1、考研数学二（二次型）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22-4x32-4x1x2-2x2x3 的标准形为（A）2y 12-y22-3y32（B） -2y12-y22-3y32（C） -2y12+y22（D）2y 12+y22+3y32二、填空题2 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x2x3+2x1x3 经正交变换化成了标准形 f=y12+2y22，其中 P 为正交矩阵，则=_，=_3 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x
2、32+2x1x2-2x1x3+4x2x3 为正定二次型，则 的取值范围是_4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，写出 f 的矩阵 A，求出 A的特征值，并指出曲面 f(x1，x 2，x 3)=1 的名称6 设矩阵 A= 相似于对角矩阵 (1)求 a 的值；(2) 求一个正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 化为标准形，其中 x=(x1，x 2，x 3)T7 设 A
3、、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= 是否为正定矩阵?8 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12-2x22+bx32-4x1x2+4x1x3+2ax2x3(a0)经正交变换化成了标准形 f=2y12+2y22-7y32求 a、b 的值和正交矩阵 P9 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B=E+ATA，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵10 设有 n 元实二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中 a(i=1，2，n)为实数试问：当 a1，a 2，a
4、n 满足何种条件时，二次型 f 为正定二次型11 设 c1，c 2，c n 均为非零实常数，A=(a ij)nn 为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，n) ，矩阵 B=(bij)nn，证明矩阵 B 为正定矩阵12 设矩阵 Ann 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B213 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n 分别为对应于1 和 n 的特征向量，记 f(X)= ，XR n，X0 证明： 1f(X)n，minf(X)=1=f(X1)，maxf(X)= n=f(Xn)14 求二元函数 f(x，y)= (x2+y20)的最大值，并求最大值
5、点15 求三元函数 f(x1，x 2，x 3)=3x12+2x22+3x32+2x1x3 在 x12+x22+x32=1 条件下的最大及最小值，并求出最大值点及最小值点16 设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a 、b为常数，证明：矩阵 A+B 的特征值全大于 a+b17 设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1，x 2，x n)T，证明：二次型 f(x1，x 2，x n)=为正定二次型18 设实对称矩阵 A 满足 A2-3A+2E=O，证明：A 为正定矩阵19 设 A 是 n 阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 xRn，有x TAxcx
6、Tx (2) 若 A 正定，则对任意正整数 k，A k 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵20 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= xixj(1)记X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A-1；(2)二次型 g(x)=xTAX 与 f(X)的规范形是否相同 ?说明理由21 设 A、B 为同阶正定矩阵且 AB=BA证明： AB 为正定矩阵22 设二次型 f(x
7、1，x 2，x 3)=XTA X=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b0)，其中二次型 f 的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12 (1)求 a、b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵23 已知矩阵 B= 相似于对角矩阵 A(1)求 a 的值；(2)利用正交变换将二次型 XTBX 化为标准形，并写出所用的正交变换；(3)指出曲面 XTBX=1 表示何种曲面24 已知齐次线性方程组= 有非零解，且矩阵 A=是正定矩阵(1)求 a 的值；(2)求当 XTX=2 时，X TAX 的最大值其中 X=(x1，x 2，x 3)TR
