1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可以写成( )2 微分方程 y”一 y=ex+1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数)( ) （A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx3 在下列微分方程中以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是 ( )（A）y“+y“ 一 4y一 4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“一 y“一 4y+4y=0（D）y“一 y“+4y一
2、4y=0二、填空题4 交换积分次序5 6 设 f(x)= D 为一 x+ ，一y+，则7 设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)exy 满足 则 (u)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求9 将积分 f(x，y)dx dy 化成极坐标形式，其中 D 为 x2+y2=一 8x 所围成的区域10 已知 f(x)可导，且满足 f(t)= +1，求 f(x)11 求极限12 设函数 f(x)在区间0,1上连续，并设 01f(x)dx=a，求 01dxx1f(x)f(y)dy13 计算 其中 D=(x,y)|y0，x 2+y21,x2+y22x14 设 f(
3、x，y)= 其中 D=(x，y)|x2+y22x)15 设 D：|x|1，|y|1，求16 计算 其中 D=(x，y)| 一 1x1，0y217 |x2+y2 一 4|dxdy，其中 D：x 2+y2918 计算 (4 一 x2 一 y2)dxdy，其中 D 为由圆 x2+y2=2y 所围成的平面闭区域19 设 D 是由 x0，yx 与 x2+(y 一 b)2b2，x 2+(y 一 a)2a2(0ab)所围成的平面区域，求20 设 D=(x， y)|x2+y2x)，求21 计算 其中 D：x 2+y2x+y22 设 f(x，y)= 其中 D=(x，y)|x|+|y|223 计算二次积分24 设
4、 f(x)连续，且 f(0)=0.f(0)0，求 其中 D：x 2+y2t225 设函数 y=y(x)满足 +o(x)，且 y(0)=0，求函数 y=y(x)26 设 f(x)在( 一，+)上有定义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又 f(0)=1，求 f(x)27 设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)=0，又二元函数 z=f(exey)满足求 f(u)28 求微分方程 =x2+y2 满足条件 y|x=e=2e 的特解29 微分方程 =y(lnylnx)的通解30 求微分方程 的通解31 设 求 f(t)的表达式考研数学二（高等数学）
5、模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域的直角坐标形式为 D=(x，y)|x 2+y2x，y0，则【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 y“一 y=0 的特征方程为 2 一 1=0，特征值为 1=一 1， 2=1，y“一y=ex 的特解形式为 y1=axex，y“一 y=1 的特解形式为 y2=b，故方程 y“一 y=ex+1 的特解形式为 y=axex+b，应选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解为 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x， 所以
6、特征值为1=1， 2,3=2i， 特征方程为( 一 1)( 一 2i)(+2i)=0，整理得 3 一 2+4 一 4=0， 对应为微分方程为 y“一 y“+4y一 4y=0，应选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 令 x+y=u，则【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 交换积分次序得【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10
7、【正确答案】 改变积分次序得原式化为 f(t)=0tf(y)dy+1，两边求导得 f(t)一 f(t)=0，解得 f(t)=Cet，由 f(0)=1 得 C=1，则 f(x)=ex【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，F(1)=a，则 01dxx1f(x)f(y)dy=01f(x)dxx1f(y)dy =01f(x)F(1)-F(x)dx=a01f(x)dx01F(x)dF(x)=【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 D1=(
8、x，y)| 一 1x1，一 1yx， D 2=(x，y)|一1x1，xy1)，则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 D1=(x，y)| 一 1x1，0yx 2，D 2=(x，y)|一1x1，x 2y2， 则【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y24，D 2=(x，y)|4 x 2+y29，【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 (0，0r2sin)，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x+y1
9、，x0，y0，D 2=(x，y)|1x+y2，x0，y0，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 取 a=0，b=0 得 f(0)=0由 f(0)=0 得C=0，故 f(x)=xex【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 f(1)=0 得C=0，故 f(u)=lnu【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 将x=e，u=2 代入得 C=1，所求的特解为 y2=2x2lnx+2x2【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 解得 lnu 一1=Cx，于是 u=eCx+1，故通解为 y=xeCx+1【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
