1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 ，又f(x)=-2x2+0xg(x-t)dt，则( )（A）x=0 是 f(x)的极大值点（B） x=0 是 f(x)的极小值点（C） (
2、0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件，则( )（A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题4 5 设 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则曲线 y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_6 设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导
3、且 f(a)0，则=_7 8 9 设xy(x)dx=arcsinx+C，则 =_10 设 f(x)为连续函数，且满足 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x0，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： 存在且满足方程 f(x)=x13 设 ，求 n，c 的值14 设 且 f“(0)存在，求 a，b，c15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()16 设
4、 f(x)二阶可导，f(0)=0，f“(x)0 证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)17 设 x3-3xy+y3=3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值18 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0f(x)dx=f()19 设 f(x)在(-，+) 上有定义，且对任意的 x，y(- ，+)有(fx)-f(y)x-y证明： abf(x)dx-(b-a)f(a) (b-a)220 计算定积分21 设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0) 处的某邻域内连续证明：函数 f
5、(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 22 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y24，x 2+y22x23 交换积分次序并计算24 设二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=cex 有特解 y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解25 设 且二阶连续可导，又 ，求 f(x)26 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?考研数学二（高等数学）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
6、项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，得 f(0)+f(0)=0，于是 f(0)=0再由，得 f“(0)=20，故 f(0)为 f(x)的极小值，选 (B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 g(0)=g(0)=0，f(0)=0，f(x)=-2x 2+0xg(x-t)dt=-2x2-0xg(x-t)d(x-t)=-2x2+0xg(u)du，f“(x)=-4x+g(x) ，f“(0)=0，f“(x)=-4+g(x) ，f“(0)=-4，所以存在 0，当 0 ，从而当x(-， 0)时，f“(x)0，当 x(0，)时，f“(x)【知识模块】 高等数学
7、部分3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有，因为 M0 为最大值点，所以 AC-B2 非负，而在 D 内有，即 AC-B2【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 12【试题解析】 因为当 x0 时，【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】
8、 cosx-xsinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=-2sinx-xcossx，积分得 f(x)=cosx-xsinx+C【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 x n+1-xn=f(xn)-f(xn+1)=f(n)(xn-xn-1)，因为 f(x)0，所以 xn+1-xn 与 xn-xn-1 同号，故x n单调即x n有界，于是 存在
9、，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn+1=f(xn)两边令 n ，得 ，原命题得证【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 f(x)=【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 因为 =f+(a)0，所以存在 0，当0 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 C(a，b)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案
10、】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)-f(a)-f(b)=f(2)-f(1)a因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(a+b)-f(a)-f(b)=f(2)-f(1)a0，即 f(a+6)f(a)+f(b)【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 x 3-3xy+y3=3 两边对 x 求导得 3x2-3y-3xy+3y2y=0，因为 y“(-1)=10，所以 x=-1 为极小点，极小值为 y(-1)=1；因为 =-1 为极大点，极大值为【知识模块】 高等数学部分18 【正
11、确答案】 令 ，因为 f(x)在0，1上连续，所以(x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=o，(1)= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 ，所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 因为(b-a)f(a)= abf(a)dx，所以 ab(x)dx-(b-a)f(a)= abf(x)-f(a)dx abf(x)-f(a)dx【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 令 x=tant，则【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0
12、，0)存在 (充分性)若 (0，0)=0，则 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0所以，即 f(x，y)在点(0 ，0)处可微【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2a+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有 解得 a=-3，b=2，c=-1，原方程为 y“-3y+2y=-ex原方程的特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，则 y“-3y+2y=0 的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 解得 rf(r)=C1，由 f(1)=2 得 C1=2，于是 f(r)=lnr2+C2，由 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(x)=lnx2【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t-T)，又 bH(t)s=ct【知识模块】 高等数学部分
