1、考研数学（数学一）模拟试卷 408 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 曲线 的渐近线条数为( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 4 设 ， ， 均为大于 1 的常数，则级数（A）当 时收敛（B）当 时收敛（C）当 时收敛（D）当 时收敛5 线性方程组 Ax=b 经初等变换其增广矩阵化为方程组无解，则 a=( )（A）一 1（B） 1（C） 2（D）36 已知线性方程组 Ax=k1+2 有解，其中则 k=( )（A）1（B）一 1（C） 2（D）一 27 设二维随机变量(X 1，X 2)的概率密度函数为 f(x1， x2)，
2、则随机变量(Y 1，Y 2)(其中Y1=2X1，Y 2= )的概率密度函数 f1(y1，y 2)等于( )8 设(X，Y) 服从 D=(x，y)|x 2+y2a2上的均匀分布，则( )（A）X 与 Y 不相关，也不独立（B） X 与 Y 相互独立（C） X 与 Y 相关（D）X 与 Y 均服从均匀分布 U(一 a，a)二、填空题9 10 11 12 函数 f(x， y，z)=x 2+y2+z2 在点(1，一 1，0)处沿球面 x2+y2+z2=2 在该点的外法线方向的方向导数13 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x12+2x22+x32+4x1x3+2tx2x3 经正交变换
3、 x=Py 可化成标准形 f=yx12+2yx22+7yx32，则 t=_。14 设随机变量 X 和 Y 均服从二项分布 ，且 D(X+Y)=1，则 X 和 Y 的相关系数 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(u)有连续的二阶导数，且 z=f(exsiny)满足方程16 17 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导且 f(A)f(B)，试证明存在， (a，b)，使得18 计算曲线积分 其中 ()具有连续的导数，曲线 为从 A(，2)到 jB(3，4)在直线 AB 下方的任意路径，该曲线与直线AB 所围成的区域面积为 2。19 在微分方程 =2y
4、一 x 的一切解中求一个解 y=y(x)，使得曲线 y=y(x)与直线x=1，x=2 及 y=0 所围成的平面图形绕 y=0 旋转一周的旋转体体积最小。20 设线性方程组 已知(1，一 1，1，一 1)T。是该方程组的一个解，试求：()方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；()该方程组满足 x2=x3 的全部解。21 设实二次型 f=xTAx 经过正交变换化为标准形 2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2，又设=(1， 1，1) T 满足 A*=，求 A。22 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求：()常数 k 的值； ()(X ，Y)的边缘密度 fX(x)和
5、 fY(y)；() 条件密度 fX|Y(y|x)和fX|Y(x|y)；()PX+Y1的值。23 设总体 X 服从0， 上的均匀分布，X 1，X 2，X 3，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求：()未知参数 的最大似然估计量 ；() 是否为 的无偏估计量，为什么?考研数学（数学一）模拟试卷 408 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 首先，x=0 和 x=1 是两个明显的间断点，且 ，所以 x=0 和 x=1 是两条垂直渐近线；其次， 所以沿 x+方向没有水平渐近线，沿 x一方向
6、有一条水平渐近线 y=0。最后，所以沿着 x+方向有一条斜渐近线=x，沿着 x 一方向，由于有一条水平渐近线，因此没有斜渐近线。综上所述，曲线共有 4 条渐近线，故选 D。3 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，=cosO 表示圆 x2+y2=x 的上半部分，积分区域如右图所示： 可得4 【正确答案】 B【试题解析】 这里有三种类型的无穷大量：n (0)，q n(q1)，In n(0)，5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 将 Ax=k1+2 的增广矩阵作初等行变换，7 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数为 F(x1，x 2)，(Y
7、1，Y 2)的分布函数为F1(y1，y 2)，则有8 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 2【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 球面 x2+y2+z2=2 在(1，一 1，0)点的外法线向量为 n=(1，一 1，0)。13 【正确答案】 1【试题解析】 二次型矩阵 由题意可知，1，2，7 是 A 的特征值。所以 2+2+a=1+2+7，即 a=6，且|A|=2(8 一 t2)=14，即 t=1。14 【正确答案】 1【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【
8、正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 由于 f=xTAx 经过正交变换化为标准形 2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2，可知A 的特征值为 2，一 1，一 1。又由于 A*=，等式两边同时左乘 A 可得|A|=A，其中|A|=2，可知 即为矩阵 A 属于特征值 2 的特征向量。由于 A 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知特征值一 1 的特征向量满足 x1+x2+x3=0，解得基础解系为 1=(1，一 1，0)， 2=(1，0，一 1)。可知 1， 2 即为属于特征值一 1的两个线性无关的特征向量。22 【正确答案】 23 【正确答案】
