1、考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年) 设函数 f(u)连续，区域 D(，y)， 2y 22y，则 f(y)ddy 等于 【 】（A）（B）（C）（D）2 (2005 年) 设函数 u(，y)(y)(y) -y+y(t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 【 】（A）（B）（C）（D）3 (2005 年) 设区域 D( ，y) 2y 24，0，y0，f()为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 【 】（A）ab（B） （C） (ab)（D）4 (2006 年) 设
2、f(，y)为连续函数，则 f(rcos，rsin)rdr 等于 【 】（A）（B）（C）（D）5 (2006 年) 设 f(，y)与 (，y)均为可微函数，且 y(，y)0已知( 0，y 0)是f(，y) 在约束条件 (，y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是 【 】（A）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)0（B）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)0（C）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)0（D）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)06 (2007 年) 二元函数 f(，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 【 】（A） f(，y) f(0，
3、0)0（B）（C）（D）7 (2007 年) 设函数 f(，y)连续，则二次积分 f(，y)dy 等于 【 】（A）（B）（C）（D）8 (2008 年) 设函数 f 连续，若 F(u，v) ddy，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 _（A）vf(u 2)（B） f(u2)（C） vf(u)（D） f(u)9 (2009 年) 设函数 zf(，y)的全微分为 dzd ydy，则点(0，0) 【 】（A）不是 f(，y)的连续点（B）不是 f(，y)的极值点（C）是 f(，y)的极大值点（D）是 f(，y)的极小值点10 (2009 年) 设函数 f(，y)连续，则 12d2f(，y)dy
4、12dyy4-yf(，y)d 【 】（A） 12d14-f(，y)dy（B） 12d4-f(，y)dy（C） 12dy14-yf(，y)d（D） 12dyy2f(，y)d二、填空题11 (2004 年) 设函数 zz(，y)由方程 ze 23z 2y 确定，则3 _12 (2007 年) 设 f(u，v)是二元可傲函数， zf( )，则 _13 (2008 年) 设 z ，则 _14 (2012 年) 设 zs(ln )，其中函数 f(u)可微，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (2004 年) 设 zf( 2y 2，e y)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求16
5、(2005 年) 已知函数 f( ，y)的全微分 d2d2ydy，并且 f(1，1)2求f(，y) 在椭圆域 D( ，y) 2 1上的最大值和最小值17 (2005 年) 计算二重积 2y 21d ，其中 D(，y)01，0y118 (2006 年) 设区域 D( ，y) 2y 21，0 ，计算二重积分 I19 (2006 年) 设函数 f(u)在 (0，)内具有二阶导数，且 zf( )满足等式() 验证 f(u) ； ()若 f(1)0，f(1)1，求函数 f(u)的表达式20 (2007 年) 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0) 1，函数 yy() 由方程 ye y-11 所确定
6、设 zf(lnysin)，求21 (2007 年) 设二元函数 计算二重积f(，y)d，其中 D( ，y) y222 (2008 年) 求函数 u 2y 2z 2 在约束条件 z 2y 2 和 yz4 下的最大值小值。23 (2008 年) 计算 maxy，1ddy，其中 D(， y)02 ，0y2 24 (2009 年) 设 zf(y，y，y) ，其中，具有二阶连续偏导数，求 dz 与25 (2009 年) 计算二重积 (y)ddy ，其中 D(，y)；(1) 2(y1)22，y 考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
