1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 其中 D=(x，y)|x2+y21)，则 ( )（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab2 设 D：|x|+|y|1，则 (|x|+y)dxdy= ( )（A）0（B）（C）（D）13 累次积分 01dxx1f(x,y)dy+12dy02-yf(x，y)dx 可写成 ( )（A） 02dxx2-xf(x，y)dy（B） 01dyy2-yf(x,y)dx（C） 01dxx2-xf(x,y)dy（D） 01dyy2-yf(x，y)dx4 f(x，y)dy 化为极坐标系中的
2、累次积分为 ( )5 设 D 由直线 x=0，y=0 ，x+y=1 围成，已知 01f(x)dx=01xf(x)dx，则 f(x)dxdy=( )（A）2（B） 0（C）（D）1二、填空题6 7 交换二次积分次序：8 交换二次积分次序： f(x，y)dy+ 1edxlnx1f(x，y)dy=_ 9 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I=0ady0yem(a-x)f(x)dx 化为定积分，则 I=_10 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 一 y2=1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 证明： 0
3、1dx01(xy)xydy=01xxdx12 设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 并证明：I2(M-m)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y) 在 D 上的最大值和最小值13 (1)设 D=(x，y)|axb，cyd)，若 fxy“与 fyx“在 D 上连续，证明：(2)设 D 为 xOy 平面上的区域，若 fxy“与 fyx“都在 D 上连续，证明：f xy“与 fyx“在 D 上相等14 15 设函数 f(x)在0，1上连续，证明： 01ef(x)dx01e-f(y)116 求 V(t)= (t 一 1)y+1)dxdy 的最大值，其中 Dt=(x，y)|x 2+y21，
4、 y1)，2t317 变换二次积分的积分次序：18 变换二次积分的积分次序：19 变换二次积分的积分次序：20 变换二次积分的积分次序：21 计算二重积分 其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和曲线 y=x3 所围成的封闭区域22 计算二重积分 其中 D=(x，y)|0yx，x 2+y22x23 求二重积分 其中 D 是由曲线 直线 y=2，y=x 所围成的平面区域24 求 其中 D=(x，y)|0x3，0y125 计算 其中 a，b026 计算 ln(1+x2+y2)dxdy，其中 D：x 2+y2127 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D 由 y=一 x，x 2+y2=4，y= 所围
5、成28 29 设 f(x，y)= ，其中 D 为正方形域0x1，0y130 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续且单调增，证明： abf(x)dxabg(x)dx(b 一 a)abf(x)g(x)dx31 考研数学二（二重积分）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)|x 2+y21)，所以因此有cba【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 D 关于 x，y 轴都对称，故 ydxdy=0，且有【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 C【试题解析】 区域 D1：0x1,
6、xy1 为直线 x=0， y=x，y=1 围成的；区域D2：1y2，0x2 一 y 为直线 x=0，x+y=2，y=1 围成的所以积分区域D=D1D2 是由直线 x=0， y=x，x+y=2 围成的，故原积分形式可写成 01dxx2-xf(x,y)dy【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 A【试题解析】 由 y=1+ x2+(y 一 1)2=1(y1)，所以积分区域 D 是圆x2+(y1)21 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由 01f(x)dx=01xf(x)dx 得 01=(1 一 x)f(x)dx=0，于是
7、=01dx01-xf(x)dy=01(1 一 x)f(x)dx=0【知识模块】 二重积分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 令 x=rsin，y=rcos ，则原式= 01dr02(r2sin2+r2cos2).rd=01r3dr02d=【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 【试题解析】 由已知有，所求积分区域为 所围成的区域，所以【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 【试题解析】 由已知有，所求积分区域为 y=1，y=一 x2+1，y=ln x 所围成的区域，所以【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 0aem(a-x)f(x)(a-x)dx【试题解析】 被积函数仅是 z 的函数，
8、交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 I= 0adxxaem(a-x)f(x)dy=0aem(a-x)f(x)(a一 x)dx【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 0【试题解析】 因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 01(xy)xydy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy,当 y 从 1 变到 1 时，从0 变到 x，则于是也
9、就是要证明 一 01ttlntdt=01ttdt，移项后就是要证明 01tt(1+ln t)dt=0 事实上， tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tln t)=d(etlnt)，故 01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 显见，I2(M 一 m)【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 =abdxcdfxy“(x， y)dy=abfx(x,y)|cddx=abfx(x，d)一 fx(x，c)dx=f(x ，d)| abf(x，c)| ab=f(b，d)一 f(a，d)+f(a，c)一 f(b，c)同理，=cdd
10、yabfyx“(x,y)dx=f(b，d)一 f(b，d)+f(a，c)一 f(b，c)?结论成立(2)用反证法 设 P0(x0，y 0)D，有 fxy“(x0， y0)fyx“(x0，y 0) 不妨设fxy“(x0，y 0)一 fyx“(x0，y 0)0，由于当 P(x，y)U(P0，) 时有 fxy“(x，y) 一 fyx“(x，y) 0【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 一方面，有【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 如图 155， 则【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 如图 156 则【
11、知识模块】 二重积分19 【正确答案】 如图 157，D=D 1+D2，其中【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 如图 158，D 故【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 积分区域：minx，y= 其中 D1=(x，y)|0y1，yx3，D 2=(x，y)|0y1 ，0xy)所以【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 【知识模块】 二重积分27 【正确答案】 (x 一 1)2+y2=1，y0y= 一 x 与 x2+y2
12、=4 的交点为y=一 x 与 y= 的交点为(0，0)x 2+y2=4 与 y=的交点为(2，0)如图 159 所示【知识模块】 二重积分28 【正确答案】 【知识模块】 二重积分29 【正确答案】 【知识模块】 二重积分30 【正确答案】 设 I=(b 一 a)abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx=abdyabf(x)g(x)dx 一abf(x)dxabg(y)dy 其中 D：axb ，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 由 f(x)，g(x)在a，b 上单调递增，得 2I0，即 I0，故 abf(x)dxabg(x)dx(b-a)abf(x)g(x)dx【知识模块】 二重积分31 【正确答案】 设 a0 ，D a=(x，y)| 一 axa，一 aya)，则当 a+时，DaD，从而【知识模块】 二重积分
