1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当 axb 时，有( )（A）f(x)g(b) f(b)g(x) 。（B） f(x)g(a)f(a)g(x)。（C） f(x)g(x)f(b)g(b) 。（D）f(x)g(x) f(a)g(a) 。2 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示，则导函数 y=f(x)的图形为( )3 设函数 f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1 x)+f(1)x，则在区间0，
2、1上( )（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)。（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)。（C）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)。（D）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)。4 设 f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x ，y)都有 0，则( )（A）f(0，0)f(1 ，1) 。（B） f(0，0)f(1 ，1)。（C） f(0，1)f(1 ，0)。（D）f(0，1)f(1 ，0) 。5 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当x(a，a+)时，必有( )（A）(x a)f(x) f(a)0。（B） (xa)f(x)f(a)0。
3、（C）（D）6 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。7 已知函数 f(x)在区间(1 ，1+)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则( )（A）在(1 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x。（B）在 (1，1)和(1，1+)内均有 f(x)x。（C）在 (1，1)内，f(x)x，在(1，1+)内，f(x)x。
4、（D）在(1 ，1) 内，f(x)x，在(1，1+)内，f(x)x。8 曲线 y=(x1) 2(x3) 2 的拐点个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。9 设函数 f(x)在(，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有( )（A）一个极小值点和两个极大值点。（B）两个极小值点和一个极大值点。（C）两个极小值点和两个极大值点。（D）三个极小值点和一个极大值点。10 设 f(x)=|x(1x)|，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。（C）
5、x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。二、填空题11 已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 w 以 3cms 的速率增加。则当 l=12cm，w=5am 时，它的对角线增加速率为_ 。12 曲线 上对应于 t=1 的点处的法线方程为_。13 曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点(r，)=(2，2)处的切线的直角坐标方程是_。14 已知动点 P 在曲线 y=x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l。若点 P 的横坐标对时间的变化率为常数 v0，则当点
6、P 运动到点(1，1) 时，l 对时间的变化率是_。15 设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_。16 函数 y=x2x 在区间(0，1 上的最小值为_。17 曲线 y=(x5)x 23 的拐点坐标为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设函数 f(x)=01|t2x 2|dt(x0)，求 f(x)，并求 f(x)的最小值。19 设 x(0，1)，证明：( )(1+x)ln 2(1+x)x 2；20 设 ba 0，证明不等式21 设 eabe 2，证明：ln 2bln 2a4e 2(ba)。22 证明：当 0a b 时，bsin
7、b+2cosb+basina+2cosa+a。23 证明：xln +cosx1+ (1x1) 。24 设函数 f(x)，g(x) 在区间 a，b上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1，证明：()0axg(t)dtxa，xa，b； f(x)dxabf(x)g(x)dx。25 已知函数 f(x)在区间a，+) 上具有二阶导数，f(a)=0，f(x)0，f“(x) 0，设ba，曲线 y=f(x)在点(b，f(b)处的切线与 x 轴的交点是(zx 0，0)，证明 ax 0b。26 讨论曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数。27 已知函数 f(x)=x1 dt，求 f(x)零点
