1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 具有特解 y1=ex ，y 2=2xex ，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（A）y“y“y+y=0。（B） y“+y“y y=0 。（C） y“6y“+11y6y=0。（D）y“2y“y+2y=0。2 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为( )（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。（C） y*=ax2+bx+c+Asinx。（D）y *=ax2
2、+bx+c+Acosx。3 函数 y=C1ex+C2e2x +xex 满足的一个微分方程是( )（A）y“y 2y=3xe x。（B） y“y 2y=3ex。（C） y“+y2y=3xe x。（D）y“+y2y=3e x。4 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y“+y“ 4y4y=0。（B） y“+y“+4y+4y=0。（C） y“y“4y+4y=0 。（D）y“y“+4y4y=0。5 微分方程 y“ 2y=ex+ex (0)的特解形式为( )（A）a(e x+ex )。（B） ax(ex+ex )。（C
3、） x(aex+bex )。（D）x 2(ax+bex )。6 微分方程 y“4y+8y=e 2x(1+cos2x)的特解可设为 y*=( )（A）Ae 2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)。（B） Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)。（C） Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)。（D）Axe 2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)。7 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A）=12，=12。（B） =12，=12。（C）
4、 =23，=13。（D）=23，=23。二、填空题8 过点(1 2，0) 且满足关系式 yarcsinx+ =1 的曲线方程为_。9 微分方程(y+x 3)dx2xdy=0 满足 y|x=1=65 的特解为 _。10 微分方程 xy+2=xlnx 满足 y(1)=19 的解为_ 。11 微分方程(y+x 2ex )dxxdy=0 的通解是 y=_。12 微分方程 y+y=ex cost 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_。13 微分方程 ydx+(x3y 2)dy=0 满足条件 y|x=1=1 的解为 y=_。14 设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 df(x， y)=yeydx+
5、x(1+y)eydy，f(0 ，0)=0，则 f(x， y)=_。15 微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 y|x=0=1，y| x=0=12 的特解是_。16 y“ 4y=e2x 的通解为 y=_。17 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“4y+3y=2e 2x 的通解为 y=_。18 三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“+y2y=0 的通解为 y=_。19 设函数 y=y(x)是微分方程 y“+y2y=0 的解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3，则y(x)=_。20 已知 y1=e3xxe 2x，y 2=exxe 2x，y 3=xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3
6、 个解，则该方程满足条件 y|x=0=0，y| x=0=1 的解为 y=_。21 以 y=x2 ex 和 y=x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求初值问题 的解。23 求微分方程 xdy+(x2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线x=1，x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积最小。24 求微分方程 y“(x+y2)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解。25 设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“y+2=0 ，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直
7、线 x=1 及 y=0 围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。25 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex。26 求 f(x)的表达式；27 求曲线 y=f(x3)|f(t 2)dt 的拐点。28 已知 y1(x)=ex，y 2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程(2x1)y“(2x+1)y+2y=0 的解，若u(1)=e，u(0)=1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
8、案】 B【试题解析】 由特解 y1=ex ，y 2=2xex ，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道，r 2=1 为特征方程的二重根；由 y3=3ex 可知，r1=1 为特征方程的单根，因此特征方程为 (r 1)(r+1) 2=r3+r2r1=0， 由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为 y“+y“y y=0。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 2+1=0 特征根为 =i， 对于y“+y=x2+1=e0(x2+1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为：y *1=ax2+bx+c。 对于