8、325 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn 矩阵 (1)计算 PTDP，其中 P= ，(E k 为 k 阶单位矩阵)；(2)利用(1)的结果判断矩阵 B-CTA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论26 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第 3 列为 ()求矩阵 A；() 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵考研数学二（二次型）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f 既不正
9、定(因 f(0，0，1)=-40)，也不负定(因 f(10，0)=2 0)，故(D)、(B)都不对，又 f 的秩为 3，故(C)不对，只有 (A)正确或用配方法【知识模块】 二次型二、填空题2 【正确答案】 0；0【试题解析】 =0，A= 的秩=f 的秩 =2， A=0， =，又0= E-A=-2 2， =0【知识模块】 二次型3 【正确答案】 -21【试题解析】 由 A= 的各阶顺序主子式均大于 0，即 1=10，2= 4-20， 3=A=-4(+2)(-1)0， -21【知识模块】 二次型4 【正确答案】 2【试题解析】 f 的矩阵 A= 的秩为 2【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出
10、文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 A= ； 1=2=-1， 3=5；双叶双曲面【知识模块】 二次型6 【正确答案】 (1)A 的特征值为 6，6，-2，故由 A 可相似对角化知矩阵 6E-A=的秩为 1， a=0(2)f=x TAx=(xTAx)T=xTATx= (xTAx+xTATx)=xTx故 f 的矩阵为 (A+AT)= =B，计算可得 B 的特征值为1=6， 2=3， 3=7，对应的特征向量分别可取为 1=(0，0，1) T， 2=(1，-1，0)T， 3=(1，1，0) T，故有正交矩阵使得 P-1BP=PTBP=diag(6，-3，7)，所以，在正交变换 下，可化 f
11、 成标准形 f=6y12-3y22+7y32【知识模块】 二次型7 【正确答案】 取 m+n 维非零列向量 Z= ，其中 X、Y 分别为 m、n 维向量，故 X、Y 不全为零，不妨假定 X0，由条件有 XTAX0，Y TBY0故对 Z0，有ZTCZ=XT YT =XTAX+YTBY0，又 CT=C，故 C 正定【知识模块】 二次型8 【正确答案】 a=4，b=-2，P=【知识模块】 二次型9 【正确答案】 B T=B，对任意 n 维非零列向量 X，有 XTX0，(AX) T(AX)0，故对 X0 有 XTBX=XT(E+ATA)X=XTX+(AX)T(AX)0，因此，对称阵 B 正定【知识模块
12、】 二次型10 【正确答案】 1+(-1) n+1a1a2an0【知识模块】 二次型11 【正确答案】 由 bij=bij，知 B 对称若 x1，x 2，x n 不全为 0，则c1x1，c 2x2，c nxn 小全为零，此时，(x 1，x 2，x n)B(x1，x 2，x n)T=aijcicjxixj= aij(cixi)(cjxj)0，故 B 正定【知识模块】 二次型12 【正确答案】 因为 A 正定，故存在正交阵 P，使 P-1AP=PTAP=且 i0(i=1，2，n) ，故其中 PT 为正定阵【知识模块】 二次型13 【正确答案】 只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变
13、换X=PY(P 为正交矩阵，y=(y 1，y n)T)，使得XTAX =1y12+ nyn2n(y12+yn2)=nY2，由于正交变换不改变向量长度，故有Y 2=X2=XTX，上式即 XTAXnXTX，当 X0 时，X TX0，即得 f(X)= n，又 f(Xn)= =n，于是得 maxf(X)=n【知识模块】 二次型14 【正确答案】 ，在 x=1，y=-1 处取到【知识模块】 二次型15 【正确答案】 f 的最小值= =f(0，1，0)=2，f 的最大值=4.【知识模块】 二次型16 【正确答案】 设 为 A+B 的任一特征值，则有 X0，使(A+B)X=X (A+B)X-(a+b)X=X
14、-(a+b)X (A=aE)+(B-bE)X=-(a+b)X，故 -(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值，由条件易知 A-aE 及 B-bE 均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值 -(a+b)0， a+b，即 A+B 的任一特征值 都大于 a+b设 s 为 A+B 的最小特征值，对应的特征向量为 X1，设 A、B 的最小特征值分别为 1 和 1，有 s=1+1a+b故 A+B 的特征值全大于a+b【知识模块】 二次型17 【正确答案】 由于 两端取行列式，得 即 =A X TA-1X 由于 A 正定，故A0，且 A-1 正定，故对于任意 X0，XR n，有 XTA
