1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P 一 1。（B） PT。（C） P。（D）(P 一 1)T。2 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而A3=3A 一 2A2，那么矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量是( )（A）。（B） A+2。（C） A2 一 A。（D）A 2+2A 一 3。3 设
2、 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中A 2； P-1AP； A T； 。 肯定是其特征向量的矩阵个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。4 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。5 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E 一 A=
3、EB。（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量。（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵。（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似。6 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（A）充分必要条件。（B）必要而非充分条件。（C）充分而非必要条件。（D）既非充分也非必要条件。7 已知矩阵 ，那么下列矩阵中与矩阵 A 相似的矩阵个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。8 下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( )（A）（B）（C）（D）9 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA ； 2A B2； A
4、TBT； A 一 1B 一 1。 正确的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。10 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题11 若三维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为_。12 设 =(1，一 1，a) T 是 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中 r(AT)=3，则 a=_。13 已知 =(a，1，1) T 是矩阵 的逆矩阵的特征向量，则a=_。14 设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_。15 设 A 是三阶可逆矩阵，A 的各行元素之和为 k，A *的各行元素之和为 m
5、，则A=_ 。16 设 A 为二阶矩阵， 1， 2 为线性无关的二维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_。17 已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_。18 若矩阵 只有一个线性无关的特征向量，则这个线性无关的特征向量是_。19 已知矩阵 有两个线性无关的特征向量，则 a=_。20 设矩阵 A 与 相似，则 r(A)+r(A 一 2E)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设矩阵 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A 是否可相似对角化。22 已知 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P
6、 使 P 一 1AP=A。23 设矩阵 A 与 B 相似，且 求可逆矩阵 P，使P 一 1AP=B。23 已知矩阵 相似。24 求 x 与 y；25 求一个满足 P 一 1AP，=B 的可逆矩阵 JP。26 设矩阵 ，当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP为对角矩阵? 并求出 P 和相应的对角矩阵。27 设矩阵 相似，求 x，y；并求一个正交矩阵 P，使 P 一 1AP=A。27 设 A 为三阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的三维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33。28 求矩阵 A 的特征值；29 求可逆矩阵 P 使得 P 一 1AP=A。2
7、9 设 A 是三阶方阵， 1,2,3 是三维线性无关的列向量组，且A1=2+3，A 2=3+1，A 3=1+2。30 求 A 的全部特征值；31 A 是否可对角化?32 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 求 a，b 的值及矩阵 P，使 P 一 1AP=B。考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵 (PTAP)T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵AT=A，有(P -1AP)T=，即 PTA(P-1)T=。把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A=
8、，可得选项 B 正确，即左端 =PTA(P-1)T(PT)=PTA=PT=PT=右端。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2 一 3A=0。故(A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A2 一 A)。因为 ，A ，A 2 线性无关，必有 A2 一 A0，所以 A2 一 A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量。所以应选C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=，0，有 A2=A()=A=2，即 必是 A2 属于特征值2 的特征向量。又 知
9、 必是矩阵属于特征值 的特征向量。关于和 则不一定成立。这是因为(P一 1AP)(P 一 1)=P 一 1A=P 一 1，按定义，矩阵 P 一 1AP 的特征向量是 P 一 1。因为 P 一 1 与 不一定共线，因此 不一定是 P 一 1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(EA)x=0 与 (E 一 AT)x=0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，那么 ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。由于(
