1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同特征值是 A 与对角矩阵相似的 【 】（A）充分必要条件（B）充分而非必要的条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件2 设 A、B 都是 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的一个充分条件是 【 】（A）r(A)r(B)（B） AB （C） A 与 B 有相同的特征多项式（D）A、B 有相同的特征值 1， n，且 1， ， n 互不相同3 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 【 】（A）EA E B （B） A 与 B 有相
2、同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于同一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 都相似4 与矩阵 D 相似的矩阵是 【 】（A）（B）（C）（D）二、填空题5 设 1(1 ， 0，2) T 和 2(2，3，8) T 都是 A 的属于特征值 2 的特征向量，又向量(0， 3，10) T，则 A_6 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，A 的特征值为 ，则行列式B -1E_7 设向量 (1 ，0，1) T，矩阵 A T，a 为常数， n 为正整数，则行列式aEA n_8 设可逆方阵 A 有一个特征值为 2，则 必有一个特征值为 _9 设可逆方阵 A 有特征值 ，则(A *)2
3、E 必有一个特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 为可逆方阵 A 的特征值，且 为对应的特征向量，证明：(1)0；(2) 为A-1 的特征值，且 为对应的特征向量；(3) 为 A*的特征值，且 为对应的特征向量11 设 3 阶方阵 A 的特征值为 2，1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若BA 32A 24E，试求 B-1 的特征值与特征向量12 已知向量 (1 ，k，1) T 是 A 的伴随矩阵 A*的一个特征向量，试求k 的值及与 对应的特征值 13 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 11， 22， 33，对应的特征向量依次为(1)将 用 1， 2，
4、 3 线性表出； (2)求 An(n 为正整数 )14 设矩阵 A ，A1，A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为0，属于 0 的一个特征向量为 (1，1，1) T 求 a，b，c 和 0 的值15 已知 是矩阵 A 的一个特征向量 (1)试确定 a，b 的值及特征向量考所对应的特征值； (2)问 A 能否相似于对角阵 ?说明理由16 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的两个不同特征值， 1、 2 分别是属于 1、 2 的特征向量证明： 1 2 不是 A 的特征向量17 设 A 3 个线性无关的特征向量，求 与 y 满足的关系18 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为 1
5、(1，1，1)T， 2(1，0，1) T，a 3(1，2，4) T，求 A10019 设 3 阶矩阵 A 与对角阵 D 相似，证明：矩阵 C(A 1E)(A 2E)(A 3E)O20 设矩阵 相似 (1)求 a，b 的值； (2)求一个可逆矩阵 P，使 p-1AP B21 设 A ，问当 k 取何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP 成为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵22 已知矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量， 2 是 A 的 2 重特征值试求可逆矩阵 P，使 P-1AP 成为对角矩阵23 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?24 设 n 阶矩阵 AO，存在某正整数 m，使
6、AmO，证明：A 必不相似于对角矩阵25 设 A 为 3 阶矩阵，3 维列向量 ，A，A 2 线性无关，且满足3A2A 2A 30，令矩阵 P A A2， (1)求矩阵 B，使 APPB； (2)证明A 相似于对角矩阵26 设 A 为 3 阶矩阵，A6，AEA 2E A3E 0，试判断矩阵(2A) *是否相似于对角矩阵，其中(2A) *是(2A)的伴随矩阵27 设 A、B 均为 n阶矩阵，且 ABAB，A 有 n 个互不相同的特征值1， 2， n，证明： (1)i1(i1，2，n)； (2)AB BA ； (3)A 的特征向量都是 B 的特征向量； (4)B 可相似对角化28 设 已知线性方程
7、组 A 有解但解不唯一试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵29 设矩阵 ，BP -1A*P，求 B2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵30 设矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 12(b0)(1)求a、b 的值；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P-1APA 为对角矩阵31 设矩阵 A 可逆，向量 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是 A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值32 设 (a 1，a 2，a n)T 是 Rn 中的非零向量，方阵 A T(1)证明：对正整数m，存在常数 t，使 Amt
8、m-1A，并求出 t；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P-1AP为对角矩阵33 设 n 阶矩阵 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵34 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 26 是 A 的二重特征值，若1 (1，1，0) T， 2(2 ，1，1) T， 3(1，2，3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A35 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A1 1 2 3，A 22 2 3，A 32 23 3 () 求矩阵 B，使得A(1， 2，
