1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限 ( )（A）等于 1（B）为 （C）不存在但不是（D）等于 02 曲线 y= 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 f(x)=x 3-1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件二、填空题4 =_5 01sin2xtdt=_6 =_7 设 f(x)= =_8 由方程 xyz+ 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，-1)
2、 处的微分为 dz=_9 =_10 微分方程(2x+3)y“=4y的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 设 f(x)连续，且 ，且 f(0)存在，求 f(0)13 设 ，求 a，b14 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)0 ，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求15 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0f(t)dt+(-1)f()=016 证明：当 x1 时，17 求18 19 x2arctanxdx20 设 f(x)=sin3x+-xf(x)dx，求 0f(x
3、)dx21 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f()bg(x)dx=g()af(x)dx22 设曲线 =1(023 设 u= ，求 du24 设 D 是由点 O(0，0) ，A(1 ，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算xdxdy25 求微分方程 xy =x2+y2 满足初始条件 y(e)=2e 的特解26 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x)-f(x)=a(x-1)y=f(x)，x=0 ，x=1，y=0围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 18 答案与解析一、选择
4、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 xn= (n=1，2，)时， ，当yn= (n=1，2，)时， ，所以 极限不存在但不是 ，选(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 =-得 x=0 为铅直渐近线；由 为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为 x1 及 x=-2 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)=0，f -(1)= (x 2+x+1)g(x)=0， f+(1)= (x2+x+1)g(x)=0，因为 f-(1)
5、=f+(1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 3x=1 处可导，f -(1)= (x 2+x+1)g(x)=-3g(1)，f +(1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1)，因为 f-(1)=f+(1)=0，所以 g(1)=0，故g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导，应选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 524【试题解析】 因为sinx=x- +o(x3)，所以当 x0 时(1+x 2)sinx-x x3，故原式=5 24【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 由 01sin2xtdt= 得 01sin2xtdt=【知识模
6、块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 dx-【试题解析】 xyz+ 两边求微分得 yzdx+xzdy+xydz+(xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，-1)代入上式得 dz=dx-【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 C1x3+6C1x2+9C1x+C2【试题解析】 令 y=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y=C1(2x+3)2，于是 y= C1x3+6C1x2+9C
7、1x+C2【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 由 得 f(0)=0，=ef（0） ，则 f(0)=3【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 则 a=2，b+1=2，即a=2，b=1【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y-f(x)=f(x)(X-x)，令 Y=0，则u(x)=X=x-【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 (x)=x0xf(t)dt-0xf(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，
8、1)，使得 ()=0 而 (x)=0xf(t)dt+(x-1)f(x)，故 0f(t)dt+(-1)f()=0【试题解析】 由 0xf(t)dt+(x-1)f(x)=0，得 0xf(t)dt+xf(x)-f(x)=0，从而 x 0xf(t)dt-0xf(t)dt=0，辅助函数为 (x)=x0xf(t)dt-0xf(t)dt【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)-xlnx0令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，f(1)=21n20，因为 f(x)=ln(1+x)+1-lnx-1= 0(x1)，所以 f(x)在1， +)上单调增加，
9、再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 令 -xf(x)dx=A，则 f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin 3x+Ax 两边积分得 -xf(x)dx=-xsin3xdx+-Axdx，即 A=-xsin3xdx=20xsin3xdx=0sin3xdx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 令 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=
10、0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)bxg(t)dt+g(x)axf(t)dt， 所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【试题解析】 由 f(x)xbg(t)dt=g(x)axf(t)dt 得 g(x)Iaxf(t)dt+f(x)bxg(t)dt=0 即 axf(t)dtbxg(t)dt=0，则辅助函数为 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4-a曲线可化为 y= ，对任意
11、的x，x+dx 0，a，dV 2=2xydx=2xdx 于是 V2=20a ，根据对称性，有 V1=于是 V(a)=V1(a)+V2(a)= (4-a)令 V(a)= (4-2a)=0 a=2，又 V“(2)【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 将区域向 x 轴投影，【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 xy =x2+y2，得 =x2+y2，令 z=y2，则 =2x，解得 z= =2x2lnx+Cx 2，由初始条件得 C=2，则原方程的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 由 f(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)=a(x-1)e-1dxdx+Ce-dx=Cex-ax，由 f(0)=1得 C=1，故 f(x)=ex-ax 由得 a=3，因为 ，所以当 a=3 时，旋转体的体积最小，故 f(x)=ex-3x【知识模块】 高等数学部分
