1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2+y22y，则 f(xy)dxdy 等于( )（A） 1 1dx f(xy)dy。（B） 202dy f(xy)dx。（C） 0d02sinf(r2sincos)dr。（D） 0d02sinf(r2sincos)rdr。2 设 f(x，y)为连续函数，则 04 d01f(rcos，rsin)rdr 等于( )3 设函数 f 连续，若 F(u，v)= dxdy，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 =( )（A）vf(u 2
2、)。（B） vuf(u 2)。（C） vf(u)。（D）vuf(u)。4 设 D 是第一象限由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x，y= x 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 f(x，y)dxdy=( )5 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 2 dxsinx1f(x， y)dy 等于( )（A） 01dyx+arcsinyf(x，y)dx。（B） 01dyxarcsiny f(x，y)dx。（C） 01dy 2x+arcsinyf(x，y)dx。（D） 01dy2 xarcsiny f(x，y)dx。6 设函数 f(x， y)连续，则 12dxx2f(x，y)
3、dy+ 12dyy4y f(x，y)dx=( )（A） 12dx14x f(x，y)dy 。（B） 12dxx4x f(x，y)dy。（C） 12dy14y f(x，y)dx。（D） 12dyy2f(x，y)dx7 设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0 ，f(x) 为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 d=( )（A）ab 。（B） ab2。（C） (a+b)。（D） 。8 设区域 D 由曲线 y=sinx，x=2，y=1 围成，则 (xy51)dxdy=( )（A）。（B） 2。（C） 2。（D）。9 设 Dk 是圆域 D=(x，y)|x 2+y21在第 k 象限的部分
4、，记 Ik= (yx)dxdx(k=1，2，3，4)，则 ( )（A）I 10。（B） I20。（C） I30。（D）I 40。10 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= +，且当x0 时， 是x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于( )（A）2。（B） 。（C） e4 。（D）e 4 。二、填空题11 设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分xyd=_。12 01dyy1tanxxdx=_。13 微分方程 y= 的通解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求二重积分 max(xy，1)dxdy ，其中 D=
5、(x，y)|0x2，0y2 。15 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 I= xyf“xy(x，y)dxdy。16 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成，计算 x2dxdy 的值。17 计算二重积分 |x2+y21|d，其中 D=(x，y)|0x1，0y1。18 求二重积分 (xy)cbcdy，其中 D=(x，y)|(x1) 2+(y1) 22，yx 。19 计算二重积分 I= r2sin drd，其中 D=(r，)|0rsec，04。20
6、 计算二重积分 xyd，其中区域 D 为曲线 r=1+cos(0)与极轴围成。21 已知平面区域 D=(x，y)|x 2+y22y，计算二重积分 (x+1)2dxdy。22 设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0，计算二重积分 dxdy。23 设二元函数 计算二重积分 f(x，y)d，其中 D=(x，y)|x|+|y|2 。24 设平面区域 D=(x，y)|1x 2+y24，x0 ，y0 ，计算 dxdy。25 计算二重积分 x(x+y)dxdy，其中 D=(z，y)|x 2+y22，yx 2。26 设 D 是由直线 y=1，y=x，y=x 围成的有界区域，计算二重积分dxdy。27 设
7、函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题的解。求 d2ydx 2。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域如图所示。在直角坐标系下，故应排除A，B。在极坐标系下， 则 f(xy)dxdy=0d02sinf(r2sincos)rdr，故应选 D。【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 C【试题解析】 先还原出积分区域，由于 r 的取值范围为 0 到 1，可知积分区域在圆x2+y2=1 的内部；又由于 的取值范围为 0 到 4，可知积分区域为 x 的正半轴和射
8、线 =4 之间的部分。如图所示：由积分区域的形状可知，应该先对 x 积分，可得原式= f(x，y)dx。【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 A【试题解析】 图中所示区域用极坐标表示为 0v，1ru。因此可知 F(u，v)=dxdy=0vd1uf(r2)rrdr=v 1uf(r2)dr，根据变限积分求导可得=vf(u2)。【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 B【试题解析】 先作出积分区域的图形，如下图： 可知 的取值范围为 43，r 的取值范围为 ，另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式为 dxdy=rddr。答案是 B。【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 B【试题解析】 本题是
9、二次积分的积分次序的更换，需先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分。由题设可知，2x，sinxy1，则0y1， arcsinyx。故应选 B。【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 C【试题解析】 12dxx2f(x， y)dy+12dyy4y f(x，y)dx 的积分区域为两部分：D1=(x，y)|1x2，xy2，D 2=(x，y)|1y2 ，yx4y，将其合并 D=(x，y)|1y2，1x4y(如下图)。故二重积分可以表示为 12dy14y f(x，y)dx，故答案为C。【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域关于直线 y=x 对称，则由轮换对称性，有应选
10、 D。【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 D【试题解析】 为了便于讨论，再引入曲线 y=sinx 现将区域分为D1，D 2，D 3，D 4 四部分。由于 D1，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D1D2 上关于 x 的奇函数积分为零，故 xy5dxdy=0；又由于 D3，D 4 关于 x 轴对称，可知在D3D4 上关于 y 的奇函数为零，故 xy5dxdy=0。因此 (xy51)dxdy= dxdy= 2 2 dxsinx1dy=，故选 D。【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则代入 k 的值得I1=0，I 2=230，I 3=0，I 4=230。故选 B。