9、3)( 1， 2， 3)B； ( )求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P，使得p-1AP 为对角矩阵考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 (0，6，20) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 24【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【
10、正确答案】 a 2(a2 n)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 若 0，则有0EA0，即(1)nA0， A0，这与 A 可逆矛盾，故必有 0；由 A 两端右乘 A-1，得 A-1，两端同乘 ，得 A-1 ，故 为 A-1 的一个特征值，且 为对应的特征向量；因 A-1AA * 代入 A-1 ，得 A* ，故 为 A*的一个特征值，且 为对应的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 Bf(A)
11、，其中 f() 32 24由 A12 1，两端左乘 A，得A212A 1，将 A12 1 代入，得 A212 214 1，类似可得 A312 318 1，B1(A 32A 24E) 1A 312A 214 12 312.2 214 1(2 32.2 24)1 f(2)14 1，类似可得 B2f(1) 2 2，B 3f(0) 34 3，所以，B 的特征值为 4，1，4，对应特征向量分别为 1， 2， 3因为 1， 2， 3 线性无关，所以矩阵 P 1 2 3可逆，且有 P-1BP 为对角矩阵，两端取逆矩阵，得 P-1B-1P ，由此知 B-1 的特征值为 ，对应特征向量分别为1， 2， 3【知识
12、模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 已知 A*，两端左乘 A，并利用 AA*AE 4E，得A4，即 ，对比两端对应分量得 ，由此解得 k1，1，或 k2，4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 (1)设 11 22 33，得线性方程组 ，解此方程组得 12， 2 2， (2)A nA n(212 2 3)2A n12A n2A n3， 由于 Ai ii，A ni ini，i1，2，3 故 An2 1n12 2n2 3n3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 已知 A* 0，两端左乘 A，并利用 AA*AE ，得 0A，由此解得 01，b3，ac
13、再由A1 和 ac，有n31， ac 2因此 a2，b3，c2， 01【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 (2)A 的特征值为 1 2 31，但矩阵E A 的秩为 2，从而与 1 对应的线性无关特征向量(即 A 的线性无关特征向量)只有 1 个，故 A 不能相似于对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 用反证法：若 1 2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量则有A(1 2) 0(1 2)，即 A1A 2 01 02，因 Ai ii(i1，2)，得( 1 0)1( 2 0)20，由于属于不同特征值的特征向量 1 与 2 线性无关，得1 00 2 0 1
14、 2，这与 12 发生矛盾【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 A 的特征值为 1 21， 31，由题设条件 A 有 3 个线性无关特征向量，知 A 的属于特征值 1 21 的线性无关特征向量有 2 个 齐次线性方程组(E A)0 的基础解系含 2 个向量 3r(EA) 2 r(EA) y0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 因 1， 2， 3 线性无关，故 A 相似于对角阵，令 P 1 2 3，则有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 由条件知，存在可逆矩阵 P，使 A ，故【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 (1)
15、由条件有EAE B，即 (2) 2(3)3a 3(a) 2(b) 得 a5，b6亦可直接利用特征值的性质，得，解得 a5，b6 (2)P【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由E A(1) 2(1)0 得 A 的全部特征值为 1 21， 31故 A 可对角化 A的属于 2 重特征值 1 21 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(E A)0 的基础解系含 2 个向量 3r( EA)2 r(EA) k0当 k0 时，可求出 A 的对应于特征值1，1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1(1，2，0) T， 2(1，0，2)T， 3(1，0，1) T，故令 P 1 2 3 ，则有
16、 P-1APdiag( 1，1，1) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 r(2E A)1， 2，y2；A 的特征值为 2，2，6【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 (1)是，因该方阵的特征值 11， 22， 33 互不相同； (2) 因A 的特征值为 1 2 3 41，但 r(EA)2， A 的线性无关特征向量只有2 个【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 可用反证法：设 为 A 的任一特征值， 为对应的特征向量，则有 A， A2A 2， Am m，因 AmO，0，得 0，故 A的特征值都是零，因此，若 A 可相似对角化，即存在可
