[考研类试卷]考研数学二(高等数学)模拟试卷18及答案与解析.doc

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1、考研数学二(高等数学)模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 极限 ( )(A)等于 1(B)为 (C)不存在但不是(D)等于 02 曲线 y= 的渐近线有( )(A)1 条(B) 2 条(C) 3 条(D)4 条3 设 f(x)=x 3-1g(x),其中 g(x)连续,则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件二、填空题4 =_5 01sin2xtdt=_6 =_7 设 f(x)= =_8 由方程 xyz+ 确定的隐函数 z=z(x,y)在点(1,0,-1)

2、 处的微分为 dz=_9 =_10 微分方程(2x+3)y“=4y的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 设 f(x)连续,且 ,且 f(0)存在,求 f(0)13 设 ,求 a,b14 设 f(x)二阶连续可导,且 f(0)=f(0)=0,f“(0)0 ,设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x,f(x)处的切线在 x 轴上的截距,求15 设 f(x)在0,1上连续,证明:存在 (0,1),使得 0f(t)dt+(-1)f()=016 证明:当 x1 时,17 求18 19 x2arctanxdx20 设 f(x)=sin3x+-xf(x)dx,求 0f(x

3、)dx21 设 f(x),g(x) 在a,b 上连续,证明:存在 (a,b),使得 f()bg(x)dx=g()af(x)dx22 设曲线 =1(023 设 u= ,求 du24 设 D 是由点 O(0,0) ,A(1 ,2)及 B(2,1)为顶点构成的三角形区域,计算xdxdy25 求微分方程 xy =x2+y2 满足初始条件 y(e)=2e 的特解26 设 f(x)在0,1上连续且满足 f(0)=1,f(x)-f(x)=a(x-1)y=f(x),x=0 ,x=1,y=0围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求 f(x)考研数学二(高等数学)模拟试卷 18 答案与解析一、选择

4、题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 xn= (n=1,2,)时, ,当yn= (n=1,2,)时, ,所以 极限不存在但不是 ,选(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 =-得 x=0 为铅直渐近线;由 为水平渐近线,显然该曲线没有斜渐近线,又因为 x1 及 x=-2 时,函数值不趋于无穷大,故共有两条渐近线,应选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)=0,f -(1)= (x 2+x+1)g(x)=0, f+(1)= (x2+x+1)g(x)=0,因为 f-(1)

5、=f+(1)=0,所以 f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 3x=1 处可导,f -(1)= (x 2+x+1)g(x)=-3g(1),f +(1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1),因为 f-(1)=f+(1)=0,所以 g(1)=0,故g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导,应选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 524【试题解析】 因为sinx=x- +o(x3),所以当 x0 时(1+x 2)sinx-x x3,故原式=5 24【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 由 01sin2xtdt= 得 01sin2xtdt=【知识模

6、块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 dx-【试题解析】 xyz+ 两边求微分得 yzdx+xzdy+xydz+(xdx+ydy+zdz)=0,把(1,0,-1)代入上式得 dz=dx-【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 C1x3+6C1x2+9C1x+C2【试题解析】 令 y=p,则 ,两边积分得 lnp=ln(2x+3)2+lnC1,或y=C1(2x+3)2,于是 y= C1x3+6C1x2+9C

7、1x+C2【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 由 得 f(0)=0,=ef(0) ,则 f(0)=3【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 则 a=2,b+1=2,即a=2,b=1【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x,f(x)的切线为 Y-f(x)=f(x)(X-x),令 Y=0,则u(x)=X=x-【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 (x)=x0xf(t)dt-0xf(t)dt 因为 (0)=(1)=0,所以由罗尔定理,存在 (0,

8、1),使得 ()=0 而 (x)=0xf(t)dt+(x-1)f(x),故 0f(t)dt+(-1)f()=0【试题解析】 由 0xf(t)dt+(x-1)f(x)=0,得 0xf(t)dt+xf(x)-f(x)=0,从而 x 0xf(t)dt-0xf(t)dt=0,辅助函数为 (x)=x0xf(t)dt-0xf(t)dt【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 当 x1 时, 等价于(1+x)ln(1+x)-xlnx0令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx,f(1)=21n20,因为 f(x)=ln(1+x)+1-lnx-1= 0(x1),所以 f(x)在1, +)上单调增加,

9、再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时,f(x)0,即【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 令 -xf(x)dx=A,则 f(x)=sin3x+A,xf(x)=xsin 3x+Ax 两边积分得 -xf(x)dx=-xsin3xdx+-Axdx,即 A=-xsin3xdx=20xsin3xdx=0sin3xdx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 令 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt,显然 (x)在a,b上可导,又 (a)=(b)=

10、0, 由罗尔定理,存在 (a,b) ,使得 ()=0,而 (x)=f(x)bxg(t)dt+g(x)axf(t)dt, 所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0,即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【试题解析】 由 f(x)xbg(t)dt=g(x)axf(t)dt 得 g(x)Iaxf(t)dt+f(x)bxg(t)dt=0 即 axf(t)dtbxg(t)dt=0,则辅助函数为 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a,0),(0,b),其中 b=4-a曲线可化为 y= ,对任意

11、的x,x+dx 0,a,dV 2=2xydx=2xdx 于是 V2=20a ,根据对称性,有 V1=于是 V(a)=V1(a)+V2(a)= (4-a)令 V(a)= (4-2a)=0 a=2,又 V“(2)【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 将区域向 x 轴投影,【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 xy =x2+y2,得 =x2+y2,令 z=y2,则 =2x,解得 z= =2x2lnx+Cx 2,由初始条件得 C=2,则原方程的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 由 f(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)=a(x-1)e-1dxdx+Ce-dx=Cex-ax,由 f(0)=1得 C=1,故 f(x)=ex-ax 由得 a=3,因为 ,所以当 a=3 时,旋转体的体积最小,故 f(x)=ex-3x【知识模块】 高等数学部分

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