1、考研数学二(高等数学)模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)由 确定,则 y“(0)等于( )(A)2e 2(B) 2e-2(C) e2-1(D)e -2-12 函数 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)可偏导是函数 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)连续的( )(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件3 设 D 是 xOy 平面上以(1,1),(-1 ,1),(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 为区域D 位于第一象限的部分,则 (xy+cosxsiny)d 等于 ( )二、填空题4
2、当 x0 时, ax 2,则 a=_5 设当 x0 时,ksin 2x ,则 k=_6 设 f(u)可导,y=f(x 2)在 x0=-1 处取得增量x=0 05 时,函数增量 y 的线性部分为 015,则 f(1)=_7 sin3xcosxdx=_8 曲线 y=x4 (x0)与 x 轴围成的区域面积为_9 设 z= =_10 设 f(x)连续,且f(x)+xf(xt)dt=1,则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 13 14 求15 设 y= ,求 y16 证明:当 x0 时,x 2(1+x)ln 2(1+x)17 求 y=0x(1-t)arctant
3、dt 的极值18 设 00(x0),由得 f(x)0(x0);由 得 f(x)0(x0),即x2(1+x)ln(1+x)(x0)【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 y=(1-x)arctanx=0,得 x=0 或 x=1,y“=-arctanx+ ,因为y“(0)=10,y“(1)= 01(1-t)arctantdt=01arctantdt-01tarctantdt【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 f(x)=arctanx-ax,由 f(x)= -a=0 得 x= 由 f“(x)=为 f(x)的最大点,由 =-,f(0)=0 得方程 arctanxx=ax在(0,
4、 +)内有且仅有唯一实根,位于 内【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 -10te tdt=-01td(et)=-tet -10+-10etdt=-e-1+1-e-1=1-2e-1【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 V y= 取x,x+dx ,则 dVy=2xcosxdx,【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 对 z-y-x+xez-y-x=0 两边求微分,得 dz-dy-dx+ez-y-xdx+zez-y-x(dz-dy-dx)=
5、0,解得 dz=【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 令 D1=(x,y)0xa,a-xyb-x ,D 2=(x,y)axb,0yb-x),则 f(x,y)dxdy= 0ae-xdxa-xb-xdy+abe-xdx0b-xe-ydy=0ae-x(ex-a-ex-b)dx+abe-x(1-ex-b)dx=(a+1)(e-a-e-b)-(b-a)e-b【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 令 y=P,则 y“= ,代入原方程得当 p=0 时,y=1 为原方程的解;当 p0 时,由由 y(0)=y(0)=1 得 C1=1,于是,解得 =C2ex,由 y(0)=1 得 C2=1,所以原方程的特解为 y=ex【知识模块】 高等数学部分