1、考研数学二（二次型）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P1-1AP1，P 2-1BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P-1(AB)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A -1 是正定矩阵3 下列说法正确的是( ) （
2、A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA-1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 APB，则( )（A
3、）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX0 与 BX0 同解（D）r(A)r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)r(B)（B） AB （C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 设 ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A B中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题10 二次型 f(1， 2，
4、 3)( 12 2)24 23 的矩阵为_11 设 ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_12 设二次型 212 22 322 12a 23 的秩为 2，则 a_13 设 512 22t 324 122 132 23 为正定二次型，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 用配方法化二次型 f(1， 2， 3) 12 23 为标准二次型15 用配方法化二次型 f(1， 2， 3) 122 122 134 32 为标准形16 设二次型 f(1， 2， 3)X TAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又ABBO，其中 B (1)求正交变换 XQ
5、Y 将二次型化为标准形； (2)求矩阵 A17 用正交变换法化二次型 f(1， 2， 3) 12 22 324 124 134 23 为标准二次型18 设二次型 f(1， 2， 3)(a 1) 12(a1) 222 322 12(a0)的秩为 2 (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形19 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型XTAX 的标准形； (2)EAA 2A n的值20 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f( 1， 2， n) (1)记X( 1， 2， ， n)T，把二次型 f(1， 2， n)写成矩阵形式； (2) 二次型
6、 g(X)X TAX 是否与 f(1， 2， ， n)合同?21 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A22AO，r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，AkE 为正定矩阵?22 设二次型 f(1， 2， 3) 124 222 322t 122 13 为正定二次型，求 t 的范围23 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：EA124 用配方法化下列二次型为标准形： f( 1， 2， 3) 122 225 322 122 132 2325 用配方法化下列二次型为标准形： f( 1， 2， 3)2 122 136 2326 二次型 f(1， 2， 3) 12a 22 324 128
7、 134 23 经过正交变换化为标准形 5y12by 224y 32，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q27 设 C 为正定矩阵，令 P ， (1)求 PTCP； (2)证明：DBA -1BT 为正定矩阵28 设二次型 f(1， 2， 3)X TAX，tr(A)1，又 B 且 ABO (1)求正交矩阵 Q，使得在正交变换 XQY 下二次型化为标准形； (2)求矩阵 A考研数学二（二次型）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，
8、使得 PAQB，选 D【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，选项 A 不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，选项 B 不对；选项 C 既不是充分条件又不是必要条件；显然选项 D 既是充分条件又是必要条件【知识模块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不对，如 f 12，令 则 fy 12y 22； 若令则 fy 129y 22； 选项 B 不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相
9、同； 选项C 不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n； 选 D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 二次型4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A-1 合同，所以 XTAX 与 XTA-1X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B【知识模块】 二次型5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAPA，从而 A(P T)-1AP-1(P -1)TAP-1，A T(P -1)TAP-1T (P-1)TAP-1A ，选
10、 B【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 逆，所以 r(A)r(B)，选 D【知识模块】 二次型7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选D【知识模块】 二次型8 【正确答案】 C【试题解析】 由E A0 得 A 的特征值为 1，3，5，由E B0得 B 的特征值为 1，1，1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 C【知识模块】 二次型9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为2，1，1，所以 AB2，又因为 r(A)r(B)3
