1、2015学年安徽省淮北一中高一上学期第一次月考数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ，集合 ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，故选择 A. 考点：集合的运算 . 已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意实数 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当 时， ，由此可知 在 为增函数，又 是定义在 上的偶函数，所以 在 为减函数，且它的图象关于 轴对称 . 若对任意实数 ，都有 恒成立，即恒成立，即对任意实数 ， 恒成立，两边平方得： ，问题转化为：对任意实数 ，都有恒成立，此时只需满足 ，解得或 ，故选择 A
2、. 考点：函数性质的综合应用 . 已知函数 是 上的增函数，则实数的范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 在 上为增函数，首先分段函数的每段都要是增函数，则需满足 ，即 ，其次，还需满足在 时，即 ，综上实数 的范围是 ，故选择 A. 考点：分段函数的单调性 . 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，那么不等式 的解集是（ ） A B 或 C D 或 答案： B 试题分析：由函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时，有 ，则 ，又函数 为定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，因此不等式等价于： 或 或 ，解得或 或 ，故不等式 的解集应选择 B. 考点：函数的奇偶性及
3、函数的式 . 已知映射 ，其中 ，对应法则 ，对应实数，在集合 中不存在原像，则 取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：首先由 ，可知当 时，此函数的值域为，所以对应实数 ，在集合 中不存在原像，则 ，从而有，故选择 D. 考点：映射的定义及二次函数的值域 . 已知 ，则 的定义域为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 有意义，则必须满足 ，即 ，从而 ，所以函数 的定义域为 ，那么 的应满足，由此 ，故 的定义域选择 D. 考点：复合函数的定义域 . 设 ， 都是定义在 上奇函数，且 ，若，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 ，得 ，从而
4、，故选择 A. 考点：函数的奇偶性 . 设函数 是奇函数，在 内是增函数，有 ，则 的解集是（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 答案： D 试题分析：函数 是奇函数，在 内是增函数，又 ，可知：在内也是增函数，且 ，对于不等式 ，当 时，必有，此时 ；当 时，必有 ，此时 ，综合得不等式 的解集为 或 ，故选择 D. 考点：函数性质的综合应用 . 下列命题： 幂函数的图象都经过点 和点 ； 幂函数的图象不可能是一条直线； 时，函数 的图象是一条直线； 幂函数 ，当 时是增函数； 幂函数 ，当 时，在第一象限内函数值随 值的增大而减小 幂函数的图象不可能在第四象限；其中正确的是（ ） A B
5、 C D 答案： B 试题分析：幂函数 ，只有当 时，则其图象才都经过点 和点 ，故 错误；幂函数 ，当 时，则其图象就是一条直线，故 错误；幂函数 ，当 时，则其图象是 这条直线上去除 点后的剩余部分，故 错误；根据幂函数的性质可知：只有 是正确的 . 考点：幂函数的图象和性质 . 设全集 是实数集 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：首先化简集合 或 ， ，图中阴影部分所表示的集合是 ，选择 C. 考点：集合的图形表示及运算 . 填空题 设 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 ，都有 、 ，、 （除数 ），则称 是一个数域 .例如有理数集
6、 是数域；数集也是数域 .有下列命题： 数域必含有 ， 两个数； 整数集是数域； 若有理数集 ，则数集 必为数域； 数域必为无限集； 存在无穷多个数域 .其中正确的命题的序号是 _.（把你认为正确的命题的序号填填上） 答案： 试题分析：因为 ， ，故 正确；任意两个整数相除，商不一定都是整数，故 错误；若 ，则 就不是数域，故 错误；因为 必为任意一 个数域的子集，故数域必为无限集，故 正确；例如在数域中，可将 换成其它的任意一个无理数，得到的集合都是数域，所以存在无穷多个数域，故 正确 .综上正确的有 . 考点：对及时定义的概念的理解和运用 . 已知 与函数 的图象有两个交点，则实数 的取值
7、范围是 _. 答案： 或 试题分析： 与函数 的图象有两个交点，转化为方程有两个相异实根，即 有两个相异实根，进而转化为与函数 的图象有两个交点，作 的图象（如图），则或 ，即 或 . 考点：函数与方程及数形结合思想 . 集合 ， ，若 ，则实数 的集合是 _. 答案： 试题分析：化简 ，因为 ，所以 或 或 ，从而 或 或 ，实数 的集合是 ，不要忘了空集 . 考点：集合之间的关系 . 设函数 ，则 _. 答案： 试题分析：依分段函数的定义，得，即. 考点：分段函数求函数值 . 已知幂函数 的图象过 ，则 _. 答案： 试题分析：设幂函数 ，因为图象过 ，则 ，所以，从而 ，因此 . 考点：