8、的个数。27 已知 f(x)在0，32上连续，在(0，3 2)内是函数 的一个原函数，且f(0)=0。28 求 f(x)在区间0，32上的平均值；29 证明 f(x)在区间(0，32)内存在唯一零点。30 已知函数 y=y(x)满足微分方程 x2+y2y=1y，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=f(x)g(x)，则 则F(x)在 axb 时单调递减，所以对任意的 axb，F(a)F(x)F(b)，即得 f(x)g(b
9、)f(b)g(x) ，ax b ，A 为正确选项。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y=f(x)是严格单调增加的，因此当 x0 时，一定有 f(x)0，对应 y=f(x)图形必在 x 轴的上方，由此可排除A，C；又 y=f(x)的图形在 y 轴右侧靠近 y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有 f(x)0，对应 y=f(x)图形必在 x 轴的上方，进一步可排除 B，故正确答案为 D。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：令 F(x)=g(x)f(x)=f(0)(1 x)+f(1)xf(x)，则
10、F(0)=F(1)=0，且F(x)=f(0)+f(1)f(z)，F“(z)= f“(x)，若 f“(x)0，则 F“(x)0，曲线 F(x)在0 ，1上是向上凸的。又 F(0)=F(1)=0，所以当 x0，1时，F(x)0，从而 g(x)f(x)。故选 D。方法二：本题采用第一条思路更简便，首先将函数变形为g(x)=f(1)f(0)x+f(0)，易知直线 g(x)过曲线 f(x)上的两个点 (0，f(0) ，(1 ，f(1)，则直线 g(x)是曲线 f(x)上的一条割线，当 f“(z)0 时，曲线 f(x)为凹函数，连接曲线上任意两点的直线在曲线的上方，故 g(x)f(x)，故选 D。【知识模
11、块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 0，则 f(x，y)关于 x 单调递增，故 f(0，1)f(1 ，1)。又由于 0，可知 f(x，y)关于 y 单调递减，故 f(1，1)f(1 ，0)，从而f(0，1)f(1， 0)，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 x=a 是 f(x)的极大值点，则存在 0，当 x(a ，a+)时，f(x)f(a)，即 f(x)f(a)0 。因此，当 x(a，a)时，(xa)f(x)f(a)0；当x(a，a+)时，(x a)f(x)f(a)0。所以，A 与 B 都不正确。已知 f(x)在 x=a 处连续
12、，由函数在一点连续的定义可知， f(x)=f(a)，再由极限四则运算法则可得应选 C。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 令等式 f“(x)+f(x)2=x 中 x=0，得 f“(0)=0f(0) 2=0，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点。再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：f“(x)=(xf(x) 2)=1 2f(x)f“(x)，以 x=0 代入，有f“(0)=1，所以 从而知，存在 x=0的去心邻域，在此去心邻域内，f“(x)与 x 同号，于是推知在此去心邻域内当 x0时曲线 y=f(x)是凸的，在此去心邻域内 x0 时曲线 y
13、=f(x)是凹的，点(0，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点，选 C。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：令 F(x)=f(x)x，则 F(x)=f(x)1=f(x)f(1) 。由于 f(x)严格单调减少，因此当 x(1 ，1)时，f(x)f(1)，则 F(x)=f(x)f(1) 0；当x(1，1+)时，f(x)f(1)，则 F(x)=f(x)f(1)0，且在 x=1 处 F(1)=f(1)f(1)=0，根据判定极值的第一充分条件：设函数 f(x)在 x0 处连续，且在 x0 的某去心 邻域内可导，若 x(x0，x 0)时，f(x)0，而 x(x0，x 0+
14、)时，f(x) 0，则 f(x)在 x0 处取得极大值，知 F(x)在 x=1 处取极大值，即在(1，1)和(1，1+) 内均有F(x)F(1)=0 ，也即 f(x)x。故选 A。方法二：排除法，取 f(x)= +x，则f(x)=2(x1)+1=2x+3，f“(x)=20，所以满足题设在区间(1，1+)内具有二阶导数，g(x) 严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，当 x1 时或 x1 时，均有 f(x)= +xx，因此可以排除 B，C，D，选 A。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 y=2(x1)(x3) 2+2(x1) 2(x3)=4(x1)(x 2)(x3)
15、， y“=4(x2)(x3)+(x1)(x3)+(x 1)(x2) =4(3x 212x+11)， y“=24(x2)， 令 y“=0，即3x212x+11=0 ，因为判别式：=b 24ac=12 24311=12 0，所以 y“=0 有两个不相等的实根，且 y“(2)=32 2122+11=10，所以两个实根不为 2，因此在使 y“=0 这两点处，三阶导数 y“0(一般地，若 f“(x0)=0，且 f“(x0)0，则点(x0，f(x 0)一定是曲线 y=f(x)的拐点)，因此曲线有两个拐点，故选 C。 或根据y“=4(3x212x+11)是一条抛物线，且与 x 轴有两个不相同的交点，所以在两
