1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( )2 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） -xaf(t)dt（C） -x2f(t)dt-x2f(t)dt（D） x-xtf(t)dt3 设 则 f(x，y)在(0，0)处( ) （A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导二、填空题4 设 =-atetdt，则 a=_5 当 x0 时， cos 2x-1，则 a=_6 设 f
2、(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续，则=_.7 曲线 的斜渐近线为_8 设 f(lnx)= ，则f(x)dx=_9 求 =_.10 计算 01 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 设 an=A，证明：数列 an有界13 设 f(x)在a，b上连续，任取 xa，b(i=1 ，2，n)，任取kt0(i=12，n)，证明：存在 a，b，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)-(k1+k2+kn)f()14 设 x3-3xy+y3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点15 设 f
3、(x)在(-1 ，1) 内二阶连续可导，且 f(x)0证明：(1)对(-1，1)内任一点x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；(2)16 证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)217 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f+(a)f-(b)0证明：存在 (a，b)，使得 f()=018 设 f(lnx)= 求 f(x)19 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1n+1f(x)dx f(k)f(1)+1nf(x)dx20 计算21 设 z=z(z， y)满足 证明：22 已知 f(x， y)= ，设 D 为由 x=0
4、、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= f(x，y)dxdy23 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明：(b-a)224 设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= 在(-，+)求连续函数 y(x)，使其在(-，1)及(1，+)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=025 用变量代换 x=lnx 将方程 +e2xy=0 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如存在，但 f
5、(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导；(B)不对，因为 存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在； (C)不对，因为而不一定存在，于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导；存在，所以 f(x)在 x=1 处可导所以选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)=-xxtf(t)dt=20xtf(t)dt，(z+T)=2 0x+Ttf(t)dt=20xtf(t)dt+2xx+Ttf(t)dt(x)，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x，y)=0=f(0，0) ，所以 f(x，y)在(0 ，0)处连续；因为
6、，所以 fx(0，0)=0，根据对称性，f y(0，0)=0，即 f(x，y) 在(0，0)处可偏导；由，得f(x，y)在(0，0)处可微；当 (x，y)(0，0)时，f x(x，y)=2xsin则因为 不存在，所以 fx(x，y)在点(0，0)处不连续，同理 fy(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C) 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 2【试题解析】 -atetdt=-atd(et)=tet a-aetdt=aea-ea，由 ea=aea-ea 得 a=2【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 -3【试题解析】 因为 x0 时， x2，cos 2x-1=(cosx+1)
7、(cosx-1)-x 2且 cos 2x-1，所以 a=-3【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2+o(x2)=1+x2+o(x2)，于是【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 y=2x-4【试题解析】 曲线 的斜渐近线为 y=2x-4【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 -ln(1+ex)d(e-x)【试题解析】 由 则f(x)dx=-ln(1+ex)d(e-x)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知
8、识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 取 0=1，因为 an=A，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有a n-A1，所以a nA+1取M=max(a 1，a 2，a N，A+1 ，则对一切的 n，有a nM 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(xi)M(i=1，2，n)，注意到 ki0(i=1，2，n)，所以有 kimkif(xi)kiM
9、(i=1，2 ，n) ，同向不等式相加，得(k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，即 mM，由介值定理，存在 a，b，使得即 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 x 3-3xy+y3=3 两边对 x 求导得 3x2-3y-3x，xy 2，令 得 y=x2，代入 x3-3xy+y3=3 得 x=-1 或因为=10，所以 x=-1 为极小值点，极小值为 y=1；因为 =-10，所以 为极大值点，极大值为 x=y2，时 0，此时 y没有极值【知识模块】 高等数学15
10、【正确答案】 (1)对任意 x(-1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 0(x)1因为 f(x)C(-1，1)且 f(x)0，所以 f(x)在(-1，1)内保号，不妨设 f(x)0，则 f(x)在(-1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的(2)由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2，其中 介于 0 与 x 之间，而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有令x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 (x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，(1)=0 (x)=2xlnx-x+2- ，(1
11、)=0(x)=2lnx+1+ ，(1)=20(x)= 则故 x=1 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 (1)=20，故 (x)0(x0)由故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0所以 x0 时，(x)0，即(x 2-1)lnx(x-1)2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 不妨设 f+(a)0，f -(b)0，根据极限的保号性，由 f+(a)=0则存在 0(b-a) ，当 0x-a 时，0，即 f(x)f(a)所以存在 x1(a，b) ，使得 f(x1)f(a)同理由 f-(b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)f(b)因
12、为 f(x)在a，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x2)f(b) ，所以 f(x)的最大值存 (a，b)内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a ，b上的最大值，故 f()=0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 lnx=t，则 f(t)= 当 t0 时，f(t)=t+C 1；当 t0 时；当t0 时，f(t)=e t+C2显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C1=1+C2，故f(x)=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 1n-1f(x)dx=22f(x)dx+23f(x)dx+ nn+1f(x)dx，当 x1，2 时，f(x)f(1)，
13、两边积分得 12f(x)dxf(1)，同理 23f(x)dxf(2)， nn+1(x)dxf(n)，相加得1n+1f(x)dx f(k)；当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2)12f(x)dx，同理 f(3)23f(x)dx，f(n) n-1nf(x)dx，相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx，于是 f(k)k(1)+1nf(x)dx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 ，令-sinx=u，则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由 则【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0：当 0t1 时，F(t)= t2；当 1t2 时，F(t)
14、=f(x，y)dxdy=1- (2-t)2；当 t2 时，F(t)=1 ，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，所以又因为 f(x)0，所以 ，从而=(b-a)2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 当 x1 时，y-2y=2 的通解为 y=C1e2x-1，由 y(0)=0 得C1=1，y=e 2x-1；当 x1 时，y-2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得 C2=1-e-2，y=(1-e -2)e2x，补充定义 y(1)=e2-1，则得在(-，+)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 的通解为y=C1cost+C2sint，故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 高等数学