17、逆矩阵 P，使 p-1APdiag(0 ，0，0) O，则 APOP -1O，这与 A0 矛盾【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 (1)APA A A2A A 2 A3A A 2 3A2A 2(2)由(1)有APPB，因 P 可逆，得 P-1APB，即 A 与 B 相似，易求出 B 的特征值为0，1，3，故 A 的特征值亦为 0，1，3，A 33 有 3 个互不相同特征值，因此 A相似于对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由条件有，EA(1) 3EA0，2EA (1)3 2EA0，3E A(1) 33EA0， A 有特征值1，2，3，从而是 A 的
18、全部特征值，A -1 的全部特征值为1， ，而(2A)*2A (2A) -12 3A A-124 -1， (2A)*24A -1 的全部特征值为24，12，8，因 3 阶方阵(2A) *有 3 个互不相同特征值，故 (2A)*可相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 (1)即证EA0，或EA0 或 EA 可逆，这可由ABAB (AE)(E B)E ， AE 可逆，且 (AE) -1E B (2)由(1)的(A E)-1E B， (A E)(EB)(EB)(A E) ，即AABEBAEBAB ABBA (3)设 为 A 的属于特征值 i 的特征向量，则 A i，两端左乘
19、 B，并利用 BAAB，得 A(B) i(B)，若B0，则 B 亦为 A 的属于 i 的特征向量，因属于 i 的特征子空间是一维的，故存在常数 ，使 B，因此 也是 B 的特征向量；若 B0，则 B0， 也是 B 的属于特征值 0 的特征向量 (4)由条件知 A 有 n 个线性无关的特征向量，于是由(3)知 B 也有 n 个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 B2E 的特征值为 9，9，3，属于 1 29的全部特征向量为愚 k1(1，1，0) Tk 2(2，0，1) T，其中
20、k1、k 2 是不全为零的任意常数，属于 33 的全部特征向量为 k3(0，1，1) T，其中 k3 是任意非零常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 由 1 2 3a2(2)1， 123A 2(2ab 2)12，解得 a1，b 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 由 A 可逆知 A*可逆，于是有 0，A 0由题设，有A*，两端左乘 A 并利用 AA*AE，得A A，或 A 即b1 或b2，将 a2 代入矩阵 A 得A4。于是得 ，所以，a2，b1， 1；或 a2，b2，4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 (1)A m( T)(T
21、)( T)( T)m-1T( T)m-1(T)Ar m-1A，其中 t ai2(2)AO， 1秩(A) 秩( T)秩() 1，秩(A)1，因实对称矩阵 A 的非零特征值的个数等于它的秩，故 A 只有一个非零特征值，而有 n1 重特征值 1 2 n-10设 a10，由 0EAA得属于特征值 0 的特征值可取为：由特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 0 00 n ai2，得 nai2 T，由 A( T)( T) n n 及 0，得与 n 对应特征向量为，令 P 1 2 n-1 ，则有 P-1APdiag(0 ，0，0， ai2)为对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量33 【正确答案】
22、 (1)1当 b0 时， E A 1(n1)b(1b) n-1 故 A 的特征值为 11(n1)b ， 2 n1b 对于 11(n1)b，设对应的一个特征向量为 1，则 解得1(1，1，1) T，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1k(1，1，1) T，其中 k 为任意非零常数 对于 2 n1b，解齐次线性方程组(1b)E A0，由 解得基础解系为 2(1，1，0， ，0) T， 3(1，0，1，0)T， ， n(1，0，0，1) T故属于 2 n 的全部特征向量为 k22k 33k nn，其中 k2，k 3，k n 为不全为零的任意常数 2当 b0 时，AE A 的特征值为 1 2 n1
23、，任意 n 维非零列向量均是特征向量 (2)1当 b0 时，A 有，n 个线性无关的特征向量，令矩阵 P 1 2 n，则有 p -1APdiag(1 (n 1)b，1b，1b) 2 当 b0 时，A E，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P-1APE【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量34 【正确答案】 (1)因为 1 26 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 由 r(A)2 知A0，所以 A 的另一特征值为 3 0 设 30 对应的特
24、征向量为 ( 1， 2， 3)T，则有iT0(i1，2)，即 解得此方程组的基础解系为(1，1， 1)T，即 A 的属于特征值 30 的特征向量为 kk(1，1，1) T(k 为任意非零常数) (2)令矩阵 P 1， 2，则有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量35 【正确答案】 () 由题设条件，有 A( 1， 2， 3)(A 1，A 2，A 3)( 1 2 3，2 2 3，2 23 3) ( 1， 2， 3) 所以，B() 因为 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，可知矩阵C( 1， 2， 3)可逆，所以由 ACCB ，得 C-1ACB ，即矩阵 A 与 B 相似由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值 由EB (1)2(4) 0 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值为 1 21， 34 ()对应于 1 21，解齐次线性方程组(EB) 0，得基础解系 1(1，1，0)T， 2( 2，0，1) T； 对应于 34，解齐次线性方程组 (4ES)0得基础解系 3(0，1，1) T 令矩阵 因 Q-1BQQ -1C-1ACQ(CQ) -1A(CQ)，记矩阵 PCQ( 1， 2， 3) ( 1 2，2 1 3， 2 3) 则有 p-1APQ -1BQdiag(1，1，4)，为对角矩阵，故 P 为所求的可逆矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