16、个交点的左右 y“符号不相同，满足拐点的定义，因此选 C。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由导函数的图形可知，有 3 个一阶导数为零的点，而 x=0 是导数不存在的点。三个一阶导数为零的点两侧导数符号不同，因此为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，因此 x=0为极大值点，即 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选 C。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 求分段函数的极值点与拐点，只需要讨论 x=0 两边 f(x)，f“(x)的符号。可以选择区间(1，1)来讨论。 f(x)在x=0
17、两边异号，所以(0，0)是极值点。f“(x)在 x=0 两边异号。从而(0，0)为拐点。所以，x=0 是极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 3cms【试题解析】 设 l=x(t)，w=y(t) ，对角线为 S(t)，根据题意，在 t=t0 时刻，x(t 0)=12，y(t 0)=5，且 x(t0)=2，y(t 0)=3。又因 S(t)= ，则有则对角线增加速率为3cms 。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 当 t=1 时，x=4， 则该点切线斜率k=dydx| t=1=1，所以法线的斜率
18、 k=1，故法线方程为 y ln2=1(x【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 由直角坐标和极坐标的关系 于是点(r，)=(2， 2)对应于点(x，y)=(0，2) ，且切线斜率 所以 dydx =2 =2。切线方程为【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 2 v0【试题解析】 根据题意 l= ，则 故dldt| x=1=2 v0。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (，1【试题解析】 令d2ydx 20 t0。又 x=t3+3t+1 单调递增，在 t0 时，x(，1)；t=0 时，x=1 (，13 时，曲线 y=y(x)向上凸。【知识模块】 一元函
19、数微分学16 【正确答案】 e 2e【试题解析】 因为 y=x2x(2lnx+2)，令 y=0 得驻点为 x=1e 。 当 x(0，1e)时，y(x)0；当 x(1e，1时，y(x)0。故 y 在(0 ，1e) 上递减，在(1 e ，1)上递增。 所以 y=x2x 在区间(0，1上的最小值为 y(1e)=e 2e 。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (1，6)【试题解析】 y=x 53 5x 23 x=1 时，y“=0；x=0 时，y“不存在。在 x=1 左右两旁 y“异号，在 x=0 左右近旁 y“0，且 y( 1)=6，故曲线的拐点为(1，6)。【知识模块】 一元函数微分学三
20、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 当 0x1，有 f(x)=0x(x2t 2)dt+x1(t2x 2)dt= x1时，f(x)= 01(x2t 2)dt=x2 ，则 由导数的定义可知 f(1)=2。故 易知 0x12 时，f(x)0；x12 时，f(x)0。故 f(x)在0，+)上的最小值为 f(12)=14。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 () 令 (x)=x2(1+x)ln 2(1+x)，则 (x)=2xln 2(1+x)2ln(1+x)，“(x)= xln(1+x)，“(x)= 0(0x1)， “(x)在(0，1)内单调递增，“(x)“(
21、0)=0(0x1)， (x)在(0，1)内单调递增，(x) (0)=0(0x1) ， (x)在(0，1)内单调递增，(x)(0)=0(0x1)，即(1+x)ln 2(1+x)x 2。由()，f(x)0(0 x 1) f(x)在(0，1) 单调减 f(1)f(x)f(0+)(0 x1)，而 f(1)= 1，且【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 方法一：(1)先证右边不等式，即 设 (x)=lnx lna (xa0)，因为故当 xa 时，(x)单调减少，又 (a)=0，所以，当 xa 时，(x)(a)=0，即 从而当ba0 时，有 (2)再证左边不等式，即设函数 f(x)=lnx(xa
22、0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (a，b)使 由于 0a b，故11b2a (a 2+b2)，从而 方法二：右边的不等式证明同方法一，下面证左边的不等式。设 f(x)=(x2+a2)(lnxlna)2a(xa)(xa 0)，因为f(x)=2x(lnxlna)+(x 2+a2) 2a=2x(lnx lna)+ 0，故当 xa 时，f(x)单调增加，又 f(a)=0，所以当 xa 时，f(x) f(a)=0，即(x 2+a2)(lnxlna) 2a(x a)0。从而当 ba 0 时，有 (a2+b2)(lnblna) 2a(ba)0，即【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 方法