15、-1X0故f(x1，x 2， xn)= 正定【知识模块】 二次型18 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，则存在 X0，使 AX=E，于是(A 2-3A+2E)X=(2-3+2)X=0， 2-3+2-0 =1 或 =2，因此 A 的特征值均大于 0，故 A 正定【知识模块】 二次型19 【正确答案】 (1)设 A 的特征值为 1， 2， n令c=max 1， 2， n，则存在正交变换 x=Py使 xTAx= iyi2，且 yTy=xTx，故x TAx= yi2=cyTy=cxTx(2)设 A 的特征值为1， n，则 i0(i=1，n)，于是，由 Ak 的特征值为 1k， nk它们全都大于
16、0，可知 Ak 为正定矩阵(3)因为(A+aE) T=A+aE，所以 A+aE 对称又若 A的特征值为 1， n，则 A+aE 的特征值为 1+a， n+a若取a=max 1+1， n+1，则 i+a i+ i+11，所以 A+aE 正定【知识模块】 二次型20 【正确答案】 (1)f(X)=(x 1，x 2，x n) 因秩(A)=n，故 A 可逆，且 A-1= A*，从而(A -1)T=(AT)-1=A-1，故 A-1 也是实对称矩阵，因此二次型 f(X)的矩阵为(2)因为(A -1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以 A 与 A-1 合同，于是 g(X)与 f(x)有相同的规范形【知
17、识模块】 二次型21 【正确答案】 因 A、B 正定，有 AT=A，B T=B，故(AB) T=BTAT=BA=AB，即AB 也是对称矩阵因 A 正定，存在正定阵 S，使 A=S2，于是 S-1(AB)S=S-1SSBS=SBS=STBS，由于 B 正定，故与 B 合同的矩阵 STBS 正定，故 STBS 的特征值全都大于零，而 S-1(AB)S=STBS，说明 AB 与 STBS 相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故 AB 的特征值(即 STBS 的特征值)全都大于零，因而对称阵 AB 正定【知识模块】 二次型22 【正确答案】 (1)f 的矩阵为 A= ，由 1+2+3=a+2+(-2)=
18、1，及123=A=2(-2a-b 2)=-12，解得 a=1，b=2 (2)正交矩阵 P= ，可使 PTAP= ，故在正交变换 下，f 的标准形为f=2y12+2y22-3y32【知识模块】 二次型23 【正确答案】 (1)由 B 相似于对角阵，知对应于 B 的二重特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个， r(6E-B)=1， a=0：(2)二次型 f=XTBX 的矩阵为 A= (B+BT)=，正交矩阵 P= 可使 PTAP= ，故 f在正交变换 X=PY 下化成的标准形为 f=6y12+7y22-3y32；(3)单叶双曲面【知识模块】 二次型24 【正确答案】 (1)由方程组的系数行列式
19、=a(a+1)(a-3)=0， a 的取值范围为：0，-1， 3，再由矩阵 A 正定，得 a=3；(2)可求得 A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为 (即 A=10，且 T=1)对二次型 XTAx，存在正交变换 X=Py，使 XTAX 1y12+2y22+3y3210(y12+y22+y32)，当 XTX=YTY=y12+y22+y32=2 时，有 XTAX102=20又 X0= 满足 X0TX0=2，且X0TAX0= =2T(A)=2T(10)=20(T)=20，综上可知XTAX=20【知识模块】 二次型25 【正确答案】 (1)P TDP= ；(2)矩阵 B-CTA-1C 是正
20、定矩阵证明：由(1)的结果知 D 合同于矩阵 M= ，又 D 为正定矩阵，所以 M 为正定矩阵因 M 为对称矩阵，故 B-CTA-1C 为对称矩阵由 M 正定，知对 m 维零向量 x=(0，0 ，0) T 及任意的 n 维非零向量 y=(y1，y 2，y n)T，有x T，y T =xT，y T =yT(B-CTA-1C)y0 故对称矩阵 B-CTA-1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型26 【正确答案】 () 由条件知，A 的特征值为 1， 1，0，且 =(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则 x，得 x1+x3=0，取 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量为(1， 0，-1) T、(0，1，0) T得正交矩阵 Q= ，则有QTAQ=diag(1，1，0)，故 A=Qdiag(1 ，1，0) TQ= ()A+E 的特征值为 2，2，1 都大于零，且 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵.【知识模块】 二次型
