1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有定义在(-，+)上的函数：则()其中在定义域上连续的函数是_.2 设有定义在(-，+)上的函数：以 x=0 为第二类间断点的函数是_3 极限（A）等于（B）等于（C）等于 e-6（D）不存在4 设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a)0，则（A）f(x)在 x=a 处间断（B） f(x)在 x=a 处间断（C） (x)2 在 x=a 处间断（D） 在 x=a 处间断5 “f(x)在点 a 连续”是f(x) 在点 a 处连续的( )条
2、件（A）必要非充分.（B）充分非必要.（C）充分必要.（D）既非充分又非必要.6 设数列 xn，y n 满足 xnyn=0，则下列正确的是（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必有界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小7 f(x)=xsinx（A）在(-，+)内有界（B）当 x+ 时为无穷大（C）在 (-， +)内无界（D）当 x时有极限8 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 均不连续，则在 x=x0 处（A）f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续（B） f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不
3、确定（C） f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续（D）(x)+g(x)，f(x)g(x) 的连续性均不确定9 当 n时 的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小10 设 f(x)= ，则下列结论(1)x=1 为可去间断点(2)x=0 为跳跃间断点(3)x=-1 为无穷间断点中正确的个数是（A）0（B） 1（C） 2（D）311 把 x0 +时的无穷小量 =tanx-x，= 0x 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小一，则正确的排列次序是（A），（B） ， （C） ， （D），12 在 中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）二、解
4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)在0，+)连续，且满足14 ()设 f(x)，g(x)连续，且 ，求证：无穷小 0(x)f(t)dt 0(x)g(t)dt (xa)；()求 w= 0x3ln(1+2sint)dtf 0xln(1+2sint)dt315 已知 ，求 a，b 之值16 确定常数 a，b，c 的值，使 =417 求 xn，其中 xn=18 证明 0ex2cosnxdx=019 求20 设 xn= xn.21 求数列极限 xn，其中 xn=22 当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n：()e x4-2x2-1；()(1+tan 2x)
5、sinx-1；() () 0xsint.sin(1-cost)2dt23 设 0， 0 为任意正数，当 x+ 时将无穷小量： ，e -x 按从低阶到高阶的顺序排列24 设 讨论 y=fg(x)的连续性，若有间断点并指出类型25 设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明：在0，1上至少存在一点 ，使得26 设 f(x)在(-，+) 连续，存在极限 证明：()设 AB，则对 (A， B)， (-，+)，使得 f()=；()f(x)在(-，+)有界考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
6、 B【试题解析】 () 当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意到若 f(x)=其中 g(x)在(-，0连续，h(x)在0，+)连续因 f(x)=g(x)(x(-，0) f(x)在 x=0 左连续若又有 g(0)=h(0) f(x)=h(x)(x0，+) f(x)在 x=0右连续因此 f(x)在 x=0 连续(B)中的函数 g(x)满足：sinx x=0=(cosx-1) x=0，又sinx，cosx-1 均连续 g(x)在 x=0 连续因此，(B)中的 g(x)在(-，+)连续应选(B)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2
7、 【正确答案】 D【试题解析】 关于(A) ：由x=0 是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点) 关于(C) ：由 x=0是 h(x)的第一类间断点(可去间断点)已证(B)中 g(x)在 x=0 连续因此选(D)或直接考察(D) 由 x=0 是m(x)的第二类间断点【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 ，本题为 1型设 f(x)=*，则原极限= 而故原极限= ，应选(A)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 B【试题解析】 连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选
8、(D)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在 x=a 连续 f(x) 在 x=a 连续 (f(x) -f(a)f(x)-f(a)f(x)在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续如 f(x)= f(x) =1，f(x) 在 x=a 连续，但 f(x)在 x=a 间断因此，选(B)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 D【试题解析】 举例说明(A)，(B)，(C) 不正确x n：0，1，0，2，0，3，发散，yn： 0， 0，0 ，0，0，0，收敛， xnyn=0(A)不正确x n：0， 1，0，2，0，3，无界，y n：1，0，2，
9、0，3，0，无界，xnyn=0(B)不正确x n：0，1，0，1，0，1，有界，yn： 1， 0，1 ，0，1，0，不是无穷小， xnyn=0(C)不正确因此，选(D)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 C【试题解析】 取 xn=2n+ (-，+)(n=1，2，3，)，则 f(xn)=+ (n)因此 f(x)在(-，+)无界选(C)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 D【试题解析】 如： 在 x=0 均不连续，但 f(x)+g(x)=1， f(x).g(x)=0 在 x=0 均连续又如： 在 x=0 均不连续，而 f(x)+g(x)= 在 x=0 均不连
