1、2014届山东省青岛市高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 , ,则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：解 ： ，得 ，则 ，故选 B. 考点： 1.不等式的求解； 2.补集的运算 . 已知函数 的导函数图象如图所示，若 为锐角三角形，则一定成立的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由图中 的导函数知， 在 上单增，在 上单减，而 为锐角三角形，则 ，则 ，故选 A. 考点： 1.利用导函数研究函数的单调性； 2.锐角三角形的性质 . 设 、 都是非零向量 ,下列四个条件中 ,一定能使 成立的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由
2、 得 ，而 表示与 同向的单位向量，表示与 反向的单位向量，则 与 反向 .故当 ， 与 反向，从而推出题中条件，易知 都不正确 .故选 . 考点： 1.向量的平行； 2.单位向量的意义 . 已知等差数列 的公差 ，若 （ ），则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由等差数列前 项公式，由等差数列性质得，所以 ，故选 C. 考点： 1.等差数列前 项和； 2.等差数列性质 . 函数 的最大值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据均值不等式： ， ，则，故选 B. 考点： 1.均值不等式 . 已知 ,则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：化简，故选 C. 考
3、点： 1.三角函数的恒等变形； 2.诱导公式 . 已知 满足 ，则目标函数 的最小值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：题中约束条件的可行域如下图，从图可知，当目标函数经过 时，取最小值 ，故选 C. 考点： 1.线性规划 . 定义运算 ，若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由定义知 ，易知在 上单减， 单增，由题意 ，故选 D. 考点： 1.对定义的理解； 2.函数的单调性 . 已知 且 ，函数 在同一坐标系中的图象可能是（ ） 答案： C 试题分析：对于给几组式选图的题，需要对每个选项进行分析，排除矛盾项 .对于 ，由指数函
4、数知 ，而此时一次函数不符合；对于 ,由指数函数 ，而此时对数函数 不符合；对于 ，都符号；对于 ,由指数函数 ，而一次函数 不符合 .故选 C. 考点： 1.指数、对数、一次函数的图像特征 . 在正项等比数列 中， ，则 的值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：若 为等比数列，且 ，则 .所以 ，所以 ，而.故选 A. 考点： 1.等比数列的性质 . 向量 ， ，且 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意 ，则 ，化简得 ，而，故选 B. 考点： 1.同名三角函数的关系 . 已知命题 、 ，则 “ 为真 ”是 “ 为真 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充
5、分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：若 为真，则 均为真，从而 也为真；而当 为真，只要 中有一个为真即可，此时 不能确定为真 .所以 “ 为真 ”是 “为真 ”充分不必要条件 .故选 A. 考点： 1.充分条件和充要条件； 2.四种命题的关系 . 填空题 若对任意 ， ，（ 、 ）有唯一确定的 与之对应，称 为关于 、 的二元函数 .现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义 “距离 ”: （ 1）非负性 : ，当且仅当 时取等号； （ 2）对称性 : ； （ 3）三角形不等式 : 对任意的实数 z均成立 . 今给出四个二元函数 : ； ； . 能够成
6、为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数的所有序号是 . 答案： 试题分析：由 ：非负性 ，对称性，三角形不等式，故 满足；由 满足非负性和对称性，但 不符合；由 满足非负性，故不符合；由 不满足非负性，故不符合 .故选 . 考点： 1.对新概念的理解； 2.绝对值不等式性质 . 已知函数 是 上的奇函数 ,且 的图象关于直线 对称 ,当时 , ，则 . 答案： 试题分析：由函数 是 上的奇函数 ,且 的图象关于直线 对称，则知 的周期为 4，且 ，所以. 考点： 1.函数的周期性与对称性； 2.函数求值 . 若直线 与幂函数 的图象相切于点 ，则直线 的方程为 . 答案： 试题分析：幂函数 的
7、图象相切于点 ，则 ，解得，所以 ，则 ，故直线 的方程为 ，化简得 . 考点： 1.直线的切线方程 . 已知函数 ,则 . 答案： 试题分析：由题意 ，则 . 考点： 1.分段函数求值 . 解答题 已知函数 （ ）的最小正周期为 （ ）求函数 的单调增区间； （ ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数的图象求 在区间 上零点的个数 答案：（ ） ；（ ） 20. 试题分析：（ ）根据二倍角公式将原式化简成 ，而周期，则 ， 从而得出 的式 ，将 当成一个整体，则有 ，解得 ，故所以函数的单调增区间是 . （ ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1个单位，得到
8、 的图象，即 ，令 ，得： 或， 易知每个周期上恰好有两个零点， 恰为 个周期，故 在 上有 个零点 . 试题：（ ）由题意得 由周期为 ，得 . 得 由正弦函数的单调增区间得 ，得 所以函数 的单调增区间是 （ ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1个单位， 得到 的图象，所以 令 ，得： 或 所以函数在每个周期上恰有两个零点 , 恰为 个周期，故 在 上有 个零点 . 考点： 1.三角函数的化简与性质应用； 2.三角函数的图像变换； 3.函数的零点 . 已知等比数列 为递增数列，且 ， . （ ）求 ； （ ）令 ，不等式 的解集为 ，求所有 的和 . 答案：（ ） ；（ ） .