8、幂函数的图象与性质 . 解答题 （本题满分 12分 )已知集合 ， ，若，求实数 的取值范围 . 答案： 或 . 试题分析：因为 ，则实数 的取值必须满足两个集合没有公共元素，这就会得到关于实数 的不等式从而求出实数 的取值范围，但不要忘了的情形，以及端点是否可带等号，否则就会出错 . 试题： （ 1）当 时，有 ； （ 2）当 时，有 ； 又 ，则有 或 或 ， 或综上所述：实数 的取值范围是 或 . 考点：集合的运算 . （本题满分 12分，每小题 6分 ) （ 1）已知 是一次函数，且满足： ，求 的式； （ 2）已知 满足： ，求 的式 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：函
9、数式的求法主要有三种：一、待定系数法：若已知函数类型，则可先设函数式，然后根据已知条件确定其系数；二、换元法：对于复合函数，求其外函数时，可考虑用换元法；三、函数方程法：即将所求函数作为未知数，建立关于函数作为未知数的方程组，通过解方程组，得到函数的式，通常变量以相反数或倒数形式出现，或函数具有奇偶性时，可以考虑用此方法 .此处问题（ 1）可用待定系数法；问题（ 2）可用换元法和解方程组法 . 试题：（ 1）设一次函数 （ ），则，因此有且 ，即有 ，所以 ； （ 2）设 ，则 ，代入 ，则，再用 去替换上式中的 ，又有 ，接下来解方程组 ，得 ，所以 . 考点：函数式的求法 . （本题满分
10、12分 )若函数 对任意的 ，恒有.当 时，恒有 . （ 1）判断函数 的奇偶性，并证明你的结论； （ 2）判断函数 的单调性，并证明你的结论； （ 3）若 ，解不等式 . 答案：（ 1） 为奇函数，证明详见；（ 2） 为 上的减函数，证明详见；（ 3）解集为： . 试题分析：（ 1）抽象函数奇偶性的判断更要紧扣定义，用好 所取的特殊值，及它们之间的特殊关系，如 取一些特殊值 ， ， 等，问题往往就有所突破；（ 2）抽象函数单调性的判断也要紧扣定义，用好已知条件中的不等关系；（ 3）解抽象不等式主要是运用抽象函数本身的单调性，这里是运用（ 2）得出的结论来解题 . 试题：（ 1）令 ，可知 ，
11、解得 又 ，移项， ，所以 为奇函数； （ 2）设 ，且 ，则 ，由已知条件知 ，从而，即 ，对照定义知：为 上的减函数； （ 3）由已知条件知 ，又 ，所以原不等式 可化为 ，又因为 为 上的减函数，所以 ，解得 ，即原不等式的解集为： . 考点：抽象函数性质的研究及运用 . （本题满分 13分 )二次函数 的图像顶点为 ，且图象在 轴上截得线段长为 . （ 1）求函数 的式； （ 2）令 若函数 在 上是单调增函数，求实数 的取值范围； 求函数 在 的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ， . 试题分析：（ 1）求二次函数的式可用待定系数法，关键是要建立关于系数的三个方程，这里依据条件
12、不难得到，若运用二次函数的顶点式，则显得更方便；（ 2）二次函数的单调性以对称轴为界，一边增，一边减，因此单调区间必须在对称轴的一侧；（ 3）二次函数在给定区间上的最值的研究，一定要掌握好分类讨论思想的运用，即按对称轴与给定区间的相对关系，分轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论 . 试题：（ 1）由条件设二次函数 （ ）， 设设 的两根为 ，且 ，因为图象在 轴上截得线段长为 ，由韦达定理得： ，解得 ，所以函数的式为：； （ 2） ， ，而函数 在 上是单调增函数， 对称轴 在 的左侧， 所以实数 的取值范围是 . ， ，对称轴 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， . 综上所述： .
13、考点：二次函数的综合运用 . （本题满分 13分 )设二次函数 在区间 上的最大值，最小值分别为 .集合 （ 1）若 ，且 ，求 和 的值； （ 2）若 ，且 ，记 ，求 的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）求 和 的值，首先必须求出二次函数 的式，即求出系数 的值，然后再求在给定区间上的最值；（ 2）首先求出含字母 的二次函数的式，然后对照动对称轴与所给区间的关系，求出在给定区间上的最值，接下来得到 的表达式，由单调性得 的最小值 . 试题：（ 1）由 ，可知 .又 ，故 是方程的两个实根， ，解得 ， ， 当 时， ，即 ；当 时， ，即(2)由题意知，方程 有
14、两相等实根 ，即 ， 其对称轴方程为 ，又 ，故， . ，又 在区间 上为单调增函数， 当 时， . 考点：二次函数的综合运用 . （本题满分 13分 )已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若， 时，有 成立 . （ 1）判断 在 上的单调性，并证明你的结论； （ 2）解不等式 ； （ 3）若 对所有的 ， 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） 在 上为增函数，证明详见；（ 2）解集为：；（ 3） 或 或 . 试题分析：（ 1）抽象函数的单调性应紧扣定义，从条件出发，若能了解一些函数单调性的等价定义：如 且 ， 为区间 上的增（减）函数（ ），则判断更快捷些；（ 2）利用（ 1）的单调
15、性结论解题，但不要忘记定义域；（ 3）恒成立求参数范围，常用的方法有：一、分离参数；二、数形结合；三、变更主元；四、等价转化 .这里可先运用参数分离，然后用变更主元法，求实数 的取值范围 . 试题：（ 1）任取 ，则， ，由已知 ，又 ，即 ，所以 在 上为增函数； （ 2） 在 上为增函数，故有 ，由此解得 ，所以原不等式的解集为： . （ 3）由（ 1）可知： 在 上为增函数，且 ，故对于 ，恒有 . 所以要使 ，对所有 ， 恒成立，即要成立， 故 成立 .设 ，即对 ， 恒成立，则只需，解得 或 或 ，所以实数 的取值范围为：或 或 . 考点：函数的综合应用及恒成立含参数问题的研究 .
