达定理可得根与系数的关系。因为 为
14、中点，根据点 的横坐标解得 。因为 故可得直线 的斜率，及其含参数的方程。分析可得直线 是否恒过定点。注意还要再讨论当直线 的斜率不存在的情况。 试题：解：（ ）因为点 在椭圆 上，所以 ， 所以 ， 1分 因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，即 ， 2分 解得 ， 4分 所以椭圆 的方程为 . 5分 （ ）设 ， ， 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， 由 得 ， 7分 所以 ， 8分 因为 为 中点，所以 ，即 . 所以 ， 9分 因为直线 ，所以 ， 所以直线 的方程为 ，即 ， 显然直线 恒过定点 . 11分 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ， 此时直线 为 轴，也过点
15、 . 13分 综上所述直线 恒过定点 . 14 已知集合 ，对于数列 中 . （ ）若三项数列 满足 ，则这样的数列 有多少个？ （ ）若各项非零数列 和新数列 满足首项 ，（ ），且末项 ，记数列 的前 项和为 ，求 的最大值 答案：（ ） 7；（ ） 试题分析：（ ）分析可知 1和 必须成对出现，故只有两种可能。当三项均为 0时，排列数为 1，这样的数列只有 个。当三项中有 1个 0时，那另两个必为 1和 ，三个数全排列的排列数 ，则这样的数列有 个。（ ）根据 且 由累加法可得。因为 ，所以 为正奇数，且中有 个 和 个 。因为且 ，要使 最大则 前 项取 ，后 项取 。 试题：解：（ ）满足 有两种情形： ，这样的数列只有 个； ，这样的数列有 个， 所以符合题意的数列 有 个 3分 （ ）因为数列 满足 ， 所以 ， 5分 因为首项 ，所以 根据题意有末项 ，所以 ， 6分 而 ，于是 为正奇数，且 中有 个 和 个 8分 要求 的最大值，则要求 的前 项取 ，后 项取 11分 所以 所以 （ 为正奇数） 13分 考点： 1累加法求数列通项公式； 2等差数列的通项公式。