9、 试题分析：（ ）要求 的通项公式，需要求出 ，设 的首项为 ，公比为 ，根据 ， ，得 ，解得 （舍）或 ，所以 .（ ）将代入 得， ，因为出现 ，需要分奇偶项讨论 . 当 为偶数， ，即 ，不成立，当 为奇数，即 ，而 ，所以，则 组成首项为 ，公比为 的等比数列，则所有 的和 . 试题：（ ）设 的首项为 ，公比为 ， 所以 ，解得 又因为 ，所以 则 ， ，解得 （舍）或 所以 （ ）则 , 当 为偶数， ，即 ，不成立 当 为奇数， ，即 ， 因为 ，所以 组成首项为 ，公比为 的等比数列 则所有 的和 . 考点： 1.等差、等比数列的性质； 2.数列与不等式的简单应用 . 在 中
10、，角 对边分别是 ，且满足 （ ）求角 的大小； （ ）若 ， 的面积为 ；求 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）利用余弦定理 得 ，则 .（ ）利用三角形面积公式 ，得出 ，而余弦定理，得出 ，由上两式得出 . 试题： ( ）由余弦定理得 ,代入 得， ， ， （ ） ,解得： . 考点： 1.向量数量积； 2.余弦定理与三角形面积公式 . 已知函数 . （ ）若函数 的值域为 .求关于 的不等式 的解集； （ ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的最小值 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由函数 的值域为 ，则该二次函数与 轴有一个交点，即 ，所以 ，所以 ，则，则
11、，化简得 ，解得 ，所以不等式的解集为 .（ ）当 时， ，所以，而 ， ，所以 ，接着利用导数求 的最小值，令 ，则 ，当时， ， 单调增，当 时， ， 单调减，最小值需要比较 的大小，而， 的最小值为 . 试题：（ ）由值域为 ，当 时有 ，即 ， 所以 ，则 则 ，化简得 ，解得 所以不等式的解集为 . （ ）当 时， ，所以 因为 ， ，所以 令 ，则 当 时， ， 单调增，当 时， ， 单调减， 因为 ，所以 所以 的最小值为 . 考点： 1.函数与不等式的综合应用； 2.利用导数求解函数的最值 . 某连锁分店销售某种商品 ,每件商品的成本为 元 ,并且每件商品需向总店交元的管理费
12、,预计当每件商品的售价为 元时 ,一年的销售量为 万件 （ ）求该连锁分店一年的利润 （万元）与每件商品的售价 的函数关系式; （ ）当每件商品的售价为多少元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,并求出 的最大值 答案：（ ） ；（ ）. 试题分析：（ ）由题得该连锁分店一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为 . （ ）要求 的最大值，需要 利用导数求解， 令 ，得 或 ，此函数中有参数 ，则需要对 进行讨论，. 当 ，即 时， 时， 在 上单调递减，故 ； 当，即 时， 时， ； 时，在 上单调递增；在 上单调递减，故，最后需要答 . 试题：（ ）由题得该连锁分店一年的利润 （万元）与售价
13、 的函数关系式为 . （ ） 令 ，得 或 . 当 ，即 时， 时， ， 在 上单调递减， 故 当 ，即 时， 时， ； 时， 在 上单调递增；在 上单调递减， 故 答 :当 每件商品的售价为 7元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,最大值为万元； 当 每件商品的售价为 元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,最大值为 万元 . 考点： 1.根据题意列函数表达式； 2.利用导数求函数最值 . 已知函数 ，如果函数 恰有两个不同的极值点 ， ，且 . （ ）证明： ； （ ）求 的最小值，并指出此时 的值 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）因为 函数 恰有两个不同的极值点 ， ，即
14、有两个零点 ， ，则 方程 有两个不同的零点 ， ，构造函数 ，求导， 当 时， ， 是减函数；当 时， ， 是增函数，所以 在 时取得最小值 （ ）由（ ）知 ，即 ，所以 ， 于是 ，所以 ，所以 所以 当 时， ， 是减函数；当时， ， 是增函数，所以 在 上的最小值为 ，此时 . 试题：（ ） 函数 恰有两个不同的极值点 ， ，即 有两个零点 ， 方程 有两个不同的零点 ， 令 ， 当 时， ， 是减函数； 当 时， ， 是增函数， 在 时取得最小值 （ ） ，即 ， 于是 ， ， 当 时， ， 是减函数； 当 时， ， 是增函数 在 上的最小值为 ，此时 . 考点： 1.函数中证明问题； 3.函数与不等式的综合应用 .