10、EA)x=0 与(E 一 AT)x=0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量。例如 上例还说明当矩阵A 不可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A的特征向量。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确。对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在
11、可逆矩阵 P，使 P-1AP=B于是 P 一 1(tEA)P=tEP 一 1AP=tE 一 B，可见对任意常数t，矩阵 tE 一 A 与 tE 一 B 相似。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B，故E 一B=E P 一 1AP= P 一 1(EA)P=P 一 1E 一 AP = E 一A，即 A 与 B 有相同的特征值。但当 A，B 有相同特征值时， A 与 B 不一定相似。例如 虽然 A，B 有相同的特征值 1=2=0，但由于r(A)r(B)，A ，B 不可能相似。所以，相似的必要条件是 A，
12、B 有相同的特征值。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 C【试题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似。 和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由 可见与 A 相似，而与 A 不相似。所以应选 C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，r(A)=1，r(B)=2 ，故 A 和 B 不相似。选项 B 中，tr(A)=9， tr(B)=6，故 A 和 B 不相似。选项 D 中，
13、矩阵 A 的特征值为 2，2，一 3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，一 3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵 故由矩阵相似的传递性可知 A 和 B 相似。所以选 C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 D【试题解析】 因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B，于是 P-1A2P=B2。P TAT(PT)一 1=BT，P 一 1A 一 1P=B 一 1，故 A 2B 2，A TB T，A 一 1B 一1。又由于
14、A 可逆，可知 A-1(AB)A=BA，即 AB 一 BA。故正确的命题有四个，所以选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。选项 C 是秩为 1 的矩阵，由 E 一 A= 3 一 42，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r(OE 一 A)=r(A)=1 可知齐次方程组(OE 一 A)x=0 的基础解系有 31=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而
15、矩阵必可以相似对角化。选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，一 1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩可知齐次线性方程组(EA)x=0 只有 32=1 个线性无关的解，即 =1 时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2，所以( T)=(T)=2，故 T 的非零特征值为 2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 一 1【试题解析】 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A*=0，该等式两端同时左乘 A，即得 AA*=A=
16、 0A，即展开成方程组的形式为因为 r(A*)=3，A *0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 a=一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 一 1【试题解析】 设 是矩阵 A-1 属于特征值 的特征向量，则 A 一 1=，即=A，于是【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 ，化为矩阵形式，可得 满足 故矩阵 A 一定有一个特征值为 5。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 km【试题解析】 由 A 的各行元素之和为 k，A *的各行元素之和为 m 可知 A(1，1，1)T=k(1，
17、1，1) T，A *(1，1，1) T=m(1，1，1) T，在 A(1，1，1) T=k(1，1，1) T 两边同时左乘 A*可得 A*A(1，1，1) T=kA*(1，1，1) T 即A(1，1，1) T=kA*(1，1，1)T=km(1，1，1) T，故 A=km。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设条件，得 记P=(1， 2)，因 1， 2 线性无关，故 P=(1， 2)是可逆矩阵。由 ，可得 ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。因为 所以 A 的非零特征值为 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 2，2，2【试
18、题解析】 因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知 1+2+3=3，故 1=2=3=2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 k(1，0，1) T，其中 k【试题解析】 因 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必是三重的，且 r(EA)=2。由 tr(A)=1+2+3=9 可得 1=2=3=3。于是显然 01。再由(3EA)x=0 的解得特征值 =3 对应的特征向量为(1，0，1) T。故线性无关的特征向量是 k(1，0
19、，1)T，其中 k0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 一 1【试题解析】 A 的特征多项式为所以矩阵 A 的特征值是一 1，且为三重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，故 r(一 EA)=1，因此 a=一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 3【试题解析】 矩阵 A 与 B 相似，则 A 一 2E 与 B 一 2 层相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r(A)+r(A 一 2E)=r(B)+r(B 一 2E)=2+1=3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 矩阵 A