10、续因此选(D) 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法9 【正确答案】 D【试题解析】 该题就是要计算极限因此选(D)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法10 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= ，c=0，1 是 f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型计算可得由于 f(0+0)与 f(0-0)存在但不相等，故 x=0 是 f(x)的跳跃间断点 x=1是 f(x)的可去间断点，又 x=-1 是 f(x)的无穷间断点，因此选(D) 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 C【试题解析】 因 即当 x+0 +时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除
11、(A)与(D)又因即当 x0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，可排除(B) ，即应选(C)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当 n=3 并取“+”号时，即 选(D)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 先作恒等变形转化为求 型极限，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 () 由0(x)f(t)dt 0(x)g(t)dt (xa).( )因 ln(1+
12、2sinx)2sinx2x(x0)，由题() 0x3ln(1+2sint)dt 0x32tdt=t2 0x3=x6， 0xln(1+2sint)dt 0x2tdt=x2.因此，利用等价无穷小因子替换即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 原式可改写成 由于该式成立，所以必有 ，即 a=9将 a=9 代入原式，并有理化得由此得 b=-12故 a=9，b=-12 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax2+bx+1-e-2x0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 cx dt0，故必有 c=0由于故必有
13、a=4综合得 a=4，b=-2，c=0 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 作恒等变形后再作放大与缩小：于是又故由夹逼定理知【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 先对积分 01ex2cosnxdx 建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分 01ex2cosnxdx= 01d(sinnx)= ex2sinnx 01-012xex2sinnxdx= 012xex2sinnxdx，于是 01ex2cosnxdx 012xe x2sinnxdx 012edx因此 01ex2cosnxdx=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法1
14、9 【正确答案】 记 xn= 是 f(x)=tanx 在0，1区间上的一个积分和由于 f(x)在0，1上连续，故可积，于是因此，我们对 xn 用适当放大缩小法，将求 xn 转化为求积分和的极限因又于是由夹逼定理得 xn=-lncos1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 先取对数化为和式的极限 lnxn= ln(n2+i2)-4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是 f(x)=ln(1+x2)在0，2区间上的一个积分和(对0 ，2 区间作 2n 等分，每个小区间长 )，则=02ln(1+x2)dx=xln(1+x2) 02-02 =2ln5-4+2arc
15、tan2因此 elnxn=e2ln5-4+2aretan2=25e-4+2arctan2【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 先用等价无穷小因子替换：于是现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 ()e x4-2x2-1x 4-2x2-2x 2 (x0)，即当 x0 时 ex4-2x2-1 是 x 的 2阶无穷小，故 n=2()(1+tan 2x)sinx-1ln(1+tan 2x)sinx-1+1=sinxln(1+tan2x)sinxtan 2xx.x 2=x3 (x0)，即当 x0 时(1+tan 2x)sinx
16、-1 是 x 的 3 阶无穷小，故 n=3()由是 x 的 4 阶无穷小，即当 x时 是 x 的 4 阶无穷小，故 n=4()即当 x0 时02sintsin(1-cost)2dt 是 x 的 6 阶无穷小，故 n=6.【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 先考察再考察 因此，当 x+时，按从低阶到高阶的顺序排列为 ，e -x【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 先写出 fg(x)的表达式考察 g(x)的值域：当 x1，2，5 时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时，从而fg(x)在
17、x=1 不连续且是第一类间断点(跳跃间断点 )【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 即证： 存在零点因 f(x)在0， 1连续，所以 F(x)=f(x)- 连续事实上，我们要证：F(x)在 存在零点(只需证 F(x)在 有两点异号)考察于是中或全为 0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理， ，使得 F()=0，即 f()=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 利用极限的性质转化为有界区间的情形()由 f(x)=A及极限的不等式性质可知， X1 使得 f(X1) 由 f(x)=B 可知， X2X 1使得 f(X2)因 f(x)在X 1，X 2连续，f(X 1)f(X 2)，由连续函数介值定理知(X1，X 2) (-，+)，使得 f()=()因 ，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， X1 使得当 (-，X 1)时 f(x)有界；X2( X1)使得当 x(X2，+)时 f(x)有界又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在X 1，X 2上有界因此 f(x)在(-，+) 上有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