9、 y“+y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y *2=x(Asinx+Bcosx)， 从而y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为1=1， 2=2。则对应的齐次微分方程的特征方程为(1)(+2)=0，即2+2=0 。故对应的齐次微分方程为 y“+y2y=0。 又 y*=xex 为原微分方程的一个特解，而 =1 为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式 f(x)=Cex(C 为常数) 。
10、 所以比较四个选项，应选 D。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 D【试题解析】 由微分方程的通解中含有 ex，cos2x，sin2x 知，齐次线性方程所对应的特征方程有根 r=1，r=2i，所以特征方程为 (r 1)(r2i)(r+2i)=0， 即r3r 2+4r4=0。 故所求的微分方程是 y“y“+4y4y=0 。【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 2=0，它的根为 r1，2 =，所以 y“ 2y=ex的特解为 y1*=axex，y“ 2y=ex 的特解为 y2*=bxex ，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y *=
11、y1*+y2*=x(aex+bex )。 因此选 C。【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 24+8=0，特征根为 =22i，将非齐次微分方程拆分为 y“4y+8y=e 2x(1)与y“ 4y+8y=e2xcos2x(2)。 方程(1)的特解可设为 y1*=Ae2x，方程(2) 的特解可设为y2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x)，由解的叠加原理可知原方程的特解可设为y*=Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)，故选 C。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知由 (1)+(2)得：(y1+
12、y2)+p(x)(y1+y2)=(+)q(x)，则 +=1。由 (1)(2)得：(y 1y 2)+p(x)(y1y 2)=()q(x)，则 =0 。综上 =12。【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 yarcsinx=x【试题解析】 方法一：因为(yarcsinx)=yarcsinx+ 所以原方程 yarcsinx+=1 可改写为(yarcsinx)=1，两边直接积分，得 yarcsinx=x+C。又由y(12)=0 代入上式，有 0arcsinx= +C，解得 C=12。故所求曲线方程为yarcsinx=x 方法二：将原方程写成一阶线性方程的标准形式由一阶线性微分方程 +P(x
13、)y=Q(x)通解公式：f(x)=eP(x)dx (C+Q(x)eP(x)dxdx)，这里 P(x)= ，Q(x)=1arcsinx ，代入上式得： 又由 y(12)=0，解得 C=12。故曲线方程为： yarcsinx=x【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【试题解析】 原方程变形为 y=12x 2，由一阶线性方程通解公式得y=e12xdx (1 2x2e1 2xdx dx+C)=e12lnx (12x 2e12lnx dx+C)已知 y|x=1=65，得 C=1，从而所求的解为 y= x3。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 y=13xlnx x【试题解析】 原方程等价为 y
14、+ y=lnx，于是通解为y=e2xdx lnxe 2xdx dx+C=1x 2x 2lnxdx+C 由 y(1)=1 9 得 C=0，故所求解为 y=13xlnx x。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 x(e x +C)，其中 C 为任意常数【试题解析】 已知微分方程(y+x 2ex )dxxdy=0，可变形为 =xex 。所以y=e1xdx xe xe1xdx dx+C=x(xex 1xdx+C)=x(e x +C)，其中 C 为任意常数。【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 e x sinx【试题解析】 根据一阶线性微分方程的初值问题，方程两边同时乘以 ex 得 (ye
15、x)=cosx， 对上式两边积分得 0x(yex)dx=0xcosxdx。解得 yex=sinx，即 y=ex sinx。【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 【试题解析】 对原微分方程变形可得 这是一阶线性微分方程，所以x=e1ydy 3ye 1ydy dy+C=1y3y 2dy+C=(y3+C)1y。又因为 y=1 时 x=1，解得 C=0，故 y=【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 xye y【试题解析】 根据全微分的表达式可知， f x(x，y)=ye y，f y(x，y)=x(1+y)ey，f(x，y)=ye ydx=xyey+c(y)， f y(x，y)=xe y+x
16、yey+c(y)=xey+xyey， 即 c(y)=0，即c(y)=C，因为 f(0，0)=0，故 C=0，即 f(x，y)=xye y。【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 y=【试题解析】 令 y=p 则积分得lnp=lny+C 1 即 py= =C。由 y(0)=12，y(0)=1，得出 C=12，所以，py=12，即 2ydy=dx。再次积分，且 y(0)=1，得 y2=x+1，即 y=【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 y=C 1e2x +(C2+ x)e2x，其中 C1， C2 为任意常数【试题解析】 原方程对应齐次方程 y“4y=0 的特征方程为： 24=0，解得1
17、=2， 2=2，故 y“4y=0 的通解为 y1=C1e2x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数。由于非齐次项为 f(x)=e2x，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x 代入原方程可求得A=1 4，故所求通解为 y=y1+y*=C1e2x +(C2+ x)e2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 C 1ex+C2e3x2e 2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应齐次方程的特征方程为 24+3=0 1=1， 2=3，则对应齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e3x。设原方程的特解为 y*=Ae2x，代入原方程可得4Ae2x8A