7、题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 将圆 2y 22y 改写为极坐标方程为 r2sin则故应选 D【知识模块】 多元函数微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于直线 y 对称，则【知识模块】 多元函数微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由积分 f(rcos，rsin)rdr 知其积分域如图所示，则故应选 C【知识模块】 多元函数微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若( 01，y 0)是 f(，y)在约束条件 (，y)0下的极值点，则必有 若 f(0，y 0)0，由式知，0，又由
8、原题设知 y(0，y 0)0，则由式知， y(0，y 0)0，从而必有 fy(0，y 0)0，故应选 D【知识模块】 多元函数微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(，y) f(0，0)0 知 (，y)f(0，0)，即f(，y)在(0，0)点连续，连续并不一定可微，则 A 选项不正确 由偏导数定义知可导并不一定可微，则 B 选项不正确 事实上 D 选项也不正确，例如 f(，y)则 f(，0)0，f (o，o)一 o，f y(0，y)0，f y(0，0)0 从而 f(，0)f (0，0) 0， fy(0，y) f y(0，0) 0 但 f(，y)在(0，0)点不连续，从而不可微 由排除法
9、知应选 C【知识模块】 多元函数微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 二次积分 f(，y)dy 对应的二重积分的积分域 D 如图所示交换二次积分次序得 故应选B【知识模块】 多元函数微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 故应选 A【知识模块】 多元函数微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由 dzdydy 知， y 令 0 得(，y)(0， 0)，则 (0，0)为函数 zf(，y)的驻点 又 ，则 ACB 210，且 A10 则(0，0)为 zf( ， y)的极小值点，故应选 D【知识模块】 多元函数微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 原式 12dy14-yf(，y)d 故应选 C
10、【知识模块】 多元函数微积分二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 等式 ze 23z y 两端分别对 和 Y 求偏导得【知识模块】 多元函数微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分13 【正确答案】 (ln21)【试题解析】 由 z 知，lnz (lnyln)令 1，y2，得 (ln21)【知识模块】 多元函数微积分14 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分16 【正确答案】 由 dz 2d2ydy 可知 zf(，y)z 2y 2C 再由
11、f(1，1)2，得 C 2，故 zf(，y) z 2y 22 令 20， 2y0，解得驻点(0，0) 在椭圆 2 1 上，z 2(44 2)2，即 z 5 22 (11) 其最大值为 z 1 3，最小值为 z 0 2 再与 f(0，0)2 比较，可知 f(，y)在椭圆域 D 上的最大值为 3，最小值为2【知识模块】 多元函数微积分17 【正确答案】 如图，将 D 分成 D1 与 D2 两部分【知识模块】 多元函数微积分18 【正确答案】 所以 IIIln2【知识模块】 多元函数微积分19 【正确答案】 () 由 zf(u)，u ，得听以根据题设条件可得 f .f0，即 f(u) 0 () 由(
12、)及 f(1)1，得 f(u) ，所以 f(u)lnuC 由 f(1)0，得 C0，因此 f(u)lnu【知识模块】 多元函数微积分20 【正确答案】 由 ye y1 1 知，当 0 时，y1 等式 ye y1 0 两端对 求导得 y(e y1 ye y1 )0 令 0，y1 得，y(0) 1 yye y1 ye y1 (ye y 1)0 令 0，得 y(0)20，则 y(0)2 由zf(lnysin)知【知识模块】 多元函数微积分21 【正确答案】 由于被积函数 f(，y)关于 和 Y 都是偶函数，而积分域 D 关于 轴和 y 轴都对称，则 其中 D1 为直线y1 与 轴和 y 轴围成的区域
13、， D2 为直线 y1，y2 与 轴和 y 轴所围成的区域(如图) 【知识模块】 多元函数微积分22 【正确答案】 作拉格朗日函数 F(，y，z，) 2y 2z 2( 2y 2z)(yz4)， 解方程组得( 1，y 1，z 1)(1，1，2)，(2，y 2，z 2)(2，2，8) 故，所求的最大值为 72，最小值为 6【知识模块】 多元函数微积分23 【正确答案】 曲线 y1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2【知识模块】 多元函数微积分24 【正确答案】 由于 f 1f 2yf 3， f 1f 2f 3 所以 dz(f 1f 2yf 3)(f 1f 2f 3)dy f 11f 12f 13f 21f 22f 23f 3y(f31f 32f 33) f 3f 11f 22yf 33( y)f 13( y)f 23【知识模块】 多元函数微积分25 【正确答案】 如图，令 ，则【知识模块】 多元函数微积分