11、，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 B【知识模块】 二次型二、填空题10 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(1， 2， 3) 124 224 124 23， 所以 A【知识模块】 二次型11 【正确答案】 【试题解析】 令3 3， 正交规范化的向量组为【知识模块】 二次型12 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A ，因为该二次型的秩为 2，所以A0，解得 a 【知识模块】 二次型13 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A ，因为二次型为正定二次型，所以有 50， 10，A0，解得 t2【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
12、或演算步骤。14 【正确答案】 令 ，即 XPY， 其中则 f(1， 2， 3)X TAX YT(PTAP)Y y12y 22y 32【知识模块】 二次型15 【正确答案】 f( 1， 2， 3) 122 122 134 32( 1 2 3)2( 2 3)24 32， 即 XPY，其中 P， 则 f(1， 2， 3)X TAX y12y 224y 32【知识模块】 二次型16 【正确答案】 (1)由 ABBO 得(EA)BO，从而 r(EA)r(B)3， 因为r(B)2，所以 r(EA)1，从而 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 1不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 21，
13、35 由(E A)BO 得 B 的列组为(EA)X0 的解， 故 1 ， 2 1 对应的线性无关解 令 3 为 35 对应的特征向量， 因为 AT A，所以解得 3 ， 令规范化得令 Q( 1， 2， 3)，则 fX TAXy 12y 225y 32 (2)由 QTAQ 得【知识模块】 二次型17 【正确答案】 f( 1， 2， 3)X TAX 其中 由EA ( 3)(3) 20 得13， 2 33 由 (3E3A)X0 得 13 对应的线性无关的特征向量为1 ； 由(3E A)X 0 得 2 33 对应的线性无关的特征向量为将 2， 3 正交化得单位化得则 f(1， 2， 3)X TAXYT
14、(QTAQ)Y3y 123y 223y 32【知识模块】 二次型18 【正确答案】 (1)A ，因为二次型的秩为 2，所以 r(A)2，从而 a 2 (2)A ，由E A0 得 1 22， 30 当2 时，由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为当 0 时，由(0EA)X0 得 0 对应的线性无关的特征向量为 3 因为 1， 2 两两正交，单位化得则 fX TAX YT(QTAQ)Y2y 122y 22【知识模块】 二次型19 【正确答案】 (1)因为 A2A，所以AEA 0，即 A 的特征值为 O 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)r 得 A 的
15、特征值为1(r 重)，0(nr 重)，则二次型 XTAX 的标准形为 y12y 22y r2 (2)令BEAA 2A n，则 B 的特征值为 n1(r 重)，1(nr 重)，故 EA A 2A nB(n1) r【知识模块】 二次型20 【正确答案】 (1)f(X) ( 1， 2 n)因为 r(A)n，所以A0，于是 A*A -1，A *，A -1 都是实对称矩阵 (2)因为 A 可逆，所以A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A-1 合同，故二次型 f(1， 2， n)与 g(X)X TAX 规范合同【知识模块】 二次型21 【正确答案】 (1)由 A22AO 得 r(A)r(A2E)3，
16、从而 A 的特征值为 0 或2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)2，所以 10， 2 32 (2)A kE 的特征值为 k，k2，k2，当 k2 时，AkE 为正定矩阵【知识模块】 二次型22 【正确答案】 二次型的矩阵为 A ，因为该二次型为正定二次型， 所以有 解得 t 【知识模块】 二次型23 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 Q TAQ其中 10， 20， n0， 因此 QT(AE)Q于是Q T(AE)QAE ( 11)(21)( n1)1【知识模块】 二次型24 【正确答案】 令 则 f(1， 2， 3)X TAX， f(1， 2， 3) 122 225
17、 322 122 132 23 ( 1 2 3)2( 22 3)210 32， 设，显然 P 可逆， 且 f(1， 2， 3)YT(PTAP)Yy 12y 2210y 32【知识模块】 二次型25 【正确答案】 令 或 XP 1Y， 其中且 P1 可逆， 则 f(1， 2， 3)2y122y 228y 1y34y 2y3 2(y 12y 3)22(y 2y 3)26y 32， 再令或 YP 2Z， 其中且 P1 可逆， 令 P P1P2，P 可逆，且 f( 1， 2， 3)X TAXZ T(PTAP)Z2z 122z 226z 32【知识模块】 二次型26 【正确答案】 (1)令 则 f(1，
18、 2， 3)X TAX， 矩阵 A 的特征值为 15， 2b， 34，从而 A ，特征值为1 25， 34 (2)将 1 25 代入(EA)X0，即(5E A)X0， 由5EA 得 1 25 对应的线性无关的特征向量为将 34 代入(2E A)X 0，即(4E A)X0， 由 4EA 得 34 对应的线性无关的特征向量为 3 令单位化得 所求的正交变换矩阵为【知识模块】 二次型27 【正确答案】 (1)因为 C 为正定矩阵，所以 ATA ，D TD ，(2)因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以为正定矩阵，故 A 与 DBA -1BT 都是正定矩阵【知识模块】 二次型28 【正确答案】 (1)由 ABO 得 即为 0 的两个线性无关的特征向量，从而 0 为至少二重特征值，又由 tr(A)1 得 31， 即 1 20， 31 令 31 对应的特征向量为 3 因为 ATA，所以 解得 31 对应的线性无关的特征向量为 3 ， 令 所求的正交矩阵为 且 XTAX y32 (2)由 QTAQ得【知识模块】 二次型