18、e 2x+3Ae2x=2e2x A=2，所以原方程的特解为 y*=2e 2x。故原方程的通解为 y=C1ex+C2e3x2e 2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 y=C 1e2x+C2cosx+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数【试题解析】 微分方程对应的特征方程为 32 2+2=0 ，解上述方程可得其特征值为 2，i，于是基础解系为 e2x，cosx，sinx。因此通解为 y=C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数。【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 e 2x +2ex【试题解析】
19、 先求解特征方程 2+2=0，解得 1=2， 2=1。所以原方程的通解为 y=C 1e2x +C2ex。 由题设可知 y(0)=3，y(0)=0。代入解得 C1=1，C 2=2，故y=e2x +2ex。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 e 3xe x xe2x【试题解析】 显然 y1y 3=e3x 和 y2y 3=ex 是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。且 y*=xe 2x 是非齐次微分方程的一个特解，由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1e3x+C2exxe 2x，其中 C1，C 2 为任意常数。 把初始条件代入可得 C1=1，C 2=1，所以答案为 y=e
20、3xe xxe 2x。【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 yy2xx 2【试题解析】 由题设条件可得 x2(x 2e x)=ex 为对应齐次方程的解，y=x 2 是原方程的特解，于是可设该非齐次方程为 yy=f(x)， 将 y=x2 及 y=2x 代入可得 f(x)=2xx 2。故该非齐次线性微分方程为 yy=2xx 2。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 将原方程化简 令yx=u ，则 dydx=u+x ，代入上式，得由积分公式得 ln(u+)=ln(Cx)，其中 C 是常数，因为 x0，所以 C0，去掉对数，得 u+=Cx，
21、即 把 y|x=1=0 代入并化简，得【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 原方程可化为： y=1。所以 y=e2xdx e 2xdx dx+C=x2( +C)=x+Cx2。由曲线方程 y=x+Cx2 与直线 x=1，x=2 及 x 轴所围成的平面图形围绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为 V(C)=12(x+Cx2)2dx=( )。令V(C)=( )=0，得 C=75124。又 V“(C)=625 0，故 C=75124为唯一极小值点，也是最小值点，于是得 y(x)=x x2。【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 本题不含 y，则设 y=p，于是 y“=p，原方程变为 p(x+p2)
22、=p，则dxdp= +p，解之得 x=p(p+C1)。将 p(1)=1 代入上式得 C1=0，于是结合 y(1)=1 得 C2=13。故【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 令 y=p，则 y“=p，代入微分方程，当 x0 时，p p=2x，解得 y=p=e1xdx (2x)e 1 xdx dx+C1=2+C1x，则y=2x+ C1x2+C2(x0)，其中 C1，C 2 为任意常数。由已知 y(0)=0，有 C2=0，于是y=2x+ C1x2。由于 2=01y(x)dx=01(2x+ C1x2)dx=1+ 所以 C1=6，故y=2x+3x2(x0)。由于 x=13( 1)，0y5，故所求
23、旋转体的体积为V=5 05x2dy=5 05 19( 1) 2dy【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 特征方程为 r2+r2=0，特征根为 r1=1，r 2=2，因此齐次微分方程 f“(x)+f(x)2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e2x 。 再由 f“(x)+f(x)=2ex，得2C1ex+5C2e2x =2ex，可知 C1=1，C 2=0。 故 f(x)=ex。【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 由于曲线方程为 y= dt，则 y(0)=0，令 y“=0，原式可得x=0。当 x0 时，2x0，2(1+2x 2) dt0，可知 y“0
24、；当 x0 时，2x0，2(1+2x 2) dt0，可知 y“0。故 x=0 是 y“=0 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x2)0xf(t 2)dt 在 x=0 左右两边的凹凸性相反，可知 (0，0)点是曲线 y=f(x2)0xf(t 2)dt 唯一的拐点。【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 由已知得 y2=u(x)ex+u(x)ex=u(x)+u(x)ex，y“ 2=exu“(x)+2u(x)+u(x)，所以(2x1)e xu“(x)+2u(x)+u(x)(2x+1)u(x)+u(x)e x+2u(x)ex=0，化简可得 u“ u= ，即(lnu)= ，两边对 x 求积分得 lnu(x)= dx=ln|2x1|+lne x +lnC1，即 u=C1(2x1)e x 。上式两端再次积分得 u(x)=C1(2x1)e x dx=C1(2x1)e x +C2，将 u(1)=e，u(0)=1 代入上式得C1=1，C 2=0，故 u(x)=(2x+1)e x 。因此，原方程的通解为 y(x)=D1y1(x)+D2y2(x)=D1ex D2(2x+1)，其中 D1，D 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程