11、【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由y= 令x0，得 是x 的高阶无穷小，则分离变量，得 dyy= ，两边积分，得 ln|y|=arctanx+C，即 y=C1earctanx。代入初始条件 y(0)=，得 y(0)=C1earctan0=C1=。所以，y=e arctanx，y(1)=e 4 。【知识模块】 常微分方程二、填空题11 【正确答案】 712【试题解析】 方法一：利用极坐标变换，D：42，0r2sin，因此xyd=4 2 d02sinr2cossinrdr=4 2 cossinr 44| 02sind=44 2 sin5Od(sin)=23sin 6|4
12、2 =712。方法二：根据直角坐标变换，已知直线和圆的交点为(1 ，1) ，上半圆周的方程为 y=1+ 直角坐标区域为 D：0x1，xy1+则【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 积分区域为(x，y)|yx1 ，0y1，如图所示：交换积分次序，得01dyy1tanxxdx= 01dx0xtsnxxdy= 01tanxdx=ln(cosx)| 01=ln(cos1)。【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 y=Cxe x(x0)，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程等价为 dyy=( 1)dx，两边积分得 lny=lnxx+C 1，整理得 y=Cxex (C= ，x0)，其中 C 为任
13、意常数。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域分成两个区域 D1 和 D2+D3，为了便于计算继续对区域分割， max(xy，1)dxdy=12 2dx12 2xydy+12 2dx01x 1dy+012 dx02dy【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 将二重积分 xyf“xy(x，y)dxdy 转化为累次积分可得 xyf“xy(x，y)dxdy=01dy01xyf“xy(x，y、)dx。首先考虑 01xyf“xy(x，y)dx，注意这里是把变量 y 看做常数的，故有 01xyf“xy(x，y)dx=y 01x
14、dfy(x，y)=xyf y(x，y)| 01 01yfy(x，y)dx=yfy(1，y) 01yfy(x， y)dx。由 f(1，y)=f(x，1)=0 易知 fy(1，y)=f x(x，1)=0。故01xyf“xy(x，y)dx= 01yfy(x，y)dx， xyf“xy(x，y)dxdy= 01dy01xyf“xy(x，y)dx= 01dy01yfy(x，y)dx ，对该积分交换积分次序可得 01dy01yfy(x，y)dx= 01dx01yfy(x，y)dy 。再考虑积分 01yfy(x，y)dy，注意这里是把变量 x 看作常数的，故有 01yfy(x，y)dy= 01ydf(x，y)
15、=yf(x ，y)| 01 01f(x，y)dy= 01f(x，y)dy。因此 xyf“xy(x，y)dxdy= 01dx01 代 0t，小 dxdyyfy(x，y)dy= 01dx01f(x，y)dy= f(x，y)dxdy=a。【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 根据已知 y=3x 与 x+y=8 的交点为 (2，6)，y=1 3x 与 x+y=8 的交点为(6 ，2) 。直线 x=2 将区域 D 分为 D1 和 D2 两部分，则有=02x2dxx3 3xdy+26x2dxx3 8x dy=4163。【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 记 D1=(x，y)|x 2+y21，(x
16、，y)D，D 2=(x，y)|x 2+y21，(x，y)D，于是= 02 d01(r21)rdr+ (x2+y21)dxdy (x2+y21)dxdy= +01dx01(x2+y21)dy 02 d01(r21)rdr【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 本题所示的积分区域是 D=(x，y)|(x 1) 2+(y1) 22，yx。由(x1) 2+(y1) 22，得 r2(sin+cos)，=4 34 d02(cos+sin)r(cossin)rdr=4 34 (cossin)13r 3|02(cos+sin)d=83 4 34 (cossin)(cos+sin)3d=83 4 34 (co
17、s+sin)3d(cos+sin)【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标可得积分区域，由 x=rcos，y=rsin，则 由 D 的极坐标表示：0 4，0r1 cos，可知 D 的边界线是：y=0，y=x ，x=1。即D=(x，y)|0x1，0yx ，如下图所示。=12 01dx0x d(1x 2+y2)=13 01(1x 2+y2)32 |0xdx=13 011(1x 2)32 dx。利用换元法，记 x=sint，则【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 xyd=0d01+cosrcosrsin rdr=14 0sincos(1+cos)4d=14 0cos(1+
18、cos) 4dcos，令 u=cos 得，原式=14 1 1u(1+u)4du=1615。【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+(y1) 21，x0，则=202 d02sinr2cos2rdr+=8 02 sin4cos2d+=802 sin4(1 sin2)d+=8(02 sin4d 02 sin6d)+【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 积分区域 D 为右半单位圆，且关于 x 轴对称。函数 f(x，y)=是变量 y 的偶函数，g(x，y) 是变量 y 的奇函数。设D1=Dy0，则【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 积分区域如图所示。因为被积函数
19、关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 其中 D1 为 D 在第一象限内的部分。=01dx01x x2dy+I2= +I2，对 I2 采用极坐标计算，令 x=rcos，y=rsin ，0 2，则 x+y=1 和 x+y=2分别化为【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 D 关于 y=x 对称，满足轮换对称性，则=4(1)12rdcosr=14(cosr r|12 12cosrdr)=14(2+1 sinr|12)=34。【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 先作出积分区域(如图)。 由于积分区域关于 y 轴对称，所以由对称性可知：【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 积分区域如图所示 由对称性可知，(D1 为 D 在第一象限的部分)，而=4 2 d01sin (cos2sin 2)rdr=12 4 2 (cot21)d=12 4 2 (cot2+1 2)d=12 4 2 csc2d【知识模块】 二重积分27 【正确答案】 由 dxdt2te x =0 得 exdx=2tdt，由条件 x|t=0=0 得 ex=1+t2，即x=ln(1+t2)。所以 =(1+t2)ln(1+t2)+1=ex(x+1)。【知识模块】 常微分方程
