1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在 x=s 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续（D）若 f(a+h)-f(a-h)=0，则 f(x)在 x=a 处连续2 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0 内连续（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在x-
2、x 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 存在，则 f(x)在 x0处可导，且 f(x0)=（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 不存在，则 f(x)在 x0 处不可导3 设函数 f(x)在(-，+) 内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( )（A）两个极大值点，两个极小值点，一个拐点（B）两个极大值点，两个极小值点，两个拐点（C）三个极大值点，两个极小值点，两个拐点（D）两个极大值点，三个极小值点，两个拐点4 设 a=05x dt，= 0sinx dt，则当 x0 时，两个无穷小的关系是 ( )（A）高阶无穷小（B）低阶
3、无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小5 设 ，其中 D：x 2+y2a2，则以值为( )（A）1（B） 2（C）（D）6 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x)+2(x)+C23(x)（B） C11(x)-2(x)+C23(x)（C） C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)（D）C 11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1二、填空题7 =_.8 设 f(x)可导且 f(x)0，则 =_.9 设 f(x)二阶连续可导，且 =0，f(0)
4、=4，则 =_.10 设 f(x)在(-，+) 上可导， f(x)=e2，又 f(x)-f(x-1)，则 a=_11 求 =_.12 求 =_.13 设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 ，若 u(x，3x)=x ，u x(x，3x)=x 3，则 uxy(x，3x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 a1=1，当 n1 时，a n+1= ，证明：数列a n收敛并求其极限15 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 xn，作 xn-1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： xn 存在且满足方程 f(x)=x16 一质点从时间 t=0 开始直线运动，
5、移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和术速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于417 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x 0)证明：f(x)e x(x0)18 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求19 设 x3-3xy+y3=3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值20 21 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：22 求曲线 y=3-x 2-1与 x 轴围成的封闭区域绕
6、直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积23 设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且24 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy= abf(x)dx225 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积考研数学二（高等数学）模拟试卷 60 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
7、】 B【试题解析】 令 f(x)= 显然f(x) 1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0处函数 f(x)都是间断的，故(C) 不对；令 f(x)= f(0+h)f(0-h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续，(D)不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 =f(a)，又 0f(x)-f(a)f(x)-f(a)，根据迫敛定理， f(x)= f(a)，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x00，因为 f(x)不存在，所以 f(x
8、)在 x0 处不连续，(A)不对；同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，(B)不对；因为=f()，其中 介于 x0 与 x 之间，且 f(x)存在，所以也存在，即 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)=，选(C) ；令不存在，(D) 不对【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4当xx 1 时，f(x)0，当 x
9、(x1，x 2)时，f(x)0，则 x=x1 为 f(x)的极大点；当x(x2，0)时，f(x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小值点；当 x(0，x 3)时，f(x)0，则x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小值点；当xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大值点，即 f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以两无穷小同阶但非等价，选(C) 【知识模块
10、】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 令 (02，0ra)，由解得 a=2，选(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1(x)-3(x)， 2(x)-3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x)-3(x)+C22(x)-3(x)+3(x) 即C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1-C1-C2 或 C1+C2+C3=1，选(D)【知识模块】
11、高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时， 所以由于又 于是原式=【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 e 2【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0，则而f(0)=2，所以=e2【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 1【试题解析】 =e2a，由 f(x)-f(x-1)=f()，其中 介于 x-1 与 x 之间，令 x ，由 f(x)=e2，得 f(x)-f(x-1)=f()=e2，即 e2u=e2，所以 a=1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12
12、【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 ux(x，3x)+3u y(x，3x)=1，再对 x 求导，得 uxx(x，3x)+6u xy(x，3x)+9u yy(x，3x)=0由 ，得10uxx(x，3x)+6u xy(x，3x)=0，u x(x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 uxx(x，3x)+3uxy(x，3x)=3x 2，解得 uxy(x，3x)=【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 f(x)= (x0)，所以数列a n单调又因为 a1=
13、1，0a n+11，所以数列a n有界，从而数列a n收敛，令an=A，则有【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 x n+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f(n)(xn-xn-1)，因为 f(x)0，所以 xn+1-xn，与xn-xn-1 同号，故x n单调 x n=f(x n-1)= f(x 1)+x1xn-1f(x)dxf(x 1)+ x1xn-1f(x)dx f(x 1)+ -+ dx=f(x 1)+k，即x n有界，于是 xn 存在，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn+1=f(xn)两边令n，得 xn=f( xn)，原命题得证【知识模块】 高等数学16 【
14、正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)0，S(0)=O，S(1)=1 ，S(1)=0 由泰勒公式两式相减，得 S(2)-S(1)=-8 S(1)+S( 2)8当S( 1)S( 2)时，S( 1)4；当S( 1)S( 2)时，S( 2)4【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 (x)=e-x-xf(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，(x)=e -xf(x)-f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1， 所以有 f(x)e x(x0)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f(x
15、)(X-x)，令Y=0 得 u=x- ，由泰勒公式得 f(u)= f(1)u2，其中 1 介于 0 与 u 之间，f(x)=f(2)x2，其中 2 介于 0 与 x 之间，于是【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 x 3-3xy+y3=3 两边对 x 求导得 3x2-3y-3xy+3y3y=0，解得由 因为 y(-1)=10，所以 x=-1 为极小值点，极小值为 y(-1)=1；因为 =-10，所以为极大值点，极大值为 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令=t，则 x=ln(2+t2)，dx= dt，所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)
16、-m0，f(x)-M0 ，从而0，于是 f(x)+ M+m，两边积分得 01f(x)dx+Mm01 dxM+m，因为 01f(x)dx+Mm01所以【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积当 x0 时， 对x，x+dx 0，1，dV1=32-3-(x2+2)2dx=(2x2-x4+8)dx，V 1=01dV1=01(2x2-x4+8)dx= ；对x，x+dx 1，2，dV 0=32-3-(4-x2)2dx=(2x2-x4+8)dx，V 2=12dV2=12(2x2-x4+8)dx= ，则 V=2(V1+V2)=【知识模块】
17、 高等数学23 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得所以 =f1.三个方程两边对 y 求偏导得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则f(x)dxf(y)dy=f(x)F(b)-F(x)dx=F(b) abf(x)dx-abf(x)F(x)=F(b)-abF(x)dF(x)=F2(b)- F2(x) ab= F2(b)= abf(x)dx2.【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 =2，解得 y=x(2x+C1)，因为曲线L1 过点(1 ，1)，所以 C1=-1，故 L2：y=2x 2-x对曲线 L2，由题意得 (xy)=2，解得 y= ，因为曲线 L2 过点(1 ，1)，所以 C2=-1，故 L2：y=2- 由 2x2-x=2-得两条曲线的交点为 ，(-1，3)及(1 ，1)，故两条曲线所围成区域的面积为【知识模块】 高等数学