20、的特征多项式为如果 =2 是单根，则 28+18+3a 是完全平方，必有 18+3a=16，即 。则矩阵 A 的特征值是2，4，4，而 r(4E 一 A)=2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化。如果 =2 是二重特征值，则将 =2 代人 2 一 8+18+3a=0 可得 a=一 2。于是 2 一 8+18+3a=( 一 2)( 一 6)。则矩阵 A 的特征值是 2，2，6，而 r(2E 一 A)=1，故 =2 有两个线性无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 A 的特征多项式为则 A 的特征值为 1=2n
21、一 1， 2=n 一 1，其中 2=n 一 1 为 n 一 1 重根。当 1=2n一 1 时，解齐次方程组( 1EA)x=0，对系数矩阵作初等变换，有得到基础解系1=(1， 1， ，1) T。当 2=n 一 1 时，齐次方程组 (2EA)x=0 等价于x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=(一 1，1，0，0) T， 3=(一 1，0，1，0)T， ， n=(一 1，0，0，1) T，则 A 的特征向量是 k11 和 k22+k33+knn，其中 k10，k 2，k 3，k n 不同时为零。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 由 AB 有 于是得 a=5，b=6。且由A
22、一 B，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1=2=2， 3=6。当 =2 时，解齐次线性方程组(2E A)x=0 得到基础解系为 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1) T，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。当 A=6 时，解齐次线性方程组(6E 一 A)x=0，得到基础解系是(1，一 2，3) T，即属于 =6 的特征向量。令 P=(1,2,3)=则有 P 一 1AP=B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 相似矩阵有相同的特征值，由矩阵 B 的特征值为 2，y，一 1 可知矩阵 A 的特征值也为 2
23、，y，一 1，故A=2y(一 1)=一 2，且 tr(A)=2+0+x=2+y+(一 1)，解得 y=1，x=0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=一 1。由( iE 一 A)x=0(i=1，2，3)解得矩阵 A 的属于特征值 1=2， 2=1， 3=一 1 的特征向量分别为 1=(1，0，0)T， 2=(0，1，1) T， 3=(0，一 1，1) T，令可逆矩阵则 P 一 1AP=B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为则 A 的特征值为 1=2=一1， 3=1。矩阵 A 与对角矩阵相似
24、的充要条件是属于特征值 =一 1 的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一 EA)x=0 有两个线性无关的解向量，则 r(A+E)=1。对矩阵 A+E 作初等行变换得 当 k=0 时，r(A+E)=1。此时，由 (一 EA)x=0 解得属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量为 1=(一 1，2，0) T， 2=(1，0，2) T；由(EA)x=0 解得属于特征值 1 的特征向量为 3=(1， 0，1) T。令可逆矩阵 P=(1,2,3)，则【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 A 与 A 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=一 4，=y是 A 的特征值。因为 =
25、一 4 是 A 的特征值，所以解得 x=4。又因为相似矩阵的行列式相同， 所以 y=5。当 =5 时，解方程(A 一 5E)x=0，得两个线性无关的特征向量 将它们正交化、单位化得： 当 =一 4 时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量 单位化得： 则 P 一 1AP=A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 由已知可得 A(1,2,3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+33)=记 P1=(1,2,3)， 则有 AP1=P1B。由于1,2,3 线性无关，即矩阵 P，可逆，所以 P1 一 1AP1=B，因此矩阵 A 与 B 相似，则矩阵
26、B 的特征值是1，1，4，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 (由(E B)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1=(一1，1，0) T， 2=(一 201) T：由(4EB)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量3=(0，1，1) T。令 P2=(1， 2， 3)= 则 P2 一1P1 一 1AP1P2= 即当 P=P1P2=(1,2,3) =(一 1+2，一21+3， 2+3)时，有 P 一 1AP=A=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 1,2,3 线性无关，
27、则 1+2+30， 2 一 10， 3 一 10，且由A(1+2+3)=2(1+2+3)，A( 2 一 1)=一( 2 一 1)，A( 3 一 1)=一( 3 一 1)可知矩阵 A 的特征值为 2 和一 1。又由 1， 2， 3 线性无关可知 2 一 1， 3，一 1 也线性无关，所以一 1 是矩阵 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为 2，一 1，一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 因为 1,2,3 线性无关，而( 1+2+3， 2 一 1， 2 一 1)=且P=30，所以 2 一 1， 3 一1， 1+2+3 线性无关，即矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，
28、所以矩阵 A 可相似对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 由 AB，得 解得 a=7，b=一 2。由矩阵 A 的特征多项式 得 A 的特征值是 1=5， 2=一 1。它们也是矩阵 B 的特征值。分别解齐次线性方程组(5EA)x=0 ，(一 E-A)x=0，可得到矩阵 A 的属于 1=5， 2=一 1 的特征向量依次为 1=(1，1) T， 2=(一 2，1) T。分别解齐次线性方程组(5E 一 B)x=0，(一 E-B)x=0，可得到矩阵 B 的属于1=5， 2=一 1 的特征向量分别是 1=(一 7，1) T， 2=(一 1，1) T。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