23、一：对函数 ln2x 在a，b 上应用拉格朗日中值定理，得ln2bln 2a=2ln(ba)，a b。设 (t)=lntt，(t)=(1lnt)t 2，当 te 时，(t)0，所以 (t)单调减少，从而 ()(e 2)，即 lnlne 2e 2=2e 2，故ln2bln 2a4e 2(ba)。方法二：设 (x)=ln2x x，则因此当 xe 时，“(x)0，故 (x)单调减少，从而当 exe 2 时， (x)(e 2)= =0，即当 exe 2 时，(x)单调增加。因此当 eabe 2 时，(b)(a)，即 ln2b bln 2a a，故ln2bln 2a4e 2(ba)。【知识模块】 一元函
24、数微分学22 【正确答案】 令 f(x)=xsinx+2cosx+x。只需证明当 0x 时， f(x)严格单调增加即可。f(x)=sinx+xcosx2sinx+=xcosxsinx+，f“(x)=cosxxsinxcosx=xsinx0，所以 f(x)严格单调减少。又 f()=cos+=0，故 0x 时 f(x)0，则 f(x)单调增加。根据 ba 可得 f(b)f(a) ，即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 f(x)=xln +cosx1 ，可得当 0x1 时，有 ln xsinx0，故 f(x)0。因此，xln (1
25、x1)。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 () 因为 0g(x)1，所以由定积分比较定理可知， ax0dtaxg(t)dtax1dt，即 0axg(t)dtxa 成立，xa ，b。()令 F(x)=axf(t)g(t)dt f(t)dt，且 F(a)=0。F(x)=f(x)g(x)fa+ axg(t)dtg(x)=g(x)f(x)fa+ axg(t)dt，由()可知 axg(t)dtxa，所以 a+axg(t)dtx。由 f(x)是单调递增函数，可知 f(x)fa+ axg(t)dt0。又因为 0g(x)1，所以 F(x)0，即 F(x)单调递增，所以 F(b)F(a)=0，得证
26、。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 切线方程为 y=f(b)(xb)+f(b)，与 x 轴的交点为(b ，0)，则有 x0=b 由于 f(x)0，可知 f(b)f(a)=0，故 b b。下面证明 ba，由于 f(b)0，故不等式可化为 bf(b)f(b)af(b)，则令 g(x)=xf(x)f(x)af(x)，g(a)=0 ，g(x)=(xa)f“(x)0，可知当 xa 时，g(x)0。故 xf(x)f(x)af(x)0，即 b a，证毕。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设 (x)=ln4x4lnx+4x k，则有 (x)= 易知，x=1 是 (x)的驻点。当 0
27、x1 时，(x)0，即 (x)单调减少；当 z=x1 时，(x)0，即 (x)单调增加，故 (1)=4k 为函数 (x)的最小值。当 k4，即 4k0 时，(x)=0 无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即 4k=0 时， (x)=0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k4，即 4k0 时，且 lnx(ln3x4)+4xk=+；lnx(ln3x4)+4x k=+，故 (x)=0 有两个实根，分别位于(0 ，1)与(1， +)内，即两条曲线有两个交点。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 先求函数的单调区间。 可知f(x)在(，12)上单调递减，在(12，+)上单调递增。下面判断
28、函数在 12处的函数值以及在正无穷，负无穷处函数的趋势。由零点存在定理可知函数存在两个零点。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由题设可知 f(x)=0x dt，x(0，32)，则 f(x)在区间0，32 上的平均值【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 因为 f(x)在区间0 ，32上的平均值为 13，所以由积分中值定理可知，存在 0，32，使得 f(s)=130。由 f(x)= 可知：当0x2 时，f(x)0，f(x)单调递减，于是 f(2)f(0)=0；当2x32 时，f(x) 0，f(x) 单调递增，于是 (2，32，且 f()0。由零点
29、定理和 f(x)的单调性可知，f(x) 在(2，) (0，3 2)上有唯一的零点。【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由 x2+y2y=1y，得(y 2+1)y=1x 2，(1) 此方程为可分离变量的方程，其通解为 13y 3+y=x x3+C。由 y(2)=0 得 C=23。又由(1)式可得 y(x)=(1x 2)(y 2+1)。当 y(x)=0 时，x=1，且有 x 1，y(x) 0；1x1，y(x)0；x1，y(x)0，所以 y(x)在 x=1 处取得极小值，在 x=1 处取得极大值，且y(1)=0 ，y(1)=1。所以 y(x)的极大值为 1，极小值为 0。【知识模块】 一元函数微分学
